Мера Хаусдорфа - Hausdorff measure

В математике , мера Хаусдорфа является обобщением традиционных представлений о площади и объеме до нецелых размеров, в частности , фрактал и их размеров Хаусдорфовых . Это тип внешней меры , названный в честь Феликса Хаусдорфа , который присваивает число в [0, ∞] каждому множеству в или, в более общем смысле, в любом метрическом пространстве . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Нульмерная мера Хаусдорфа - это количество точек в множестве (если множество конечно) или ∞, если множество бесконечно. Точно так же, одномерная мера Хаусдорфа в простой кривой в равна длине кривой, а двумерная Хаусдорфово мера Лебега измеримого подмножества из пропорционально площади набора. Таким образом, понятие меры Хаусдорфа обобщает меру Лебега и ее понятия счета, длины и площади. Это также обобщает объем. Фактически, существуют d -мерные меры Хаусдорфа для любого d ≥ 0, которое не обязательно является целым числом. Эти меры являются фундаментальными в геометрической теории меры . Они естественным образом появляются в гармоническом анализе или теории потенциала . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Определение

Позвольте быть метрическое пространство . Для любого подмножества , пусть обозначим его диаметр, то есть ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$ ${\ displaystyle \ mathrm {diam} \; U}$

{\ displaystyle \ operatorname {diam} U: = \ sup \ {\ rho (x, y): x, y \ in U \}, \ quad \ operatorname {diam} \ emptyset: = 0}

Позвольте быть любое подмножество и действительное число. Определять ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$

{\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d} : \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} U_ {i} \ supseteq S, \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta \ right \},}

где нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множествами, удовлетворяющими . ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle U_ {я} \ подмножество X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} U_ {i} <\ delta}$

Обратите внимание, что это монотонный невозрастание, поскольку чем больше , тем больше разрешено наборов наборов, что делает нижнюю грань не больше. Таким образом, существует, но может быть бесконечным. Позволять ${\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$

{\ displaystyle H ^ {d} (S): = \ sup _ {\ delta> 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S) = \ lim _ {\ delta \ to 0} H _ {\ delta} ^ {d} (S).}

Видно, что это внешняя мера (точнее, метрическая внешняя мера ). По теореме Каратеодори о расширении его ограничение на σ-поле множеств, измеримых по Каратеодори, является мерой. Это называется - мерная мера Хаусдорфа о . В связи с метрической внешней мерой собственности, все борелевские подмножества являются измеримыми. ${\ displaystyle H ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle H ^ {d}}$

В приведенном выше определении множества в покрытии произвольны.

Однако мы можем потребовать, чтобы накрывающие множества были открытыми или замкнутыми, или даже выпуклыми в нормированных пространствах , что даст те же числа, а значит, и ту же меру. В ограничении множества облицовочного быть шарики могут изменить меры , но не меняет размерность измеренных множеств. ${\ displaystyle H _ {\ delta} ^ {d} (S)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Свойства мер Хаусдорфа

Обратите внимание, что если d - положительное целое число, d- мерная мера Хаусдорфа является перемасштабированием обычной d -мерной меры Лебега, которая нормирована так, что мера Лебега единичного куба [0,1] ^d равна 1. Фактически, для любое борелевское множество E , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {d}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {d} (E) = 2 ^ {- d} \ alpha _ {d} H ^ {d} (E),}

где α _d - объем единичного d- шара ; это может быть выражено с помощью гамма-функции Эйлера

{\ displaystyle \ alpha _ {d} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {1} {2}}) ^ {d}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1) }} = {\ frac {\ pi ^ {d / 2}} {\ Gamma ({\ frac {d} {2}} + 1)}}.}.

Замечание . Некоторые авторы принимают определение меры Хаусдорфа, немного отличное от выбранного здесь, с той разницей, что оно нормировано таким образом, что d- мерная мера Хаусдорфа в случае евклидова пространства в точности совпадает с мерой Лебега.

Связь с хаусдорфовой размерностью

Оказывается, может иметь конечное ненулевое значение не более одного . То есть мера Хаусдорфа равна нулю для любого значения выше определенного измерения и бесконечности ниже определенного измерения, аналогично идее о том, что площадь линии равна нулю, а длина 2D-формы в некотором смысле бесконечна. Это приводит к одному из нескольких возможных эквивалентных определений размерности Хаусдорфа: ${\ displaystyle H ^ {d} (S)}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle \ dim _ {\ mathrm {Haus}} (S) = \ inf \ {d \ geq 0: H ^ {d} (S) = 0 \} = \ sup \ left (\ {d \ geq 0 : H ^ {d} (S) = \ infty \} \ cup \ {0 \} \ right),}

где мы берем

{\ displaystyle \ inf \ emptyset = \ infty.}

Заметим, что не гарантируется, что мера Хаусдорфа должна быть конечной и отличной от нуля для некоторого d , и действительно, мера в размерности Хаусдорфа все еще может быть нулевой; в этом случае размерность Хаусдорфа по-прежнему действует как точка перегиба между мерой нуля и бесконечности.

Обобщения

В геометрической теории меры и связанных областях содержание Минковского часто используется для измерения размера подмножества метрического пространства меры. Для подходящих областей в евклидовом пространстве два понятия размера совпадают, вплоть до общей нормализации в зависимости от соглашений. Более точно, подмножество называется -спрямляемым, если оно является образом ограниченного множества в под липшицевой функцией . Если , то -мерное содержание Минковского замкнутого -спрямляемого подмножества в равно умноженному на -мерную меру Хаусдорфа ( Федерер, 1969 , теорема 3.2.29). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle м <п}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- m} \ alpha _ {m}}$ ${\ displaystyle m}$

Во фрактальной геометрии некоторые фракталы с хаусдорфовой размерностью имеют нулевую или бесконечномерную меру Хаусдорфа. Например, почти наверняка образ плоского броуновского движения имеет размерность Хаусдорфа 2, а его двумерная мера Хаусдорфа равна нулю. Чтобы «измерить» «размер» таких множеств, математики рассмотрели следующий вариант понятия меры Хаусдорфа: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d}$

В определении меры заменяется на где - любая монотонно возрастающая функция множества, удовлетворяющая

{\ displaystyle (\ operatorname {diam} U_ {i}) ^ {d}}

{\ displaystyle \ phi (U_ {i}),}

{\ displaystyle \ phi}

{\ Displaystyle \ фи (\ emptyset) = 0.}

Это мера Хаусдорфа с калибровочной функцией или мера Хаусдорфа. Мерное множество может удовлетворить , но с соответствующими Примерами калибровочных функций включают в себя ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ phi,}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle H ^ {d} (S) = 0,}$ ${\ Displaystyle Н ^ {\ phi} (S) \ в (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ phi.}$

{\ displaystyle \ phi (t) = t ^ {2} \ log \ log {\ frac {1} {t}} \ quad {\ text {или}} \ quad \ phi (t) = t ^ {2} \ log {\ frac {1} {t}} \ log \ log \ log {\ frac {1} {t}}.}

Первое дает почти наверняка положительную и -конечную меру броуновскому пути в отношении когда , а второе - когда . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle n> 2}$ ${\ displaystyle n = 2}$

Смотрите также

использованная литература

Эванс, Лоуренс С .; Гариепи, Рональд Ф. (1992), Теория меры и тонкие свойства функций , CRC Press.
Федерер, Герберт (1969), геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
Хаусдорфа, Феликс (1918), "Размеры унд äusseres масса" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1-2): 157-179, DOI : 10.1007 / BF01457179.
Морган, Франк (1988), Геометрическая теория меры , Academic Press.
Роджерс, Калифорния (1998), меры Хаусдорфа , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
Szpilrajn, E (1937), "La Размерность и др ла Mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81-89, DOI : 10,4064 / фм-28-1-81-89.

Languages

In other projects