Ограниченная вариация - Bounded variation
В математическом анализе , функция ограниченной вариации , также известная как BV функция , является реальной значной функцией которого полного вариация ограничена (конечный): график функции , обладающей этого свойство хорошо ведет себя в точном смысле. Для непрерывной функции одной переменной , будучи ограниченной вариации средств , что расстояние по направлению от у -Axis , пренебрегая вкладом движения вдоль х Оу , пройденное в точке , движущейся вдоль графика имеет конечное значение. Для непрерывной функции нескольких переменных смысл определения тот же, за исключением того факта, что рассматриваемый непрерывный путь не может быть целым графиком данной функции (которая в данном случае является гиперповерхностью ), но может быть каждое пересечение самого графа с гиперплоскостью (в случае функций двух переменных - плоскостью ), параллельной фиксированной оси x и оси y .
Функции ограниченной вариации - это как раз те функции, по которым можно найти интегралы Римана – Стилтьеса от всех непрерывных функций.
Другая характеристика утверждает, что функции ограниченной вариации на компактном интервале - это в точности те функции f, которые могут быть записаны как разность g - h , где и g, и h ограниченно монотонны . В частности, функция BV может иметь разрывы, но в лучшем случае счетное множество.
В случае нескольких переменных функция f, определенная на открытом подмножестве Ω из , называется ограниченной вариацией, если ее производная по распределению является векторной конечной мерой Радона .
Одним из наиболее важных аспектов функций ограниченной вариации в том , что они образуют алгебру из разрывных функций которых первых производная существует почти всюду : из - за этот факт, что они могут и часто используется для определения обобщенных решений нелинейных задач , связанных с функционалами , обычными и уравнения в частных производных в математике , физике и технике .
У нас есть следующие цепочки включений для непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой:
- Непрерывно дифференцируемая ⊆ липшицируемая ⊆ абсолютно непрерывен ⊆ непрерывной и ограниченной вариации ⊆ дифференцируема почти всюду
История
Согласно Борису Голубову, BV- функции одной переменной были впервые введены Камиллой Жорданом в статье ( Jordan 1881 ), посвященной сходимости рядов Фурье . Первый успешный шаг в обобщении этой концепции на функции нескольких переменных был сделан Леонидой Тонелли , которая в 1926 году ввела класс непрерывных BV- функций ( Cesari 1986 , стр. 47–48), расширив свой прямой метод поиска решений. к задачам вариационного исчисления более чем одной переменной. Десять лет спустя, в ( Cesari 1936 ), Ламберто Чезари изменил требование непрерывности в определении Тонелли на менее ограничительное требование интегрируемости , впервые получив класс функций ограниченной вариации нескольких переменных в его полной общности: как это делал Джордан ранее. Он применил эту концепцию для решения проблемы сходимости рядов Фурье, но для функций двух переменных . После него несколько авторов применили BV- функции для изучения рядов Фурье от нескольких переменных, геометрической теории меры , вариационного исчисления и математической физики . Ренато Каксиопполи и Эннио Де Джорджи использовали их , чтобы определить меру по негладким границам в наборах (см записи « Р. Каччиополи набор » для получения дополнительной информации). Ольга Арсеньевна Олейник представила свой взгляд на обобщенные решения нелинейных уравнений с частными производными как функции от пространства BV в статье ( Олейник, 1957 ) и смогла построить обобщенное решение ограниченной вариации уравнения с частными производными первого порядка в статье ( Oleinik 1959 ): несколько лет спустя Эдвард Д. Конвей и Джоэл А. Смоллер применили BV- функции к изучению одного нелинейного гиперболического уравнения с частными производными первого порядка в статье ( Conway & Smoller 1966 ), доказав, что решение задача Коши для таких уравнений является функцией ограниченной вариации, при условии , что начальное значение принадлежит к тому же классу. Айзик Исаакович Вольперт широко разработал исчисление для BV- функций: в статье ( Vol'pert 1967 ) он доказал цепное правило для BV-функций, а в книге ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) он вместе со своим учеником Сергеем Ивановичем Худжаев подробно исследовал свойства BV- функций и их применение. Его формула цепного правила позже была расширена Луиджи Амбросио и Джанни Даль Мазо в статье ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ).
Формальное определение
BV функции одной переменной
Определение 1.1. Полное изменение непрерывного реального -значных (или в более общем случае комплекс значные) функции F , определенный на интервале [ , Ь ] ⊂ ℝ является величина
где супремум берется по множеству всех разбиений рассматриваемого интервала.
Если F является дифференцируемой и ее производная Римана-интегрируема, ее полная вариация является вертикальная составляющая длины дуги ее графа, то есть сказать,
Определение 1.2. Непрерывная вещественнозначная функция на вещественной прямой называется ограниченной вариацией ( функцией BV ) на выбранном интервале [ a , b ] ⊂, если ее полная вариация конечна, т. Е.
Это может быть доказано , что действительная функция ƒ имеет ограниченную вариацию в том и только тогда , когда она может быть записана в виде разности ƒ = ƒ 1 - ƒ 2 двух неубывающих функций на : этот результат известен как разложение Жордана а функция и связана с разложением Жордана меры .
С помощью интеграла Стилтьеса любая функция ограниченной вариации на отрезке [ a , b ] определяет ограниченный линейный функционал на C ([ a , b ]). В этом частном случае теорема Рисса – Маркова – Какутани о представлении утверждает, что каждый ограниченный линейный функционал возникает таким образом однозначно. Нормализованные положительные функционалы или вероятностные меры соответствуют положительным неубывающим полунепрерывным снизу функциям . Эта точка зрения важна в спектральной теории , в частности в ее приложении к обыкновенным дифференциальным уравнениям .
BV функции нескольких переменных
Функции ограниченной вариации, BV- функции , - это функции, производная по распределению которых является конечной радоновской мерой . Точнее:
Определение 2.1. Пусть быть открытое подмножество в . Функция, принадлежащая, называется ограниченной вариацией ( функция BV ) и записывается
если существует конечная векторная мера Радона такая, что выполняется равенство
то есть определяет линейный функционал на пространстве с непрерывно дифференцируемыми вектором - функциями из компактного носителя , содержащихся в : векторе мере представляет собой , следовательно, распределительный или слабый градиент в .
BV можно определить эквивалентным образом следующим образом.
Определение 2.2. Для данной функции, принадлежащей , полное изменение in определяется как
где - существенная норма супремума . Иногда, особенно в теории множеств Каччопполи , используются следующие обозначения
для того , чтобы подчеркнуть , что это общее изменение обобщенного / слабого градиента от . Это обозначение напоминает также , что если имеет класса (т.е. непрерывная и дифференцируемая функция , имеющая непрерывные производные ) , то его изменение в точности интеграл от абсолютной величины его градиента .
Тогда пространство функций ограниченной вариации ( BV-функций ) можно определить как
Эти два определения эквивалентны, поскольку если тогда
поэтому определяет непрерывный линейный функционал на пространстве . Так как линейное подпространство , это непрерывный линейный функционал может быть расширен непрерывно и линейно в целом по теореме Хана-Банаха . Следовательно, непрерывный линейный функционал определяет меру Радона по теореме о представлении Рисса – Маркова – Какутани .
Локально BV функции
Если пространство функций из локально интегрируемых функций , то есть функции , принадлежащие , рассматриваются в предыдущих определениях 1.2 , 2.1 и 2.2 вместо одного из глобально интегрируемых функций , то функция пространство , определенное в том , что из функций локально ограниченной вариации . Точнее, развивая эту идею для определения 2.2 , локальная вариация определяется следующим образом:
для каждого набора , определив как множество всех предкомпактных открытых подмножеств из относительно стандартной топологии из конечномерных векторных пространств , и , соответственно , класс функций локально ограниченной вариации определяется как
Обозначение
В основном существуют два различных соглашения для обозначения пространств функций локально или глобально ограниченной вариации, и, к сожалению, они очень похожи: первое, которое является принятым в этой статье, используется, например, в ссылках Giusti (1984). (частично), Hudjaev & Vol'pert (1985) (частично), Giaquinta, Modica & Souček (1998) и является следующим
- определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
- отождествляет пространство функций локально ограниченной вариации
Второй, принятый в ссылках Вольперт (1967) и Мазья (1985) (частично), следующий:
- определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
- отождествляет пространство функций локально ограниченной вариации
Основные свойства
В дальнейшем будут рассмотрены только свойства, общие для функций одной переменной и функций нескольких переменных, и доказательства будут проводиться только для функций нескольких переменных, поскольку доказательство для случая одной переменной представляет собой прямую адаптацию нескольких переменных. случай переменных: также в каждом разделе будет указано, используется ли это свойство также функциями локально ограниченной вариации или нет. Ссылки ( Giusti 1984 , pp. 7–9), ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) и ( Màlek et al. 1996 ) широко используются.
