Курносый додекаэдр - Snub dodecahedron

Курносый додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	(20 + 60) {3} +12 {5}
Обозначение Конвея	sD
Символы Шлефли	sr {5,3} или ${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	ht 0,1,2 {5,3}
Символ Wythoff	| 2 3 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Я , 1/2H 3 , [5,3] + , (532), порядок 60
Группа вращения	I , [5,3] + , (532), порядок 60
Двугранный угол	3-3: 164 ° 10′31 ″ (164,18 °) 3-5: 152 ° 55′53 ″ (152,93 °)
использованная литература	U 29 , C 32 , W 18
Характеристики	Полуправильная выпуклая киральная
Цветные лица	3.3.3.3.5 ( фигура вершины )
Пятиугольный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель курносого додекаэдра

В геометрии , в курносом додекаэдре , или курносого икосододекаэдре , является архимедовым твердым веществом , один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых веществ построены два или более типов правильных многоугольника граней .

Курносый додекаэдр имеет 92 грани (большинство из 13 архимедовых тел): 12 - пятиугольники, а остальные 80 - равносторонние треугольники . Он также имеет 150 ребер и 60 вершин.

Он имеет две различные формы, которые являются зеркальным отображением (или « энантиоморфами ») друг друга. Объединение обеих форм представляет собой соединение двух курносых додекаэдров , а выпуклая оболочка обеих форм представляет собой усеченный икосододекаэдр .

Кеплер впервые назвал его на латыни как dodecahedron simum в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . HSM Coxeter , отметив, что он может быть получен в равной степени как от додекаэдра, так и от икосаэдра, назвал его курносым икосододекаэдром с вертикально вытянутым символом Шлефли и плоским символом Шлефли sr {5,3}. ${\ displaystyle s \ scriptstyle {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$

Декартовы координаты

Пусть ξ ≈0,943 151 259 24 - действительный ноль кубического многочлена x ³ + 2 x ² - φ ² , где φ - золотое сечение . Пусть точка p задается формулой

${\ displaystyle p = {\ begin {pmatrix} \ phi ^ {2} - \ phi ^ {2} \ xi \\ - \ phi ^ {3} + \ phi \ xi +2 \ phi \ xi ^ {2} \\\ xi \ end {pmatrix}}}$.

Пусть матрицы вращения M ₁ и M ₂ задаются формулами

${\ displaystyle M_ {1} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {2 \ phi}} & - {\ frac {\ phi} {2}} & {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {\ phi} {2}} и {\ frac {1} {2}} и {\ frac {1} {2 \ phi}} \\ - {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {2 \ phi}} & {\ frac {\ phi} {2}} \ end {pmatrix}}}$

а также

${\ displaystyle M_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

M ₁ представляет собой поворот вокруг оси (0,1, φ ) на угол2 π/5против часовой стрелки, в то время как M ₂ , представляющий циклический сдвиг ( x , y , z ), представляет вращение вокруг оси (1,1,1) на угол2 π/3. Тогда 60 вершин курносого додекаэдра являются 60 образами точки p при многократном умножении на M ₁ и / или M ₂ , итерациях до сходимости. (Матрицы M ₁ и М ₂ генерируют матрицы поворота на 60 , соответствующие 60 - вращательных симметрий одного икосаэдра .) Координаты вершин являются целыми линейными комбинациями 1, ф , £ , , φξ , £ , ² и φξ ² . Длина кромки равна

${\ displaystyle 2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi}} \ приблизительно 0,449 \, 750 \, 618 \, 41.}$

Отрицание всех координат дает зеркальное отображение этого пренебрежительного додекаэдра.

В целом курносый додекаэдр состоит из 80 треугольных и 12 пятиугольных пирамид. Объем V ₃ одной треугольной пирамиды определяется выражением:

${\ displaystyle V_ {3} = {\ frac {1} {3}} \ phi \ left (3 \ xi ^ {2} - \ phi ^ {2} \ right) \ приблизительно 0,027 \, 274 \, 068 \ , 85,}$

и объем V ₅ одной пятиугольной пирамиды:

${\ displaystyle V_ {5} = {\ frac {1} {3}} (3 \ phi +1) \ left (\ phi + 3-2 \ xi -3 \ xi ^ {2} \ right) \ xi ^ {3} \ приблизительно 0,103 \, 349 \, 665 \, 04.}$

Общий объем составляет

${\ displaystyle 80V_ {3} + 12V_ {5} \ приблизительно 3,422 \, 121 \, 488 \, 76.}$

Радиус описанной окружности равен

${\ displaystyle {\ sqrt {4 \ xi ^ {2} - \ phi ^ {2}}} \ приблизительно 0,969 \, 589 \, 192 \, 65.}$

Midradius равна ξ . Это дает интересную геометрическую интерпретацию числа ξ . 20 «икосаэдрических» треугольников курносого додекаэдра, описанного выше, копланарны граням правильного икосаэдра. Средний радиус этого «описанного» икосаэдра равен 1. Это означает, что ξ - это отношение между средними радиусами курносого додекаэдра и икосаэдра, в который он вписан.

Двугранный угол треугольник-треугольник определяется выражением

${\ displaystyle \ theta _ {33} = 180 ^ {\ circ} - \ arccos \ left ({\ frac {2} {3}} \ xi + {\ frac {1} {3}} \ right) \ приблизительно 164.175 \, 366 \, 056 \, 03 ^ {\ circ}.}$

Двугранный угол треугольник-пятиугольник определяется выражением

${\ Displaystyle \ theta _ {35} = 180 ^ {\ circ} - \ arccos {\ sqrt {\ frac {- (4 \ phi +8) \ xi ^ {2} - (4 \ phi +8) \ xi +12 \ phi +19} {15}}} \ приблизительно 152.929 \, 920 \, 275 \, 84 ^ {\ circ}.}$

Метрические свойства

Для курносого додекаэдра с длиной ребра 1 площадь поверхности равна

${\ displaystyle A = 20 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \ приблизительно 55.286 \, 744 \, 958 \, 445 \, 15.}$

Его объем

${\ displaystyle V = {\ frac {(3 \ phi +1) \ xi ^ {2} + (3 \ phi +1) \ xi - {\ frac {\ phi} {6}} - 2} {\ sqrt {3 \ xi ^ {2} - \ phi ^ {2}}}} \ приблизительно 37.616 \, 649 \, 962 \, 733 \, 36.}$

Его окружной радиус

${\ displaystyle R = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {2- \ xi} {1- \ xi}}} \ приблизительно 2.155 \, 837 \, 375.}$

Его средний радиус

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {1} {1- \ xi}}} \ приблизительно 2.097 \, 053 \, 835 \, 25.}$

Есть две вписанные сферы: одна касается треугольных граней, а другая, немного меньшего размера, касается пятиугольных граней. Их радиусы соответственно составляют:

${\ displaystyle r_ {3} = {\ frac {\ phi {\ sqrt {3}}} {6 \ xi}} {\ sqrt {\ frac {1} {1- \ xi}}} \ приблизительно 2,077 \, 089 \, 659 \, 74}$

а также

${\ displaystyle r_ {5} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ phi ^ {2} \ xi ^ {2} +3 \ phi ^ {2} \ xi + {\ frac {11 } {5}} \ phi + {\ frac {12} {5}}}} \ приблизительно 1.980 \, 915 \, 947 \, 28.}$

Четыре положительных действительных корня шестого уравнения в R ²

${\ displaystyle 4096R ^ {12} -27648R ^ {10} + 47104R ^ {8} -35776R ^ {6} + 13872R ^ {4} -2696R ^ {2} + 209 = 0}$

- окружные радиусы курносого додекаэдра ( U ₂₉ ), большого курносого икосододекаэдра ( U ₅₇ ), большого перевернутого курносого икосододекаэдра ( U ₆₉ ) и большого ретроснубового икосододекаэдра ( U ₇₄ ).

Курносый додекаэдр имеет самую высокую сферичность из всех архимедовых тел. Если сферичность определяется как отношение объема в квадрате к площади поверхности в кубе, умноженное на константу 36 π (где эта константа делает сферичность сферы равной 1), сферичность курносого додекаэдра составляет около 0,947.

Ортогональные проекции

Курносый додекаэдр не имеет точечной симметрии , поэтому вершина спереди не соответствует противоположной вершине сзади.

Плосконосый додекаэдр имеет два симметричных особенно ортогональные проекции , как показано ниже, в центре двух типов граней: треугольники и пятиугольники, соответствующих А ₂ и Н ₂ плоскостях кокстеровских .

Ортогональные проекции

В центре	Лицо Треугольник	Лицо Пентагона	Край
Твердый
Каркас
Проективная симметрия	[3]	[5] +	[2]
Двойной

Геометрические отношения

Додекаэдр, ромбоикосододекаэдр и курносый додекаэдр (анимированное расширение и скручивание )

Вздернутый додекаэдр может быть сгенерирован с двенадцатью пятиугольные грани додекаэдра и вытаскивать их наружу , чтобы они больше не прикасаться. На надлежащем расстоянии это может создать ромбикосододекаэдр , заполняя квадратные грани между разделенными ребрами и треугольные грани между разделенными вершинами. Но для курносой формы вытяните пятиугольные грани немного меньше, добавьте только треугольные грани и оставьте другие зазоры пустыми (остальные зазоры в этой точке прямоугольные). Затем примените равное вращение к центрам пятиугольников и треугольников, продолжая вращение до тех пор, пока промежутки не будут заполнены двумя равносторонними треугольниками. (Тот факт, что правильная величина для вытягивания граней меньше в случае курносого додекаэдра, можно увидеть двумя способами: радиус описанной окружности курносого додекаэдра меньше, чем у икосододекаэдра; или длина ребра равносторонние треугольники, образованные разделенными вершинами, увеличиваются при повороте пятиугольных граней.)

Равномерное чередование усеченного икосододекаэдра

Курносый додекаэдр также может быть получен из усеченного икосододекаэдра путем чередования . Шестьдесят вершин усеченного икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному курносому додекаэдру; остальные шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник вершинно-транзитивен, но не однороден.

Связанные многогранники и мозаики

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот полуправильный многогранник является членом последовательности курносых многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3. N ) и диаграммой Кокстера – Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n  = 6 и гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n  = 2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n v т е
Симметрия n 32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносые фигуры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскопические фигуры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Плосконосый додекаэдрический граф

Плосконосый додекаэдрический граф
Диаграмма Шлегеля с 5-кратной симметрией
Вершины	60
Края	150
Автоморфизмы	60
Характеристики	Гамильтониан , регулярный
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов , А вздернутый додекаэдрической график является графиком вершин и ребер в курносом додекаэдре, одного из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 150 ребер и является архимедовым графом .

Смотрите также

• Анимация преобразования плоского многоугольника в многогранник
• ccw и cw вращающийся курносый додекаэдр

использованная литература

• Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Вычисления на правильных многогранниках с гранями и вершинами». Математический вестник . 89 (514): 76–81. DOI : 10.1017 / S0025557200176818 . S2CID  125675814 .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн , Курносый додекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Плосконосый додекаэдрический граф» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые равномерные многогранники s3s5s - снид" .
• Редактируемая сетка для печати курносого додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Марк С. Адамс и Менно Т. Костерс. Объемные решения плоского додекаэдра.