Мощность континуума - Cardinality of the continuum

В теории множеств , то мощность континуума является кардинальной или «размером» из набора из действительных чисел , которую иногда называют континуум . Это бесконечное кардинальное число, обозначаемое (строчная фрактура "с") или .

Действительных чисел больше, чем натуральных . Кроме того, имеет такое же число элементов, что и силовой набор из Символический, если мощности обозначаются как , мощность континуума

Это было доказано Георгом Кантором в его бесчисленном доказательстве 1874 года, которое является частью его новаторского исследования различных бесконечностей. Позднее неравенство было сформулировано более просто в его диагональном аргументе в 1891 году. Кантор определил мощность в терминах биективных функций : два множества имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда между ними существует биективная функция.

Между любыми двумя действительными числами a  <  b , независимо от того, насколько они близки друг к другу, всегда есть бесконечно много других действительных чисел, и Кантор показал, что их столько же, сколько содержится во всем наборе действительных чисел. Другими словами, открытый интервал ( , б ) является equinumerous с Это также справедливо и для некоторых других бесконечных множеств, таких как любой п - мерном евклидовом пространстве (см кривую заполнения пространства ). То есть,

Наименьшее бесконечное кардинальное число - ( aleph-null ). Второй по величине - ( алеф-он ). Гипотеза континуума , которая утверждает, что не существует множеств, мощность которых находится строго между и , означает это . Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима и не может быть доказана в рамках широко используемой теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Характеристики

Бесчисленность

Георг Кантор ввел понятие мощности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он классно показал, что набор действительных чисел бесконечно бесконечен . То есть, строго больше мощности из натуральных чисел , :

На практике это означает, что вещественных чисел строго больше, чем целых. Кантор доказал это утверждение несколькими разными способами. Для получения дополнительной информации по этой теме см первого несчетность доказательства Кантора и диагональный аргумент Кантора .

Кардинальные равенства

Вариант диагонального аргумента Кантора можно использовать для доказательства теоремы Кантора , в которой говорится, что мощность любого набора строго меньше, чем мощность его набора мощности . То есть, (и так , что силовой агрегат из натуральных чисел несчетно). Фактически, можно показать, что мощность равна следующему:

  1. Определите карту от действительных чисел к множеству степеней рациональных чисел , отправив каждое действительное число набору всех рациональных чисел, меньших или равных (с реальными числами, рассматриваемыми как сокращения Дедекинда , это не что иное, как карта включения в набор наборов рациональных чисел). Поскольку рациональные являются плотными в этом отображение инъективно , а потому , что рациональные счетны, имеет .
  2. Позвольте быть набор бесконечных последовательностей со значениями в наборе . Этот набор имеет мощность (естественное взаимное соответствие между набором двоичных последовательностей и задается индикаторной функцией ). Теперь, адъюнкт к каждой такой последовательности уникального действительного числа в интервале с троичным -разложением заданного цифрой , то есть , то ая цифра после дробной точки по отношению к основанию . Изображение этой карты называется канторовым множеством . Нетрудно понять, что это отображение является инъективным, поскольку, избегая точек с цифрой 1 в их троичном расширении, мы избегаем конфликтов, вызванных тем фактом, что троичное расширение действительного числа не является уникальным. Тогда у нас есть это .

По теореме Кантора – Бернштейна – Шредера заключаем, что

Кардинальное равенство можно продемонстрировать с помощью кардинальной арифметики :

Используя правила кардинальной арифметики, можно также показать, что

где n - любой конечный кардинал ≥ 2, и

где - мощность множества R , и .

Альтернативное объяснение

Каждое действительное число имеет по крайней мере одно бесконечное десятичное расширение . Например,

1/2 = 0,50000 ...
1/3 = 0,33333 ...
π = 3,14159 ....

(Это верно даже в случае повторения расширения, как в первых двух примерах.)

В любом случае количество цифр является счетным, поскольку они могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел . Это делает разумным говорить, скажем, о первой, сотой или миллионной цифре числа π. Поскольку натуральные числа имеют мощность, каждое действительное число имеет цифры в своем раскрытии.

Поскольку каждое действительное число можно разбить на целую часть и десятичную дробь, мы получаем:

где мы использовали тот факт, что

С другой стороны, если мы на карте , чтобы и считать , что десятичные дроби , содержащие только 3 или 7 лишь часть действительных чисел, то мы получим

и поэтому

Числа Бет

Последовательность чисел beth определяется установкой и . Так это второй номер Беф, Беф-одном :

Третье число beth, beth-two , представляет собой мощность набора степеней (т. Е. Набора всех подмножеств реальной линии ):

Гипотеза континуума

Известная гипотеза континуума утверждает , что также второй номер алеф , . Другими словами, гипотеза континуума утверждает, что не существует множества , мощность которого находится строго между и

Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). То есть и гипотеза, и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. Фактически, для любого ненулевого натурального числа n равенство = не зависит от ZFC (случай является гипотезой континуума). То же самое верно и для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено теоремой Кенига на основании конфинальности (например, ). В частности, это может быть или или , где - первый несчетный порядковый номер , поэтому он может быть либо кардиналом-преемником, либо предельным кардиналом , а также либо обычным кардиналом, либо единственным кардиналом .

Множества с мощностью континуума

Огромное количество множеств, изучаемых в математике, имеют мощность, равную . Вот некоторые общие примеры:

  • что действительные числа
  • любой ( невырожденный ) закрытый или открытый интервал в (например, единичный интервал )
  • что иррациональные числа
  • в числе трансцендентного Заметит , что множество вещественных алгебраических чисел счетно бесконечно (правопреемник каждую формулу ее номер Гедель .) Таким образом, мощность действительных алгебраических чисел . Кроме того, действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа являются непересекающимися множествами, объединение которых равно . Таким образом, поскольку мощность числа равна , мощность реальных трансцендентных чисел равна . Аналогичный результат следует для комплексных трансцендентных чисел, если мы это доказали .
  • канторовым
  • Евклидово пространство
  • что комплексные числа Заметим , что, в доказательство Кантора мощности евклидова пространства . По определению любое может быть однозначно выражено как некоторое . Поэтому мы определяем биекцию
  • силовой агрегат из натуральных чисел (множество всех подмножеств натуральных чисел)
  • набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции , часто обозначаемые )
  • набор последовательностей действительных чисел,
  • множество всех непрерывных функций от до
  • евклидовой топологии на (то есть совокупность всех открытых множеств в )
  • Борель σ-алгебра на (то есть множество всех множеств Борель в ).

Наборы с большей мощностью

Наборы с мощностью больше, чем включают:

  • набор всех подмножеств (т.е. набор мощности )
  • множество 2 R из индикаторных функций , определенные на подмножествах переАльса (множество является изоморфным к  - индикаторной функции элементы оператора выбрали каждое подмножество , чтобы включать в себя)
  • набор всех функций от до
  • Лебегу σ-алгебра из , то есть множество всех измеримых по Лебегу множеств .
  • множество всех интегрируемых по Лебегу функций от до
  • множество всех измеримых по Лебегу функций от до
  • в Каменном Чех из , и
  • множество всех автоморфизмов (дискретного) поля комплексных чисел.

Все они имеют мощность (между двумя ).

использованная литература

  1. ^ "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 12 августа 2020 .
  2. ^ «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 .
  3. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Континуум" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
  4. ^ a b Был ли Кантор удивлен? , Фернандо К. Гувеа , American Mathematical Monthly , март 2011 г.

Библиография

Эта статья содержит материал от мощности континуума на PlanetMath , который под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .