Мощность континуума - Cardinality of the continuum
В теории множеств , то мощность континуума является кардинальной или «размером» из набора из действительных чисел , которую иногда называют континуум . Это бесконечное кардинальное число, обозначаемое (строчная фрактура "с") или .
Действительных чисел больше, чем натуральных . Кроме того, имеет такое же число элементов, что и силовой набор из Символический, если мощности обозначаются как , мощность континуума
Это было доказано Георгом Кантором в его бесчисленном доказательстве 1874 года, которое является частью его новаторского исследования различных бесконечностей. Позднее неравенство было сформулировано более просто в его диагональном аргументе в 1891 году. Кантор определил мощность в терминах биективных функций : два множества имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда между ними существует биективная функция.
Между любыми двумя действительными числами a < b , независимо от того, насколько они близки друг к другу, всегда есть бесконечно много других действительных чисел, и Кантор показал, что их столько же, сколько содержится во всем наборе действительных чисел. Другими словами, открытый интервал ( , б ) является equinumerous с Это также справедливо и для некоторых других бесконечных множеств, таких как любой п - мерном евклидовом пространстве (см кривую заполнения пространства ). То есть,
Наименьшее бесконечное кардинальное число - ( aleph-null ). Второй по величине - ( алеф-он ). Гипотеза континуума , которая утверждает, что не существует множеств, мощность которых находится строго между и , означает это . Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима и не может быть доказана в рамках широко используемой теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).
Характеристики
Бесчисленность
Георг Кантор ввел понятие мощности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он классно показал, что набор действительных чисел бесконечно бесконечен . То есть, строго больше мощности из натуральных чисел , :
На практике это означает, что вещественных чисел строго больше, чем целых. Кантор доказал это утверждение несколькими разными способами. Для получения дополнительной информации по этой теме см первого несчетность доказательства Кантора и диагональный аргумент Кантора .
Кардинальные равенства
Вариант диагонального аргумента Кантора можно использовать для доказательства теоремы Кантора , в которой говорится, что мощность любого набора строго меньше, чем мощность его набора мощности . То есть, (и так , что силовой агрегат из натуральных чисел несчетно). Фактически, можно показать, что мощность равна следующему:
- Определите карту от действительных чисел к множеству степеней рациональных чисел , отправив каждое действительное число набору всех рациональных чисел, меньших или равных (с реальными числами, рассматриваемыми как сокращения Дедекинда , это не что иное, как карта включения в набор наборов рациональных чисел). Поскольку рациональные являются плотными в этом отображение инъективно , а потому , что рациональные счетны, имеет .
- Позвольте быть набор бесконечных последовательностей со значениями в наборе . Этот набор имеет мощность (естественное взаимное соответствие между набором двоичных последовательностей и задается индикаторной функцией ). Теперь, адъюнкт к каждой такой последовательности уникального действительного числа в интервале с троичным -разложением заданного цифрой , то есть , то ая цифра после дробной точки по отношению к основанию . Изображение этой карты называется канторовым множеством . Нетрудно понять, что это отображение является инъективным, поскольку, избегая точек с цифрой 1 в их троичном расширении, мы избегаем конфликтов, вызванных тем фактом, что троичное расширение действительного числа не является уникальным. Тогда у нас есть это .
По теореме Кантора – Бернштейна – Шредера заключаем, что
Кардинальное равенство можно продемонстрировать с помощью кардинальной арифметики :
Используя правила кардинальной арифметики, можно также показать, что
где n - любой конечный кардинал ≥ 2, и
где - мощность множества R , и .
Альтернативное объяснение
Каждое действительное число имеет по крайней мере одно бесконечное десятичное расширение . Например,
(Это верно даже в случае повторения расширения, как в первых двух примерах.)
В любом случае количество цифр является счетным, поскольку они могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел . Это делает разумным говорить, скажем, о первой, сотой или миллионной цифре числа π. Поскольку натуральные числа имеют мощность, каждое действительное число имеет цифры в своем раскрытии.
Поскольку каждое действительное число можно разбить на целую часть и десятичную дробь, мы получаем:
где мы использовали тот факт, что
С другой стороны, если мы на карте , чтобы и считать , что десятичные дроби , содержащие только 3 или 7 лишь часть действительных чисел, то мы получим
и поэтому
Числа Бет
Последовательность чисел beth определяется установкой и . Так это второй номер Беф, Беф-одном :
Третье число beth, beth-two , представляет собой мощность набора степеней (т. Е. Набора всех подмножеств реальной линии ):
Гипотеза континуума
Известная гипотеза континуума утверждает , что также второй номер алеф , . Другими словами, гипотеза континуума утверждает, что не существует множества , мощность которого находится строго между и
Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). То есть и гипотеза, и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. Фактически, для любого ненулевого натурального числа n равенство = не зависит от ZFC (случай является гипотезой континуума). То же самое верно и для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено теоремой Кенига на основании конфинальности (например, ). В частности, это может быть или или , где - первый несчетный порядковый номер , поэтому он может быть либо кардиналом-преемником, либо предельным кардиналом , а также либо обычным кардиналом, либо единственным кардиналом .
Множества с мощностью континуума
Огромное количество множеств, изучаемых в математике, имеют мощность, равную . Вот некоторые общие примеры:
- что действительные числа
- любой ( невырожденный ) закрытый или открытый интервал в (например, единичный интервал )
- что иррациональные числа
- в числе трансцендентного Заметит , что множество вещественных алгебраических чисел счетно бесконечно (правопреемник каждую формулу ее номер Гедель .) Таким образом, мощность действительных алгебраических чисел . Кроме того, действительные алгебраические числа и действительные трансцендентные числа являются непересекающимися множествами, объединение которых равно . Таким образом, поскольку мощность числа равна , мощность реальных трансцендентных чисел равна . Аналогичный результат следует для комплексных трансцендентных чисел, если мы это доказали .
- канторовым
- Евклидово пространство
- что комплексные числа
Заметим , что, в доказательство Кантора мощности евклидова пространства . По определению любое может быть однозначно выражено как некоторое . Поэтому мы определяем биекцию
- силовой агрегат из натуральных чисел (множество всех подмножеств натуральных чисел)
- набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции , часто обозначаемые )
- набор последовательностей действительных чисел,
- множество всех непрерывных функций от до
- евклидовой топологии на (то есть совокупность всех открытых множеств в )
- Борель σ-алгебра на (то есть множество всех множеств Борель в ).
Наборы с большей мощностью
Наборы с мощностью больше, чем включают:
- набор всех подмножеств (т.е. набор мощности )
- множество 2 R из индикаторных функций , определенные на подмножествах переАльса (множество является изоморфным к - индикаторной функции элементы оператора выбрали каждое подмножество , чтобы включать в себя)
- набор всех функций от до
- Лебегу σ-алгебра из , то есть множество всех измеримых по Лебегу множеств .
- множество всех интегрируемых по Лебегу функций от до
- множество всех измеримых по Лебегу функций от до
- в Каменном Чех из , и
- множество всех автоморфизмов (дискретного) поля комплексных чисел.
Все они имеют мощность (между двумя ).
использованная литература
- ^ "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Континуум" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ a b Был ли Кантор удивлен? , Фернандо К. Гувеа , American Mathematical Monthly , март 2011 г.
Библиография
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
Эта статья содержит материал от мощности континуума на PlanetMath , который под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .