Лемма Накаямы - Nakayama's lemma
В математике , более конкретно , абстрактная алгебра и коммутативная алгебра , леммы Накаям - также известные как теорема Крулля-Адзумай - регулируют взаимодействие между Jacobson радикала из кольца (обычно коммутативное кольцо ) и его конечно порожденных модулей . Неформально, лемма сразу дает точный смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом ведут себя как векторные пространства над полем . Это важный инструмент в алгебраической геометрии , поскольку он позволяет поточечно изучать локальные данные на алгебраических многообразиях в форме модулей над локальными кольцами как векторные пространства над полем вычетов кольца.
Лемма названа в честь японского математика Тадаси Накаяма и представлена в ее нынешнем виде в Накаяме (1951) , хотя она была впервые обнаружена в частном случае идеалов в коммутативном кольце Вольфгангом Круллем, а затем в целом Горо Адзумая ( 1951 ). . В коммутативном случае лемма является простым следствием обобщенной формы теоремы Кэли – Гамильтона , наблюдения, сделанного Майклом Атьей ( 1969 ). Частный случай некоммутативной версии леммы для правых идеалов появляется у Натана Джекобсона ( 1945 ), и поэтому некоммутативная лемма Накаямы иногда известна как теорема Джекобсона – Адзумая . Последний имеет различные приложения в теории радикалов Джекобсона .
Заявление
Позвольте быть коммутативным кольцом с единицей 1. Следующая лемма Накаямы, сформулированная в Matsumura (1989) :
Заявление 1 : Пусть быть идеал в и конечно-порожденный модуль над . Если , то существует с , такое, что .
Это доказано ниже .
Следующее следствие также известно как лемма Накаямы, и именно в такой форме оно встречается чаще всего.
Утверждение 2 : Если это конечно-порожденный модуль над , это радикалом Джекобсон из , и , затем .
- Доказательство : (с тем же, что и выше) принадлежит радикалу Джекобсона, поэтому обратимо.
В более общем плане , один имеет , что является излишним подмодулем из когда конечно-порожденных.
Утверждение 3 : Если это конечно-порожденный модуль над R , Н является подмодулем , а М = Н + J , ( R ) М , то М = Н .
- Доказательство : Нанести заявление 2 к M / N .
Следующий результат выражает лемму Накаямы в терминах образующих.
Заявление 4 : Если М является конечно-порожденный модуль над R и образы элементов т 1 , ..., м п о М в М / J ( R ) М порождают М / J ( R ) M как R - модуль , то m 1 , ..., m n также порождают M как R -модуль.
- Доказательство . Примените утверждение 3 к N = Σ i Rm i .
Если вместо этого предположить, что R является полным, а M отделено относительно I -адической топологии для идеала I в R , это последнее утверждение выполняется с I вместо J ( R ) и без предварительного предположения, что M конечно порожден . Здесь разделенность означает, что I -адическая топология удовлетворяет аксиоме отделимости T 1 и эквивалентна
Последствия
Местные кольца
В частном случае конечно порожденного модуля над локальным кольцом с максимальным идеалом фактор - это векторное пространство над полем . Заявление 4 , то следует , что в основе из лифтов к минимальному набору генераторов . Наоборот, каждый минимальный набор образующих получается таким образом, и любые два таких набора образующих связаны обратимой матрицей с элементами в кольце.
Геометрическая интерпретация
В таком виде лемма Накаямы приобретает конкретное геометрическое значение. Локальные кольца возникают в геометрии как ростки функций в точке. Конечнопорожденные модули над локальными кольцами возникают довольно часто , как ростки сечений из векторных расслоений . Работая на уровне ростков, а не точек, понятие конечномерного векторного расслоения уступает место понятию когерентного пучка . Неформально лемма Накаямы утверждает, что когерентный пучок все еще можно рассматривать как исходящий в некотором смысле из векторного расслоения. Точнее, пусть - когерентный пучок -модулей над произвольной схемой . Стебель из в точке , обозначаемой , является модулем над локальным кольцом и волокна на это векторное пространство . Из леммы Накаямы следует, что базис слоя поднимается до минимального набора образующих . Это:
- Любой базис слоя когерентного пучка в точке образуется из минимального базиса локальных сечений.
Переформулируя это геометрически, если - локально свободные -модули, представляющие векторное расслоение , и если мы возьмем базис векторного расслоения в точке схемы , этот базис можно поднять до базиса сечений векторного расслоения в некоторой окрестности точки. Мы можем организовать эти данные схематично
где есть п-мерный векторное пространство, чтобы сказать , базис в (который является основой сечений расслоения ) может быть поднятым на основу секций для некоторых окрестностей из .
Подниматься и опускаться
Теорема о повышении по существу является следствием леммы Накаямы. Он утверждает:
- Пусть быть целое расширение коммутативных колец и идеал в . Тогда существует простой идеал в такой , что . Более того, может быть выбрано любое простое число таких, что .
Модульные эпиморфизмы
Лемма Накаямы имеет тот точный смысл, в котором конечно порожденные модули над коммутативным кольцом подобны векторным пространствам над полем. Следующее следствие леммы Накаямы дает еще одно подтверждение этого утверждения:
- Если - конечно порожденный -модуль и является сюръективным эндоморфизмом, то является изоморфизмом.
Над локальным кольцом можно сказать больше об эпиморфизмах модулей:
- Предположим, что это локальное кольцо с максимальным идеалом и конечно порожденные -модули. Если является -линейным отображением такое, что фактор сюръективен, то он сюръективен.
Гомологические версии
Лемма Накаямы также имеет несколько версий в гомологической алгебре . Приведенное выше утверждение об эпиморфизмах может использоваться, чтобы показать:
- Пусть - конечно порожденный модуль над локальным кольцом. Тогда является проективным тогда и только тогда , когда она свободна . Это можно использовать для вычисления группы Гротендика любого локального кольца как .
Геометрическим и глобальным аналогом этого является теорема Серра – Свона , связывающая проективные модули и когерентные пучки.
В более общем смысле, есть
- Пусть - локальное кольцо и конечно порожденный модуль над . Тогда проективная размерность в Овер равна длине каждой минимальной свободной резольвенты в . Более того, проективная размерность равна глобальной размерности , которая по определению является наименьшим целым числом, таким, что
- Вот поле вычетов и - тор-функтор .
Доказательство
Стандартное доказательство леммы Накаямы использует следующую технику, принадлежащую Атье и Макдональду (1969) .
- Пусть M - R -модуль, порожденный n элементами, а φ: M → M - R -линейное отображение. Если существует идеал I кольца R такой, что φ ( M ) ⊂ IM , то существует унитарный многочлен
- с p k ∈ I k , такое что
- как эндоморфизм М .
Это утверждение является в точности обобщенной версией теоремы Кэли – Гамильтона , и доказательство проводится по тому же пути. На образующих x i матрицы M имеется отношение вида
где IJ ∈ I . Таким образом
Требуемый результат следует из умножения на сопряженную матрицу (φδ ij - a ij ) и применения правила Крамера . Тогда находят det (φδ ij - a ij ) = 0, так что искомый многочлен равен
Для доказательства леммы Накаяма из теоремы Кэли-Гамильтона, предположим , что IM = M и взять ф тождественным на М . Затем определите многочлен p ( x ), как указано выше. Затем
имеет необходимое свойство.
Некоммутативный случай
Вариант леммы для правых модулей над некоммутативной униталъными кольцами R . Полученная теорема иногда известна как теорема Джекобсона – Адзумая .
Пусть J ( R ) являются радикалом Джекобсон из R . Если U - правый модуль над кольцом, R и I - правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов вида u · i , где · - просто действие R на U . Обязательно, U · I является подмодуль U .
Если V является максимальный подмодуль в U , то U / V является простым . Итак, U · J ( R ) обязательно является подмножеством V по определению J ( R ) и тому факту, что U / V прост. Таким образом, если U содержит , по меньшей мере , один (собственный) максимальный подмодуль, U · J ( R ) является собственным подмодулем U . Однако это может не выполняться для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит максимальные подмодули. Естественно, если U - нётеров модуль, это верно. Если R нетеров и U является конечно порожден , то U является нётеровым модулем над R , и вывод выполняется. Несколько примечательно то, что более слабого предположения, а именно того, что U конечно порожден как R -модуль (и отсутствия предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. По сути, это утверждение леммы Накаямы.
А именно:
- Лемма Накаямы : Пусть U будет конечно порожденный правый модуль над (унитальной) кольца R . Если U является ненулевой модуль, то U · J ( R ) является собственным подмодуль U .
Доказательство
Позвольте быть конечным подмножеством , минимальным по отношению к свойству, которое оно порождает . Поскольку не равно нулю, это множество непусто. Обозначим каждый элемент через for . Так генерирует , .
Предположим , получили противоречие. Тогда каждый элемент может быть выражен как конечная комбинация некоторых .
Каждый может быть дополнительно разложен так же, как и некоторые . Следовательно, мы имеем
.
Поскольку является (двусторонним) идеалом в , мы имеем для каждого , и, таким образом, это становится
- для некоторых , .
Подставляя и применяя дистрибутивность, получаем
- .
Выберите несколько . Если правый идеал был правильный, то она содержалась бы в максимальном правом идеале и как и будет принадлежать , что приводит к противоречию (заметим , что по определению радикала Джекобсона). Таким образом , и имеет правый обратный в . У нас есть
- .
Следовательно,
- .
Таким образом получается линейная комбинация элементов из . Это противоречит минимальности и подтверждает результат.
Градуированная версия
Существует также градуированная версия леммы Накаямы. Пусть R - кольцо, градуируемое упорядоченной полугруппой неотрицательных целых чисел, и пусть обозначает идеал, порожденный положительно градуированными элементами. Тогда если M - градуированный модуль над R, для которого для i достаточно отрицательно (в частности, если M конечно порождено и R не содержит элементов отрицательной степени) такой, что , то . Особенно важен случай, когда R - кольцо многочленов со стандартной градуировкой, а M - конечно порожденный модуль.
Доказательство намного проще, чем в случае без оценки: взять i как наименьшее целое число, такое, что мы видим, что это не входит , так что либо , либо такое i не существует, т . Е ..
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.
- Адзумая, GORO (1951), "О максимально центральных алгебр", Нагоя математический журнал , 2 : 119-150, DOI : 10,1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , МР 0040287.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике, 52 , Springer-Verlag.
- Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, выпускной курс (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Jacobson, Натан (1945), "Радикал и пол-простота для произвольных колец", Американский журнал математики , 67 (2): 300-320, DOI : 10,2307 / 2371731 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371731 , МР 0012271.
- Мацумура, Хидеюки (1989), теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461.
- Нагата, Масаёши (1975), местные кольца , издательство Robert E. Krieger Publishing Co., Хантингтон, Нью-Йорк, ISBN 978-0-88275-228-0, Руководство по ремонту 0460307.
- Накаяма, Tadasi (1951), "Замечание о конечно порожденных модулей", Нагоя математический журнал , 3 : 139-140, DOI : 10,1017 / s0027763000012265 , ISSN 0027-7630 , МР 0043770.