Программа Эрланген - Erlangen program
В математике программа Erlangen - это метод описания геометрии, основанный на теории групп и проективной геометрии . Он был опубликован Феликсом Кляйном в 1872 году как Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Он назван в честь университета Эрланген-Нюрнберг , где работал Кляйн.
К 1872 году появились неевклидовы геометрии , но без возможности определить их иерархию и взаимосвязи. Метод Кляйна был принципиально новаторским по трем направлениям:
- Проективная геометрия подчеркивалась как объединяющая рамка для всех других рассматриваемых им геометрий. В частности, евклидова геометрия была более строгой, чем аффинная геометрия , которая, в свою очередь, более строгая, чем проективная геометрия.
- Кляйн предположил, что теория групп , раздел математики, использующий алгебраические методы для абстрагирования идеи симметрии , является наиболее полезным способом организации геометрических знаний; в то время он уже был введен в теорию уравнений в форме теории Галуа .
- Кляйн гораздо более четко сформулировал идею о том, что каждый геометрический язык имеет свои собственные подходящие концепции, таким образом, например, проективная геометрия правильно говорила о конических сечениях , но не о кругах или углах, потому что эти понятия не были инвариантными относительно проективных преобразований (что-то знакомое в геометрической перспективе. ). То, как несколько языков геометрии затем снова объединились, можно объяснить тем, как подгруппы группы симметрии связаны друг с другом.
Позже Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна до картановских связностей на некоторых главных расслоениях , которые обобщили риманову геометрию .
Проблемы геометрии XIX века
Со времен Евклида геометрия означала геометрию евклидова пространства двух измерений ( плоская геометрия ) или трех измерений ( твердотельная геометрия ). В первой половине девятнадцатого века произошло несколько событий, усложняющих картину. Математические приложения требовали геометрии четырех или более измерений ; Тщательное изучение основ традиционной евклидовой геометрии выявило независимость параллельного постулата от других, и родилась неевклидова геометрия . Кляйн предложил идею, что все эти новые геометрии являются лишь частными случаями проективной геометрии , как это уже было развито Понселе , Мёбиусом , Кэли и другими. Кляйн также настоятельно рекомендовал физикам- математикам, что даже умеренное развитие проективной компетенции может принести им существенную пользу.
С каждой геометрией Клейн связал базовую группу симметрий . Таким образом, иерархия геометрий математически представлена как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов . Например, длины, углы и площади сохраняются относительно евклидовой группы симметрий, в то время как только структура инцидентности и поперечное отношение сохраняются при наиболее общих проективных преобразованиях . Концепция параллелизма , которая сохраняется в аффинной геометрии , не имеет смысла в проективной геометрии . Затем, абстрагируя основные группы симметрий от геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на групповом уровне. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, имеет априорный смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы удалите необходимые симметрии, у вас будет более мощная теория, но меньше понятий и теорем (которые будут более глубокими и общими).
Однородные пространства
Другими словами, «традиционные пространства» - это однородные пространства ; но не для однозначно определенной группы. Смена группы меняет соответствующий геометрический язык.
На современном языке все группы, относящиеся к классической геометрии, очень хорошо известны как группы Ли : классические группы . Конкретные отношения довольно просто описываются техническим языком.
Примеры
Например, группа проективной геометрии в n действительных измерениях - это группа симметрии n- мерного действительного проективного пространства ( общая линейная группа степени n + 1 , факторная по скалярным матрицам ). Аффинная группа будет подгруппа соблюдения (отображение на себе, не фиксируя точечно) выбранная гиперплоскость на бесконечности . Эта подгруппа имеет известную структуру ( Полупрямый продукт из общей линейной группы степени п с подгруппой сдвигов ). Затем это описание сообщает нам, какие свойства являются «аффинными». С точки зрения геометрии евклидовой плоскости, параллелограмм является аффинным, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Круг не аффинен, поскольку аффинный сдвиг превратит круг в эллипс.
Чтобы точно объяснить взаимосвязь между аффинной и евклидовой геометрией, нам теперь нужно определить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. Евклидова группа фактически ( с использованием предыдущего описания аффинной группы) пол-прямое произведения ортогональных (вращений и отражения) группы с переводами. (Подробнее см. Геометрию Клейна .)
Влияние на более позднюю работу
Долгосрочные эффекты программы Erlangen можно увидеть во всей чистой математике (см. , Например, неявное использование при конгруэнтности (геометрия) ); а идея преобразований и синтеза с использованием групп симметрии стала стандартной в физике .
Когда топология обычно описывается в терминах свойств, инвариантных относительно гомеоморфизма , можно увидеть основную идею в действии. Вовлеченные группы будут бесконечномерными почти во всех случаях - и не группы Ли, - но философия та же. Конечно, в основном это связано с педагогическим влиянием Кляйна. В таких книгах, как книги HSM Coxeter, обычно использовался программный подход Эрлангена, чтобы помочь «разместить» геометрии. С педагогической точки зрения программа превратилась в геометрию трансформации , смешанное благо в том смысле, что она строится на более сильной интуиции, чем стиль Евклида , но ее труднее преобразовать в логическую систему .
В своей книге « Структурализм» (1970) Жан Пиаже говорит: «В глазах современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки , программа Эрлангена является лишь частичной победой структурализма, поскольку они хотят подчинить этой идее всю математику, а не только геометрию. из структуры «.
Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называют движением геометрии. Например, можно узнать о полуплоскости модели Пуанкаре в гиперболической геометрии через развитие на основе гиперболических движений . Такое развитие событий позволяет методически доказывать теорему ультрапараллельности последовательными движениями.
Абстрактные результаты программы на Эрлангене
Довольно часто оказывается, что существует две или более различных геометрий с изоморфными группами автоморфизмов . Возникает вопрос о прочтении программы Эрлангена от абстрактной группы к геометрии.
Один пример: ориентированная (т.е. без отражений ) эллиптическая геометрия (т.е. поверхность n- сферы с идентифицированными противоположными точками) и ориентированная сферическая геометрия (та же неевклидова геометрия , но с неидентифицированными противоположными точками) имеют изоморфный автоморфизм группа , SO ( n +1) для четного n . Они могут казаться разными. Однако оказывается, что геометрии очень тесно связаны между собой, и это можно уточнить.
Другой пример: эллиптические геометрии с разными радиусами кривизны имеют изоморфные группы автоморфизмов. На самом деле это не считается критикой, поскольку все такие геометрии изоморфны. Общая риманова геометрия выходит за рамки программы.
Комплексные , двойственные и двойные (также известные как расщепленные комплексные) числа появляются как однородные пространства SL (2, R ) / H для группы SL (2, R ) и ее подгрупп H = A, N, K. Группа SL (2, R ) действует на эти однородные пространства путем дробно-линейных преобразований, и большая часть соответствующих геометрических форм может быть получена единообразным образом из программы Erlangen.
Еще несколько ярких примеров появились в физике.
Во-первых, n -мерная гиперболическая геометрия , n -мерное пространство де Ситтера и ( n - 1) -мерная инверсивная геометрия имеют изоморфные группы автоморфизмов,
ортохронная группа Лоренца , для п ≥ 3 . Но это явно разные геометрии. Сюда входят некоторые интересные результаты из физики. Было показано, что физические модели в каждой из трех геометрий «двойственны» для некоторых моделей.
Опять же, n -мерное пространство анти-де Ситтера и ( n −1) -мерное конформное пространство с «лоренцевой» сигнатурой (в отличие от конформного пространства с «евклидовой» сигнатурой, которая идентична инверсивной геометрии , для трех или более измерений) имеют изоморфные группы автоморфизмов, но являются различными геометриями. И снова в физике есть модели с «двойственностью» между двумя пространствами . См. AdS / CFT для более подробной информации.
Накрывающая группа SU (2,2) изоморфна накрывающей группе SO (4,2), которая является группой симметрии 4D конформного пространства Минковского, 5D пространства анти-де Ситтера и комплексного четырехмерного твистора пространство .
Поэтому программу Эрлангена можно по-прежнему считать плодотворной в отношении двойственности в физике.
В основополагающей статье, которая представила категории , Сондерс Мак Лейн и Сэмюэл Эйленберг заявили: «Это можно рассматривать как продолжение программы Кляйна Эрлангера в том смысле, что геометрическое пространство с его группой преобразований обобщается до категории с его алгеброй. сопоставлений "
Связь программы Эрлангена с работой Чарльза Эресмана по группоидам в геометрии рассматривается в статье Прадинеса ниже.
В математической логике программа Эрлангена также послужила источником вдохновения для Альфреда Тарского в его анализе логических понятий .
Ссылки
- Клейн, Феликс (1872) "Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии". Полный английский перевод находится здесь https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
- Шарп, Ричард У. (1997) Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Кляйна Vol. 166. Springer.
- Генрих Гуггенхаймер (1977) Дифференциальная геометрия , Довер, Нью-Йорк, ISBN 0-486-63433-7 .
- Охватывает работы Ли, Кляйна и Картана. На стр. 139 Гуггенхаймер резюмирует эту область, отмечая: «Геометрия Клейна - это теория геометрических инвариантов транзитивной группы преобразований (программа Эрлангена, 1872 г.)».
- Томас Хокинс (1984) "Программа Эрлангера Феликса Клейна: размышления о ее месте в истории математики", Historia Mathematica 11: 442–70.
- "Программа Эрлангена" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Личен Джи и Атанас Пападопулос (редакторы) (2015) Софус Ли и Феликс Кляйн: Программа Эрлангена и ее влияние на математику и физику , Лекции IRMA по математике и теоретической физике 23, Издательство Европейского математического общества, Цюрих.
- Феликс Кляйн (1872) «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии»), Mathematische Annalen, 43 (1893), стр. 63–100 (Также: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, с. 460–497).
- Английский перевод Меллена Хаскелла появился в Bull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.
- Оригинальный немецкий текст программы Erlangen можно просмотреть в онлайн-коллекции Мичиганского университета по адресу [1] , а также по адресу [2] в формате HTML.
- Центральная информационная страница программы Erlangen, которую поддерживает Джон Баез, находится по адресу [3] .
- Феликс Кляйн (2004) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Довер, Нью-Йорк, ISBN 0-486-43481-8
- (перевод Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , Teil II: Geometrie, pub. 1924, автор Springer). Имеет раздел по программе Эрланген.