Стебель (связка) - Stalk (sheaf)

Стебелек из пучка является математическим построением захвата поведения пучка вокруг заданной точки.

Мотивация и определение

Пучки определены на открытых множествах, но лежащее в основе топологическое пространство состоит из точек. Разумно , чтобы попытаться изолировать поведение пучка в одной неподвижной точке в . С концептуальной точки зрения, мы делаем это, рассматривая небольшие окрестности точки. Если мы посмотрим на достаточно малую окрестность , поведение пучка в этой маленькой окрестности должно быть таким же, как поведение в этой точке. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, поэтому нам придется взять какой-то предел. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Точное определение таково: обычно обозначаемый стебель at : ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}: = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U).}

Здесь прямой предел индексируется по всем открытым множествам, содержащим , с отношением порядка, индуцированным обратным включением ( , если ). По определению (или универсальному свойству ) прямого предела, элемент стебля является классом эквивалентности элементов , где два таких участка и считаются эквивалентными, если ограничения двух участков совпадают в некоторой окрестности . ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle U <V}$ ${\ Displaystyle U \ supset V}$ ${\ displaystyle f_ {U} \ in {\ mathcal {F}} (U)}$ ${\ displaystyle f_ {U}}$ ${\ displaystyle f_ {V}}$ ${\ displaystyle x}$

Альтернативное определение

Есть еще один подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку из , и пусть будет включение одной точки пространства в . Тогда ножка такая же, как связка прообраза . Обратите внимание, что единственными открытыми наборами одного точечного пространства являются и , а в пустом наборе нет данных. Более , однако, мы получаем: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}$ ${\ Displaystyle я ^ {- 1} {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$

{\ Displaystyle я ^ {- 1} {\ mathcal {F}} (\ {х \}) = \ varinjlim _ {U \ supseteq \ {x \}} {\ mathcal {F}} (U) = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U) = {\ mathcal {F}} _ {x}.}

Замечания

Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения ножки, может не существовать. Тем не менее, он существует для большинства категорий, которые встречаются на практике, таких как категория множеств или для большинства категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или кольца , которые а именно являются соколными .

Для любого открытого множества, содержащего, существует естественный морфизм : он переводит сечение в свой росток , то есть свой класс эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия ростка , которое можно восстановить, взглянув на стебли пучка непрерывных функций на . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ to {\ mathcal {F}} _ {x}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}$ ${\ displaystyle X}$

Примеры

Постоянные шкивы

Постоянный пучок, связанный с некоторым набором (или группой, кольцом и т. Д.). имеет тот же набор или группу, что и стебли в каждой точке: для любой точки выберите открытое связное соседство. Сечения на связном открытом отображении равенства и ограничения являются тождествами. Следовательно, прямой предел рушится, чтобы уступить как стебель. ${\ displaystyle {\ underline {S}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ underline {S}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

Пучки аналитических функций

Например, в пучке аналитических функций на аналитическом многообразии росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это связано с тем, что росток записывает разложение функции в степенной ряд , и все аналитические функции по определению локально равны своим степенным рядам. Используя аналитическое продолжение , мы обнаруживаем, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничения этого пучка инъективны!)

Пучки гладких функций

Напротив, для пучка гладких функций на гладком многообразии ростки содержат некоторую локальную информацию, но их недостаточно для восстановления функции в любой открытой окрестности. Например, пусть будет функция рельефа, которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, она тождественно едина, поэтому в начале координат она имеет тот же росток, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим восстановить ее по ее ростку. Даже если мы заранее знаем, что это функция выпуклости, росток не сообщает нам, насколько велика его выпуклость. Из того, что говорит нам росток, выступ может быть бесконечно широким, то есть может равняться постоянной функции со значением 1. Мы даже не можем реконструировать небольшую открытую окрестность, содержащую начало координат, потому что мы не можем сказать, подходит ли выпуклость полностью в или настолько ли он велик, что равен одному дюйму . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$

С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию , потому что последняя функция не является тождественной единицей ни в какой окрестности начала координат. Этот пример показывает, что ростки содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, поскольку степенной ряд функции тождественно равен единице. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стержень пучка гладких функций в начале координат является нётеровым кольцом . Теорема Крулля о пересечении говорит, что этого не может произойти для нётерова кольца.) ${\ displaystyle 1 + e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ ${\ displaystyle 1 + e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$

Квазикогерентные пучки

На аффинной схеме , стебель из квазикогерентного пучка , соответствующего -модуль в точке , соответствующей простой идеал является только локализацией . ${\ Displaystyle X = \ mathrm {Spec} (A)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle M_ {p}}$

Сноп небоскреба

В любом топологическом пространстве, небоскреб пучок , связанный с замкнутой точкой и группа или кольцо имеют стебли 0 от и в -hence названия небоскреба . То же свойство сохраняется для любой точки, если рассматриваемое топологическое пространство является пространством T ₁ , поскольку каждая точка пространства T ₁ замкнута. Эта особенность является основой построения разрешений Годемана , используемых, например, в алгебраической геометрии для получения функториальных инъективных разрешений пучков. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Свойства стебля

Как указано во введении, стебли отражают локальное поведение снопа. Поскольку предполагается, что связка определяется своими локальными ограничениями (см. Аксиому склеивания ), можно ожидать, что стебли захватывают изрядное количество информации, которую кодирует связка. Это действительно правда:

Морфизм пучков является изоморфизмом , эпиморфизмом или мономорфизмом соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех слоях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, тоже изоморфны, потому что между рассматриваемыми пучками может не быть отображения.)

В частности:

Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп) тогда и только тогда, когда все слои пучка равны нулю. Следовательно, точность данного функтора может быть проверена на стеблях, что часто бывает проще, поскольку можно переходить к все меньшим и меньшим окрестностям.

Оба утверждения неверны для предварительных пучков . Однако стебли снопов и предпучков тесно связаны:

Учитывая предпучку и ее связку , стебли и соглашаются. Это следует из того факта, что пучок является образом сквозного левого сопряженного (поскольку функтор пучка сопряжен слева к функтору включения ), и того факта, что левые сопряженные элементы сохраняют копределы. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {P}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {P}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle (-) ^ {+}: \ mathbf {Set} ^ {{\ mathcal {O}} (X) ^ {op}} \ to Sh (X)}$ ${\ displaystyle Sh (X) \ to \ mathbf {Set} ^ {{\ mathcal {O}} (X) ^ {op}}}$