Функции BV имеют только скачкообразные или устраняемые разрывы
В случае одной переменной утверждение ясно: для каждой точки в интервале определения функции выполняется одно из следующих двух утверждений.
в то время как оба предела существуют и конечны. В случае функций нескольких переменных, есть некоторые помещения , чтобы понять: во- первых, существует континуум из направлений , по которым можно подойти к данной точке , принадлежащей области ⊂ . Необходимо уточнить подходящую концепцию предела : выбрав единичный вектор, можно разделить его на два множества.
Тогда для каждой точки, принадлежащей области определения функции BV , верно только одно из следующих двух утверждений.
или принадлежит к подгруппе из имеющих нулевого мерного меру Хаусдорфа . Количество
называются приблизительные пределы этого BV функции в точке .
V (·, Ω) полунепрерывно снизу на L 1 (Ω)
В функциональном есть полунепрерывный снизу : чтобы это увидеть, выбрать последовательность Кошей из BV -функции , сходящихся к . Тогда, поскольку все функции последовательности и их предельная функция интегрируемы и по определению нижнего предела
Теперь рассмотрим супремум на множестве функций такой, что тогда выполняется неравенство
что и есть определение полунепрерывности снизу .
BV (Ω) - банахово пространство
По определению является подмножеством из , в то время как линейность следует из свойств линейности определяющего интеграла , т.е.
для всех поэтому для всех , и
для всех , следовательно для всех и для всех . Из доказанных свойств векторного пространства следует, что это векторное подпространство в . Рассмотрим теперь функцию, определенную как
где - обычная норма : легко доказать, что это норма на . Чтобы убедиться, что это полное по отношению к нему, т.е. это банахово пространство , рассмотрим последовательность Коши в . По определению она также является последовательностью Коши в и, следовательно, имеет предел в : поскольку ограничена в для каждого , то в силу полунепрерывности снизу вариации , следовательно, является функцией BV . Наконец, снова по полунепрерывности снизу, выбирая произвольное малое положительное число
Из этого мы заключаем, что это непрерывно, потому что это норма.
BV (Ω) не отделимо
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий пример, принадлежащий пространству : для каждого 0 < α <1 определим
в качестве характеристической функции в интервале левого закрытым . Тогда, выбирая такие α, β ∈ , что α ≠ β, выполняется соотношение
Теперь для того, чтобы доказать , что всякое плотное подмножество из не может быть счетным , достаточно , чтобы увидеть , что для каждого можно построить шары
Очевидно , эти шары попарно не пересекаются , а также является индексированным семейством из множеств которого множество индексов является . Это означает, что это семейство имеет мощность континуума : теперь, поскольку каждое плотное подмножество должно иметь хотя бы точку внутри каждого члена этого семейства, его мощность не меньше мощности континуума и, следовательно, не может быть счетным подмножеством. Этот пример, очевидно, может быть расширен на более высокие измерения, и, поскольку он включает только локальные свойства , он подразумевает, что то же свойство верно и для .
Цепное правило для функций BV
Цепные правила для негладких функций очень важны в математике и математической физике, поскольку существует несколько важных физических моделей , поведение которых описывается функциями или функционалами с очень ограниченной степенью гладкости . В статье доказано следующее цепное правило ( Вольперт, 1967 , с. 248). Обратите внимание, что все частные производные следует интерпретировать в обобщенном смысле, то есть как обобщенные производные .
Теорема . Пусть функция класса (т.е. непрерывная и дифференцируемая функция , имеющая непрерывные производные ) и пусть функция в с будучи открытым подмножеством из . Тогда и
где - среднее значение функции в точке , определяемой как
Более общая формула цепного правила для липшицевых функций была найдена Луиджи Амброзио и Джанни Даль Мазо и опубликована в статье ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ). Однако даже эта формула имеет очень важные прямые последствия: использование вместо , где также функция и выбор , предыдущая формула дает правило Лейбница для функций
Это означает, что произведение двух функций ограниченной вариации снова является функцией ограниченной вариации , следовательно, является алгеброй .
BV (Ω) - банахова алгебра
Это свойство непосредственно вытекает из того факта , что является банахово пространство , а также ассоциативная алгебра : это означает , что если и являются последовательности Коши из функций , сходящихся соответственно к функциям и в , то
поэтому обычное произведение функций является непрерывным в отношении каждого аргумента, что делает эту функцию пространство банахово алгебра .
Обобщения и расширения
Взвешенные функции BV
Вышеупомянутое понятие общей вариации можно обобщить, чтобы разные вариации имели разный вес. Точнее, пусть будет любая возрастающая функция, такая что ( весовая функция ), и пусть будет функцией из интервала ⊂ℝ, принимающей значения в нормированном векторном пространстве . Затем -вариации из за кадром определяется как
где, как обычно, верхняя грань берется по всем конечным перегородкам интервала , т.е. всех конечных множеств из действительных чисел , такие , что
Первоначальное понятие вариации, рассмотренное выше, является частным случаем -вариации, для которой весовая функция является тождественной функцией : поэтому интегрируемая функция называется взвешенной BV- функцией (веса ) тогда и только тогда, когда ее -вариация конечна.
Пространство является топологическим векторным пространством относительно нормы
где обозначает обычную супремум норму о . Взвешенные BV- функции были введены и изучены в полной общности Владиславом Орличем и Юлианом Муселаком в статье Musielak & Orlicz 1959 : Laurence Chisholm Young ранее изучал случай, когда - положительное целое число.
Функции SBV
Функции SBV т.е. Специальные функции ограниченной вариации были введены Луиджи Амброзио и Эннио Де Джорджи в газете ( Амбросио и Де Джорджи 1988 ), занимающийся свободным разрывных задач вариационного : Дано открытое подмножество в пространство является правильное линейное подпространство в , так как слабый градиент каждой функции , принадлежащей к нему как раз и состоит из суммы из - мерной поддержки и - мерная поддержка меры и без каких - либо промежуточных одномерных терминов , как показан в следующем определении.
Определение . Для локально интегрируемой функции тогда и только тогда, когда
1. Там существует две борелевских функций и из области и области значений таким образом, что
2. Для всех непрерывно дифференцируемых вектор - функций из финитных содержится в , то есть для всех следующая формула верна:
где это - мерная мера Хаусдорфа .
Подробности о свойствах функций SBV можно найти в работах, цитируемых в разделе библиографии: в частности, статья ( De Giorgi, 1992 ) содержит полезную библиографию .
bv последовательности
В конкретных примерах банаховых пространств , Данфорд & Schwartz (1958 , глава IV) рассматривать пространство последовательностей ограниченной вариации , в дополнении к пространствам функций ограниченной вариации. Полная вариация последовательности x = ( x i ) действительных или комплексных чисел определяется как
Пространство всех последовательностей конечной полной вариации обозначается bv . Норма на bv определяется выражением
С этой нормой пространство bv является банаховым пространством, изоморфным пространству .
Сама полная вариация определяет норму на некотором подпространстве в bv , обозначаемом bv 0 , состоящем из последовательностей x = ( x i ), для которых
Норма на bv 0 обозначается
Относительно этой нормы bv 0 также становится банаховым пространством, которое изоморфно и изометрично (хотя и не естественным образом).
Меры ограниченной вариации
Подписан (или комплекс ) мера на измеримом пространстве называется ограниченной вариации , если ее полная вариация ограничена: см Халмошем (1950 , стр 123.), Колмогоров и Фомин (1969 , стр 346.) Или запись " Итого вариация »для получения более подробной информации.
Примеры
Как упоминалось во введении, два больших класса примеров функций BV - это монотонные функции и абсолютно непрерывные функции. Отрицательный пример: функция
является не ограниченной вариации на отрезке
Хотя это и сложнее увидеть, непрерывная функция
также не имеет ограниченной вариации на интервале .
При этом функция
имеет ограниченную вариацию на интервале . Однако все три функции имеют ограниченную вариацию на каждом интервале с .
Пространство Соболева является собственное подмножество из . Фактически, для каждого in можно выбрать такую меру (где - мера Лебега на ) такую, чтобы выполнялось равенство
верно, поскольку это не более чем определение слабой производной , и, следовательно, верно. Можно легко найти пример функции BV, которой нет : в размерности один подойдет любая ступенчатая функция с нетривиальным скачком.
Приложения
Математика
Функции ограниченной вариации изучались в связи с множеством разрывов функций и дифференцируемостью вещественных функций, и следующие результаты хорошо известны. Если - действительная функция ограниченной вариации на интервале, то
- является непрерывным , кроме наиболее на счетном множестве ;
- имеет односторонние ограничения везде (пределы слева везде внутри и справа везде внутри ;
- производная существует почти всюду (то есть для множества , кроме нулевой меры ).
Для реальных функций нескольких вещественных переменных
- характеристическая функция из множества Р. Каччиополи является BV функции: BV функции лежат в основе современной теории периметров.
- Минимальные поверхности являются графиками из BV функций: в этом контексте, см ссылки ( Giusti 1984 ).
Физика и инженерия
Способность функций BV работать с разрывами широко использовалась в прикладных науках: решения задач механики, физики, химической кинетики очень часто могут быть представлены функциями ограниченной вариации. В книге ( Худжаев и Вольперт, 1985 ) подробно описан очень обширный набор приложений BV- функций в математической физике . Также есть несколько современных приложений, которые заслуживают краткого описания.
- Функционал Мамфорда – Шаха : проблема сегментации двумерного изображения, т.е. проблема точного воспроизведения контуров и серых шкал, эквивалентна минимизации такого функционала .
- Полное изменение шумоподавления
Смотрите также
- Ренато Каччопполи
- Набор Caccioppoli
- Ламберто Чезари
- Эннио де Джорджи
- Теорема выбора Хелли
- Локально интегрируемая функция
- L p (Ω) пространство
- Интеграл Лебега – Стилтьеса.
- Радоновая мера
- Приведенная производная
- Интеграл Римана – Стилтьеса.
- Общая вариация
- Вольперт Айзик Исаакович
- Полное изменение шумоподавления
Примечания
использованная литература
Исследовательские работы
- Амбросио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000), Функции ограниченной вариации и проблемы со свободным разрывом , Oxford Mathematical Monographs, Oxford: The Clarendon Press / Oxford University Press, стр. Xviii + 434, ISBN 978-0-19-850245-6, Руководство по ремонту 1857292 , Zbl 0957.49001.
- Брудный, Юрий (2007), "Функции многих переменных ограниченной ( k , p ) –вариации" , в Randrianantoanina, Beata; Рандрианантоанина, Нарцисс (ред.), Банаховы пространства и их приложения в анализе. Материалы международной конференции, Университет Майами, Оксфорд, Огайо, США, 22–27 мая 2006 г. В честь 60-летия Найджела Калтона , Берлин – Бостон: Walter De Gruyter, стр. 37–58, doi : 10.1515 / 9783110918298.37 , ISBN 978-3-11-019449-4, Руководство по ремонту 2374699 , Zbl 1138.46019
- Данфорд, Нельсон ; Якоб Т., Шварц (1958), Линейные операторы. Часть I: Общая теория , чистая и прикладная математика, VII , Нью-Йорк – Лондон – Сидней: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3, Zbl 0084,10402. Включает обсуждение функционально-аналитических свойств пространств функций ограниченной вариации.
- Джакинта, Мариано ; Модика, Джузеппе; Соучек, Иржи (1998), Декартовы течения в вариационном исчислении I , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 37 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 3-540-64009-6, Zbl 0914,49001.
- Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, 80 , Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. XII + 240, ISBN 978-0-8176-3153-6, Руководство по ремонту 0775682 , Zbl 0545.49018, в частности, часть I, глава 1 « Функции ограниченной вариации и множества Каччопполи ». Хороший справочник по теории множеств Каччопполи и их применению к задаче о минимальной поверхности .
- Халмос, Пол (1950), теория меры , Van Nostrand and Co., ISBN 978-0-387-90088-9, Zbl 0040.16802. Ссылка на предварительный просмотр более позднего переиздания Springer-Verlag.
- Худжаев Сергей Иванович; Вольперт, Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнений математической физики , Механика: анализ, 8 , Dordrecht – Boston – Lancaster: Martinus Nijhoff Publishers, ISBN 90-247-3109-7, Руководство по ремонту 0785938 , Zbl 0564.46025. Вся книга посвящена теории BV- функций и их приложениям к задачам математической физики, связанным с разрывными функциями и геометрическими объектами с негладкими границами .
- Каннан, Рангачари; Крюгер, Кэрол Кинг (1996), Расширенный анализ реальной линии , Universitext, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. X + 259, ISBN 978-0-387-94642-9, Руководство по ремонту 1390758 , Zbl 0855.26001. Возможно, самый полный справочник по теории функций BV с одной переменной: классические результаты и расширенные результаты собраны в главе 6 « Ограниченная вариация » вместе с несколькими упражнениями. Первый автор был сотрудником Ламберто Чезари .
- Колмогоров, Андрей Н .; Фомин, Сергей В. (1969), Введение в реальный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. Xii + 403, ISBN 0-486-61226-0, Руководство по ремонту 0377445 , Zbl 0213.07305.
- Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике (второе изд.), Американское математическое общество, стр. Xxii + 734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
- Малек, Йозеф; Некас, Йиндржих; Рокита, Мирко; Ружичка, Майкл (1996), Слабые и мерозначные решения эволюционных УЧП , Прикладная математика и математические вычисления, 13 , Лондон – Вайнхайм – Нью-Йорк – Токио – Мельбурн – Мадрас: Chapman & Hall CRC Press, стр. Xi + 331, ISBN 0-412-57750-X, Руководство по ремонту 1409366 , Zbl 0851.35002. Одна из наиболее полных монографий по теории мер Юнга , сильно ориентированная на приложения в механике сплошных сред жидкости.
- Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13589-8, Zbl 0692,46023; в частности, главу 6 «О функциях в пространстве BV (Ω) ». Одна из лучших монографий по теории пространств Соболева .
- Моро, Жан-Жак (1988), «Ограниченное изменение во времени», в Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD; Стрэнг, Г. (ред.), « Вопросы негладкой механики» , Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. 1–74, ISBN 3-7643-1907-0, Zbl 0657,28008
- Musielak, Джулиан; Орлич, Владислав (1959), «Об обобщенных вариациях (I)» (PDF) , Studia Mathematica , Варшава – Вроцлав, 18 : 13–41, doi : 10.4064 / sm-18-1-11-41 , Zbl 0088.26901. В этой статье Мусиелак и Орлич развили концепцию взвешенных BV- функций, введенную Лоуренсом Чисхолмом Янгом, до ее полной общности.
- Рис, Фриджес ; Szkefalvi-Nagy, Béla (1990), Функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66289-6, Zbl 0732,47001
- Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства BV и квазилинейные уравнения" , Математический сборник , (НС), 73 (115) (2): 255–302, MR 0216338 , Zbl 0168.07402. Основополагающая статья, в которой тщательно изучаются множества Каччопполи и функции BV , а понятие функциональной суперпозиции вводится и применяется к теории уравнений в частных производных : она также была переведена на английский как Vol'Pert, AI (1967), «Spaces BV and квазилинейные уравнения », Математика СССР-Сборник , 2 (2): 225–267, Bibcode : 1967SbMat ... 2..225V , doi : 10.1070 / SM1967v002n02ABEH002340 , hdl : 10338.dmlcz / 102500 , MR 0216338 , Zbl 0168.07402.
Исторические ссылки
- Адамс, К. Раймонд ; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации функций двух переменных», Труды Американского математического общества , 35 (4): 824-854, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1933-1501718- 2 , Руководство по ремонту 1501718 , Zbl 0008.00602.
- Альберти, Джованни; Мантегацца, Карло (1997), "Заметка по теории функций SBV", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , IV Serie, 11 (2): 375–382, MR 1459286 , Zbl 0877.49001. В данной статье авторы доказывают компактность пространства функций SBV.
- Амбросио, Луиджи ; Дал Масо, Джанни (1990), «Общее правило цепочки для распределительных производных», Труды Американского математического общества , 108 (3): 691, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1990-0969514-3 , MR 0969514 , Zbl 0685.49027. Статья, содержащая очень общую формулу цепного правила для композиции BV-функций.
- Амбросио, Луиджи ; Де Джорджи, Эннио (1988), «Un nuovo tipo di funzionale del calcolo delle variazioni» [Новый вид функционала в вариационном исчислении], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (на итальянском языке), LXXXII (2): 199–210, MR 1152641 , Zbl 0715.49014. Первая статья о функциях SBV и связанных с ними вариационных задачах.
- Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata» , Annali della Scuola Normale Superiore , Серия II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, MR 1556778 , Zbl 0014.29605. Доступно в Numdam . В статье « О функциях ограниченной вариации » (английский перевод названия) Чезари он расширяет теперь называемую концепцию вариации плоскости Тонелли, включив в определение подкласс класса интегрируемых функций.
- Cesari, Lamberto (1986), "L'opera di Leonida Tonelli e la sua influenza nel pensiero Scientifico del secolo", в Montalenti, G .; Америо, Л .; Acquaro, G .; Baiada, E .; и другие. (ред.), Convegno Celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985) , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 77 , Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 41–73, в архиве из оригинала 23 февраля 2011 г. , извлечено 23 января 2007 г.. « Работа Леониды Тонелли и его влияние на научное мышление в этом столетии » (английский перевод названия) - обширная памятная статья, в которой рассказывается о воспоминаниях автора об учителях и коллегах, а также приводится подробный обзор его и их научных работ. представлены на Международном конгрессе по случаю празднования столетия со дня рождения Мауро Пиконе и Леониды Тонелли (проходил в Риме 6–9 мая 1985 г.).
- Конвей, Эдвард Д .; Смоллер, Джоэл А. (1966), "Глобальные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка с несколькими пространственными переменными", Сообщения по чистой и прикладной математике , 19 (1): 95–105, doi : 10.1002 / cpa.3160190107 , MR 0192161 , Zbl 0138.34701. Важная статья, в которой свойства BV- функций были применены для получения глобальной во времени теоремы существования для одиночных гиперболических уравнений первого порядка от любого числа переменных .
- De Giorgi, Ennio (1992), "Problemi variazionali con discontinuità libere", в Amaldi, E .; Америо, Л .; Fichera, G .; Грегори, Т .; Гриоли, Г .; Мартинелли, Э .; Montalenti, G .; Пиньедоли, А .; Сальвини, Джорджио ; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 октября 1990 г.) , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 92 , Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 39–76, ISSN 0391 -805X , MR 1783032 , Zbl 1039.49507 , заархивировано из оригинала 7 января 2017 г. , извлечено 11 марта 2007 г.. Обзорная статья по вариационным задачам со свободным разрывом, включающая некоторые подробности теории функций SBV , их приложений и обширную библиографию.
- Фалешини, Бруно (1956a), "Определения и права собственности на функциональные вариации, ограниченные из-за изменчивости. Примечание I." [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (1): 80–92, MR 0080169 , Zbl 0071.27901. Первая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
- Фалешини, Бруно (1956b), «Определения и права собственности на функциональные возможности, ограниченные вариацией. Примечание II». [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (2): 260–75, MR 0080169 , Zbl 0073.04501. Вторая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
- Джордан, Камилла (1881), "Sur la série de Fourier" [О рядах Фурье], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 92 : 228–230(в Галлике ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
- Олейник, Ольга А. (1957), "Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений" , УМН , 12 (3 (75)): 3–73, Zbl 0080.07701( (на русском) ). Важная статья, в которой автор описывает обобщенные решения нелинейных уравнений в частных производных как BV- функции.
- Олейник, Ольга А. (1959), "Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения" исчезающей вязкости " " , УМН , 14 (2 (86)): 159-164, Zbl 0096,06603( (на русском) ). Важная работа, в которой автор строит слабое решение в BV для нелинейного уравнения в частных производных методом исчезающей вязкости .
- Тони Ф. Чан и Цзяньхун (Джеки) Шен (2005), Обработка и анализ изображений - вариационные, PDE, вейвлетные и стохастические методы , SIAM Publisher, ISBN 0-89871-589-X (с подробным описанием и широким применением Ограниченные вариации в современной обработке изображений, начатые Рудиным, Ошером и Фатеми).
внешние ссылки
Теория
- Голубов, Борис I .; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], "Вариация функции" , Энциклопедия математики , EMS Press
- «Функция BV» . PlanetMath ..
- Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная вариация» . MathWorld .
- Функция ограниченной вариации в энциклопедии математики
Другой
- Домашняя страница Луиджи Амбросио в Пизанской нормальной школе . Академическая домашняя страница (с препринтами и публикациями) одного из авторов теории и приложений BV-функций.
- Исследовательская группа по вариационному исчислению и геометрической теории меры , Scuola Normale Superiore di Pisa .
Эта статья включает материал из функции BV на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .