Поддержка (математика) - Support (mathematics)

В математике , то поддержка из вещественной функции является подмножеством из области , содержащей элементы , которые не отображенная к нулю. Если домен является топологическим пространством , опора вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки, не отображенные в ноль. Это понятие очень широко используется в математическом анализе . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Формулировка

Предположим, что это вещественная функция, область определения которой - произвольное множество .${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X.}$ Теоретико-множественная поддержка внаписанноместь множество точекгдене равно нуль: ${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle \ operatorname {supp} (f),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

Поддержка - это наименьшее подмножество со свойством, равным нулю на дополнении подмножества. Если для всех точек, кроме конечного, то говорят, что${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle f}$конечная опора .

Если набор имеет дополнительную структуру (например, топологию), то носитель определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа, которое исчезает в соответствующем смысле на своем дополнении. Понятие поддержки также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих наборах, чем на другие объекты, такие как меры или распределения . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Закрытая поддержка

Наиболее часто встречается ситуация , когда это топологическое пространство (например, прямой или n - мерном евклидовом пространстве ) и является непрерывным вещественным (или комплекс ) значной функции. В этом случае${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$поддержка из${\ displaystyle f}$определяется как топологическизакрытия(взятого в) поднаборагдене равен нулюто есть ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель${\ displaystyle \ operatorname {supp} (f)}$${\ displaystyle f.}$

Например, если функция определяется как ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

тогда опорой является замкнутый интервал, так как он не равен нулю на открытом интервале, и замыкание этого множества равно${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [-1,1],}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (-1,1)}$${\ displaystyle [-1,1].}$

Понятие замкнутой опоры обычно применяется к непрерывным функциям, но определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций на топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) были непрерывными. ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

Компактная опора

Функции с компактные носители в топологическом пространстве- это те, чей замкнутый носитель являетсякомпактнымподмножествомЕсли- вещественная прямая, или-мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$ограниченный носитель , поскольку подмножествокомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Например, функция, определенная выше, является непрерывной функцией с компактным носителем. Если является гладкой функцией, то, поскольку она тождественно на открытом подмножестве, все частные производные всех порядков пользователя также одинаково на${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [-1,1].}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ operatorname {supp} (f),}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ operatorname {supp} (f).}$

Условие компактного носителя сильнее условия обращения в нуль на бесконечности . Например, функция, определяемая ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

обращается в нуль на бесконечности, поскольку as, но его носитель не компактен. ${\ Displaystyle е (х) \ к 0}$${\ Displaystyle | х | \ к \ infty,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Вещественнозначные гладкие функции с компактным носителем в евклидовом пространстве называются бамп-функциями . Моллификаторы - важный частный случай выпуклых функций, поскольку они могут использоваться в теории распределений для создания последовательностей гладких функций, приближающих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, обращающихся в нуль на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. В качестве интуиции для более сложных примеров, и на языке ограничений , для любой любой функции на вещественной оси , которая обращается в нуль на бесконечности можно аппроксимировать, выбрав соответствующую компактное подмножество из таких , что ${\ displaystyle \ varepsilon> 0,}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

для всех , где есть индикаторная функция от каждой непрерывной функции на компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель , так как каждое замкнутое подмножество компактного пространства действительно компактно. ${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle I_ {C}}$${\ displaystyle C.}$

Основная поддержка

Если это

пространство с топологической мерой с мерой Бореля (например, или измеримое по Лебегу подмножество, снабженное мерой Лебега), то обычно идентифицируются функции, которые равны -почти везде. В этом случае${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle \ mu}$существенная поддержка измеримой функцииписьменногоопределяется как наименьшее замкнутое подмножествоизтакихчтопочти всюду внеЭквивалентно,является дополнением крупнейшегооткрытого множествана которомпочти всюду ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f),}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f = 0}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle F.}$${\ displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f)}$${\ displaystyle f = 0}$ ${\ displaystyle \ mu}$

$${\ displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f): = X \ setminus \ bigcup \ left \ {\ Omega \ substeq X: \ Omega {\ text {открыт и}} f = 0 \, \ mu { \ text {-почти везде в}} \ Omega \ right \}.}$$

Существенная поддержка функции зависит не только от

меры, но и может быть строго меньше, чем закрытая поддержка. Например, если - функция Дирихле, которая существует на иррациональных числах и на рациональных числах, и снабжена мерой Лебега, то носителем является весь интервал, но существенный носитель пуст, поскольку равен почти всюду нулевой функции . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1],}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

В анализе почти всегда требуется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два набора различны, поэтому часто пишется просто как и упоминается как поддержка. ${\ displaystyle \ operatorname {ess \, supp} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {supp} (f)}$

Обобщение

Если - произвольное множество, содержащее ноль, понятие опоры можно сразу обобщить на функции. Опора также может быть определена для любой

алгебраической структуры с тождеством (такой как группа , моноид или композиционная алгебра ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуль. Например, семейство функций от натуральных чисел до целых - это бесчисленное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство - это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f: X \ to M.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ left \ {f \ in \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}: f {\ text {имеет конечную поддержку}} \ right \}}$

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы .

В теории вероятностей и меры

Дополнительная информация: поддержка (теория меры)

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно в общих чертах представить как замыкание набора возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если - случайная величина, то опорой является наименьшее замкнутое множество, такое что${\ Displaystyle X: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle R_ {X} \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle P \ left (X \ in R_ {X} \ right) = 1.}$

На практике , однако, носитель из дискретной случайной величины часто определяются как набор и поддержка

непрерывной случайной величины определяются как набор , где является функцией плотности вероятности из (в теоретико-множественной поддержки ). ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle R_ {X} = \ {х \ in \ mathbb {R}: P (X = x)> 0 \}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R_ {X} = \ {x \ in \ mathbb {R}: f_ {X} (x)> 0 \}}$${\ displaystyle f_ {X} (x)}$${\ displaystyle X}$

Обратите внимание , что слово поддержки может обратиться к логарифму от вероятности функции плотности вероятности.

Поддержка раздачи

Можно также говорить о поддержке такого распределения , как дельта-функция Дирака на реальной прямой. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции , которые являются

гладкими функциями с поддержкой не включая точку С (распределения применяется как линейный функционал к ) является для таких функций, мы можем сказать , что поддержка является только. Поскольку меры (включая вероятностные ) на вещественной прямой являются частными случаями распределений, мы можем точно так же говорить о поддержке меры. ${\ Displaystyle \ дельта (х)}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle \ delta (F)}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Предположим, что это распределение, и это открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех пробных функций , носитель которых содержится в Then , говорят, что он обращается в нуль на Now, если обращается в нуль на произвольном семействе открытых множеств, то для любая тестовая функция, поддерживаемая простым аргументом, основанным на компактности носителя и разбиении единицы, также показывает это . Таким образом , мы можем определить

поддержку в качестве дополнения наибольшего открытого множества , на котором исчезает. Например, поддержка дельты Дирака равна${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle f (\ phi) = 0.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ bigcup U _ {\ alpha},}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle е (\ фи) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {0 \}.}$

Исключительная поддержка

В частности, в анализе Фурье интересно изучитьединственная поддержка раздачи. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределениене может быть гладкой функцией.

Например, преобразование Фурье от ступенчатой функции Хевисайда может, с точностью до постоянных факторов, считается (функция) , за

исключением в то время как , очевидно , особая точка, это является более точным , чтобы сказать , что преобразование распределения имеет особую поддержку : он не может быть точно выражен как функция по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включая его. Его можно выразить как применение несобственного интеграла Коши с главным значением . ${\ displaystyle 1 / x}$${\ displaystyle x = 0.}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ displaystyle 0.}$

Для распределений нескольких переменных особые опоры позволяют определять множества волновых фронтов и понимать принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Особые опоры также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «умножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака не удается - по существу, потому, что особые носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семья опор

Абстрактное понятие Семейство носителей натопологическом пространстве, пригодном для

теории пучков, было определеноАнри Картаном. При распространениидвойственности Пуанкаренанекомпактныемногообразияидея «компактного носителя» естественным образом входит по одну сторону двойственности; см., например,когомологии Александера – Спаниера. ${\ displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (2-е издание, 1997 г.) дает эти определения. Семейство замкнутых подмножеств - это

семейство опор , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его протяженность является объединение по А паракомпактифицируемости семейства опор , что удовлетворяет далее , что любой в есть, с топологией подпространства , в паракомпакта ; и некоторые из них находятся по соседству . Если - локально компактное пространство , то в предположении Хаусдорфа семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактифицирующим. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Phi.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle X}$

Смотрите также

• Ограниченная функция  - Математическая функция
• Функция Bump  - плавная и компактная функция
• Поддержка модуля
• Теорема Титчмарша о свертке

Цитаты

использованная литература

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .