Переменная (математика) - Variable (mathematics)

В математике , А переменный является символом , который работает в качестве заполнителя для экспрессии или количеств , которые могут изменяться или изменения; часто используется для представления аргумента функции или произвольного элемента набора . Помимо чисел , переменные обычно используются для представления векторов , матриц и функций .

Выполнение алгебраических вычислений с переменными, как если бы они были явными числами, позволяет решить ряд проблем за одно вычисление. Типичным примером является квадратная формула , которая позволяет решить каждое квадратное уравнение, просто подставляя числовые значения коэффициентов данного уравнения вместо переменных, которые их представляют.

В математической логике , А переменный является либо символ , представляющий неопределенный срок теории (то есть, мета-переменным ), или основной объект теории-который манипулирует без ссылки на его возможную интуитивную интерпретацию.

Этимология

«Переменный» происходит от латинского слова « varābilis» , где « var (us) » означает «различный», а « -ābilis » означает «-able», что означает «способный к изменению».

Генезис и эволюция концепции

В 7 веке Брахмагупта использовал разные цвета для представления неизвестных в алгебраических уравнениях в Брахмаспхунасиддханте . Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов».

В конце XVI века Франсуа Виет представил идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые сейчас называются переменными, и идею вычисления с ними, как если бы они были числами, чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Виэта заключалось в использовании согласных для известных значений и гласных для неизвестных.

В 1637 году Рене Декарт «изобрел соглашение о представлении неизвестных в уравнениях через x , y и z , а известных через a , b и c ». Вопреки соглашению Виэта, слово Декарта все еще широко используется. История буквы x в математике обсуждалась в статье в журнале Scientific American 1887 года.

Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое, по сути, состоит из изучения того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер закрепил терминологию исчисления бесконечно малых и ввел обозначение y = f ( x ) для функции f , ее переменной x и значения y . До конца XIX века слово « переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.

Во второй половине XIX века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не были достаточно формализованы, чтобы иметь дело с очевидными парадоксами, такими как нигде не дифференцируемая непрерывная функция . Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Старое понятие предела заключалось в том, что «когда переменная x изменяется и стремится к a , затем f ( x ) стремится к L », без какого-либо точного определения «имеет тенденцию». Вейерштрасс заменил это предложение формулой

в котором ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которая представляет собой просто символ, представляющий математический объект, который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом данного набора (например, набором действительных чисел ).

Конкретные виды переменных

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение

интерпретируется как имеющие пять переменных: четыре, , Ь , с , d , которые принимаются быть данные числа и пятую переменную, х , понимается , чтобы быть неизвестно число. Чтобы различать их, переменная x называется неизвестной , а другие переменные называются параметрами или коэффициентами , а иногда и константами , хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функции, определяемой левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин « переменная» обычно относится к аргументам функций. Обычно это имеет место в таких предложениях, как « функция действительной переменной », « x - переменная функции f : xf ( x ) », « f - функция переменной x » (что означает, что аргумент на функцию ссылается переменная x ).

В том же контексте переменные, не зависящие от x, определяют постоянные функции и поэтому называются постоянными . Например, постоянная интегрирования - это произвольная постоянная функция, которая добавляется к конкретной первообразной для получения других первообразных. Поскольку между полиномами и полиномиальной функцией существует сильная связь , термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов полинома, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Это использование «константы» как сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. Константа , или математическая константа является хорошо и однозначно определенным числом или другим математическим объектом, как, например, число 0, 1, π и единичный элемент из группы .

Другие конкретные имена переменных:

Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычисления с ними ( синтаксис ) одинаков для всех.

Зависимые и независимые переменные

В исчислении и его применении в физике и других науках довольно часто рассматривается переменная, например y , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, например x . С математической точки зрения зависимая переменная y представляет собой значение функции от x . Чтобы упростить формулы, часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной y и функции, отображающей x на y . Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление , температура , пространственное положение, ..., и все эти величины меняются по мере развития системы, то есть они являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, рассматриваются неявно как функции времени.

Следовательно, в формуле зависимая переменная - это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. Независимая переменная является переменной , которая не зависит.

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении f ( x , y , z ) все три переменные могут быть независимыми, а обозначение представляет функцию трех переменных. С другой стороны, если y и z зависят от x (являются зависимыми переменными ), то запись представляет собой функцию единственной независимой переменной x .

Примеры

Если определить функцию f от действительных чисел к действительным числам с помощью

тогда x - это переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом.

В личности

переменная i - это суммирующая переменная, которая, в свою очередь, обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., n (она также называется индексом, потому что ее вариация распространяется на дискретный набор значений), а n - параметр (не варьируются в пределах формулы).

В теории многочленов многочлен степени 2 обычно обозначается как ax 2 + bx + c , где a , b и c называются коэффициентами (предполагается, что они фиксированы, т. Е. Параметры рассматриваемой задачи), а x есть называется переменной. При изучении этого полинома для его полиномиальной функции этого х обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта само по себе x считается неопределенным и часто вместо этого записывается с заглавной буквы, чтобы указать этот статус.

Обозначение

В математике переменные обычно обозначаются одной буквой. Однако за этой буквой часто следует нижний индекс, как в x 2 , и этот нижний индекс может быть числом, другой переменной ( x i ), словом или сокращением слова ( x in и x out ) и даже математическое выражение . Под влиянием информатики можно встретить в чистой математике имена переменных, состоящие из нескольких букв и цифр.

Вслед за французским философом и математиком 17 века Рене Декартом буквы в начале алфавита, например, a , b , c , обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, например x , y , z , и t обычно используются для неизвестных и переменных функций. В печатной математике , как правило, переменные и константы выделяются курсивом .

Например, общая квадратичная функция условно записывается как:

где a , b и c - параметры (также называемые константами, потому что они являются постоянными функциями ), а x - переменная функции. Более явный способ обозначить эту функцию -

который очищает статус аргумента функции x и, таким образом, неявно константный статус a , b и c . Поскольку c встречается в члене, который является постоянной функцией x , он называется постоянным членом .

Конкретные области и приложения математики обычно имеют особые соглашения об именах переменных. Переменным с похожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы. Например, три оси в трехмерном координатном пространстве условно называются x , y и z . В физике имена переменных в значительной степени определяются физической величиной, которую они описывают, но существуют различные соглашения об именах. Соглашение, которому часто следуют в области вероятности и статистики, состоит в том, чтобы использовать X , Y , Z для имен случайных величин , сохраняя x , y , z для переменных, представляющих соответствующие фактические значения.

Есть много других способов обозначения. Обычно переменные, которые играют аналогичную роль, представлены последовательными буквами или одной и той же буквой с разными нижними индексами . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных вариантов использования.

Смотрите также

Библиография

  • Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр.  1 и далее.
  • Карл Менгер, «О переменных в математике и естествознании», Британский журнал философии науки, 5 : 18: 134–142 (август 1954 г.) JSTOR  685170
  • Ярослав Перегрин, « Переменные в естественном языке: откуда они берутся? », В M. Boettner, W. Thümmel, eds., Variable-Free Semantics , 2000, pp. 46–65.
  • У. В. Куайн , « Переменные, объясненные дальше », Труды Американского философского общества 104 : 343–347 (1960).

использованная литература