Диаграмма Дынкина - Dynkin diagram

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математической области теории Ли , в диаграмме Дынкина , названную по Дынкин , является типом графа с некоторыми краями два или три раза (рисуются в виде двойной или тройной линии). Диаграммы Дынкина возникают при классификации полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями , при классификации групп Вейля и других конечных групп отражений и в других контекстах. Различные свойства диаграммы Дынкина (например, содержит ли она несколько ребер или ее симметрии) соответствуют важным характеристикам связанной алгебры Ли.

Термин «диаграмма Дынкина» может быть неоднозначным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина считаются направленными , и в этом случае они соответствуют системам корней и полупростым алгебрам Ли, в то время как в других случаях они считаются неориентированными , и в этом случае они соответствуют группам Вейля. В этой статье «диаграмма Дынкина» означает направленную диаграмму Дынкина, а неориентированные диаграммы Дынкина будут явно названы так.

Классификация полупростых алгебр Ли

Фундаментальный интерес к диаграммам Дынкина состоит в том, что они классифицируют полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями . Такие алгебры Ли классифицируются по их корневой системе , которая может быть представлена ​​диаграммой Дынкина. Затем диаграммы Дынкина классифицируются в соответствии с ограничениями, которым они должны удовлетворять, как описано ниже.

Падение направления на ребрах графа соответствует замене корневой системы конечной группой отражений, которую она порождает, так называемой группой Вейля , и, таким образом, неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.

Они имеют следующее соответствие для алгебр Ли, ассоциированных с классическими группами над комплексными числами:

• ${\ displaystyle A_ {n}}$: , специальная линейная алгебра Ли .${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$
• ${\ displaystyle B_ {n}}$: , нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли .${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$
• ${\ displaystyle C_ {n}}$: , симплектическая алгебра Ли .${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$
• ${\ displaystyle D_ {n}}$: , четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( ).${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$${\ displaystyle n> 1}$

Для исключительных групп названия алгебры Ли и связанной с ней диаграммы Дынкина совпадают.

Связанные классификации

Диаграммы Дынкина можно интерпретировать как классификацию множества различных связанных объектов, а обозначение «A _n , B _n , ...» используется для обозначения всех таких интерпретаций в зависимости от контекста; эта двусмысленность может сбивать с толку.

Центральная классификация состоит в том, что простая алгебра Ли имеет корневую систему, с которой связана (ориентированная) диаграмма Дынкина; все три из них могут быть обозначены , например, как B _n .

Ип ориентированного диаграммы Дынкина является формой диаграммы Кокстера, и соответствует группе Вейля, которая является конечной группой отражений связаны с корневой системой. Таким образом, B _n может относиться к неориентированной диаграмме (особый вид диаграммы Кокстера), группе Вейля (конкретной группе отражений) или абстрактной группе Кокстера.

Хотя группа Вейля абстрактно изоморфна группе Кокстера, конкретный изоморфизм зависит от упорядоченного выбора простых корней. Аналогичным образом, в то время как обозначения диаграммы Дынкина стандартизированы, диаграмма Кокстера и обозначение групп варьируются и иногда согласуются с обозначениями диаграммы Дынкина, а иногда нет.

Наконец, иногда связанные объекты упоминаются одними и теми же обозначениями, хотя это не всегда можно делать регулярно. Примеры включают:

• Решетка корней порождается корневой системы, как и в Е ₈ решетки . Это естественно определяется, но не однозначно - например, A ₂ и G ₂ образуют гексагональную решетку .
• Связан многогранник - например , Госсеты 4 ₂₁ многогранника может называться как «Е ₈ многогранник», так как его вершины являются производными от Й ₈ корневой системы и имеет Й ₈ группу Кокстера в качестве группы симметрии.
• Соответствующая квадратичная форма или многообразие - например, многообразие E ₈ имеет форму пересечения, заданную решеткой E ₈ .

Эти последние обозначения в основном используются для объектов, связанных с исключительными диаграммами - объекты, связанные с обычными диаграммами (A, B, C, D), вместо этого имеют традиционные имена.

Индекс ( n ) равен количеству узлов на диаграмме, количеству простых корней в базисе, размерности решетки корней и размаху корневой системы, количеству образующих группы Кокстера и рангу алгебры Ли. Однако n не равно размерности определяющего модуля ( фундаментального представления ) алгебры Ли - индекс на диаграмме Дынкина не следует путать с индексом на алгебре Ли. Например, соответствует которому естественно действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли. ${\ displaystyle B_ {4}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2 \ cdot 4 + 1} = {\ mathfrak {so}} _ {9},}$

В просто ажурные диаграммы Дынкина, те, без кратных ребер (A, D, E) классифицируют многих дальнейших математических объектов; см. обсуждение классификации ADE .

Пример: ${\ displaystyle A_ {2}}$

Например, символ может относиться к: ${\ displaystyle A_ {2}}$

• Диаграмма Дынкина с 2 - мя узлами , соединенных,, которую также можно интерпретировать как диаграмму Кокстера .
• Корневую систему с 2 простых корней на (120 градусов) углом.${\ displaystyle 2 \ pi / 3}$
• Алгебра Ли из ранга 2.${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2 + 1} = {\ mathfrak {sl}} _ {3}}$
• Группа Вейля симметрий корней (отражения в гиперплоскости, ортогональной корням), изоморфна симметрической группе (порядка 6).${\ displaystyle S_ {3}}$
• Абстрактная группа Кокстера , представленная образующими и соотношениями,${\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2} \ mid (r_ {1}) ^ {2} = (r_ {2}) ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {3} = 1 \ right \ rangle.}$

Строительство из корневых систем

Рассмотрим корневую систему , которая считается редуцированной и цельной (или «кристаллографической»). Во многих приложениях эта система корней возникает из полупростой алгебры Ли . Позвольте быть набор положительных простых корней . Затем мы строим диаграмму следующим образом. Сформируйте граф с одной вершиной для каждого элемента . Затем вставьте ребра между каждой парой вершин по следующему рецепту. Если корни, соответствующие двум вершинам, ортогональны, между вершинами нет ребра. Если угол между двумя корнями составляет 120 градусов, мы помещаем одно ребро между вершинами. Если угол 135 градусов, мы ставим две кромки, а если угол 150 градусов, мы ставим три кромки. (Эти четыре случая исчерпывают все возможные углы между парами положительных простых корней.) Наконец, если есть какие-либо ребра между данной парой вершин, мы украшаем их стрелкой, указывающей от вершины, соответствующей более длинному корню, к вершине, соответствующей вершине. более короткий. (Стрелка опускается, если корни имеют одинаковую длину.) Если рассматривать стрелку как знак «больше», становится ясно, в каком направлении должна идти стрелка. Диаграммы Дынкина приводят к классификации корневых систем. Углы и отношения длины между корнями взаимосвязаны . Таким образом, кромки для неортогональных корней в качестве альтернативы можно описать как одну кромку для отношения длины 1, две кромки для отношения длины и три кромки для отношения длины . (Нет ребер, когда корни ортогональны, независимо от соотношения длин.) ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$

В корневой системе, показанной справа, корни помечены и образуют основу. Поскольку эти два корня расположены под углом 120 градусов (с отношением длин, равным 1), диаграмма Дынкина состоит из двух вершин, соединенных одним ребром:${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$.

Ограничения

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять определенным ограничениям; по существу это те, которым удовлетворяют конечные диаграммы Кокстера – Дынкина вместе с дополнительным кристаллографическим ограничением.

Связь со схемами Кокстера

Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Кокстера конечных групп Кокстера , и терминология часто смешивается.

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Кокстера конечных групп двумя важными аспектами:

Частично направлен

Диаграммы Дынкина являются частично направленными - любое кратное ребро (в терминах Кокстера, обозначенное цифрой «4» или выше) имеет направление (стрелка, указывающая от одного узла к другому); таким образом, диаграммы Дынкина содержат больше данных, чем лежащая в основе диаграмма Кокстера (неориентированный граф).

На уровне корневых систем направление соответствует направлению к более короткому вектору; ребра с меткой «3» не имеют направления, потому что соответствующие векторы должны иметь одинаковую длину. (Предостережение: некоторые авторы меняют это соглашение со стрелкой, указывающей на более длинный вектор.)

Кристаллографическое ограничение

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, а именно, что единственными допустимыми метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, ограничение, не разделяемое диаграммами Кокстера, поэтому не каждая диаграмма Кокстера конечной группы происходит от диаграммы Дынкина.

На уровне корневых систем это соответствует кристаллографической теореме ограничения , поскольку корни образуют решетку.

Еще одно отличие, которое носит чисто стилистический характер, состоит в том, что диаграммы Дынкина обычно рисуются с двойными или тройными ребрами между узлами (для p  = 4, 6), а не с ребром, помеченным буквой « p ».

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относится к ориентированному графу, иногда к неориентированному графу. Для точности в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать направленный, а лежащий в основе неориентированный граф будет называться «неориентированной диаграммой Дынкина». Тогда диаграммы Дынкина и диаграммы Кокстера могут быть связаны следующим образом:

	кристаллографический	точечная группа
направленный	Диаграммы Дынкина
ненаправленный	неориентированные диаграммы Дынкина	Диаграммы Кокстера конечных групп

Это означает, что диаграммы Кокстера конечных групп соответствуют точечным группам, порожденным отражениями, в то время как диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, соответствующему кристаллографической теореме об ограничении , и что диаграммы Кокстера неориентированы, а диаграммы Дынкина (частично) направлены.

Соответствующие математические объекты, классифицируемые диаграммами, следующие:

	кристаллографический	точечная группа
направленный	корневые системы
ненаправленный	Группы Вейля	конечные группы Кокстера

Пробел в правом верхнем углу, соответствующий ориентированным графам с нижележащим неориентированным графом, любая диаграмма Кокстера (конечной группы) может быть определена формально, но мало обсуждается и, похоже, не допускает простой интерпретации в терминах математических объектов. представляет интерес.

Внизу расположены естественные карты - от диаграмм Дынкина до ненаправленных диаграмм Дынкина; соответственно, от корневых систем к ассоциированным группам Вейля - и справа - от неориентированных диаграмм Дынкина к диаграммам Кокстера; соответственно от групп Вейля к конечным группам Кокстера.

Нисходящее отображение является (по определению), но не взаимно однозначным, поскольку диаграммы B _n и C _n отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, с результирующей диаграммой Кокстера и группой Вейля, таким образом, иногда обозначается BC _n .

Правое отображение - это просто включение - неориентированные диаграммы Дынкина являются частными случаями диаграмм Кокстера, а группы Вейля - частными случаями конечных групп Кокстера - и не включены, поскольку не каждая диаграмма Кокстера является неориентированной диаграммой Дынкина (пропущенные диаграммы являются H ₃ , H ₄ и I ₂ ( p ) для p  = 5  p  ≥ 7), и, соответственно, не всякая конечная группа Кокстера является группой Вейля.

Изоморфизмы

Дынкин диаграмма обычно пронумерована так , что список не является избыточным: для для для для и , начиная с семьями , однако , может быть определен для нижнего п, получая исключительные изоморфизмы диаграмм, и соответствующее исключительные изоморфизмы алгебр Ли и связанных с ними групп Ли. ${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ displaystyle A_ {n},}$ ${\ Displaystyle п \ geq 2}$${\ displaystyle B_ {n},}$ ${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ displaystyle C_ {n},}$ ${\ displaystyle n \ geq 4}$${\ displaystyle D_ {n},}$${\ displaystyle E_ {n}}$${\ displaystyle n = 6.}$

Тривиально можно начать семейства в или, которые все тогда изоморфны, поскольку существует уникальная пустая диаграмма и уникальная диаграмма с одним узлом. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина: ${\ displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle п = 1,}$

• ${\ Displaystyle A_ {1} \ cong B_ {1} \ cong C_ {1}}$
• ${\ Displaystyle B_ {2} \ cong C_ {2}}$
• ${\ Displaystyle D_ {2} \ cong A_ {1} \ times A_ {1}}$
• ${\ Displaystyle D_ {3} \ cong A_ {3}}$
• ${\ Displaystyle E_ {3} \ cong A_ {1} \ times A_ {2}}$
• ${\ displaystyle E_ {4} \ cong A_ {4}}$
• ${\ displaystyle E_ {5} \ cong D_ {5}}$

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизму простых и полупростых алгебр Ли, которые также соответствуют некоторым изоморфизмам их групповых форм Ли. Они также добавляют контекст к Е _п семье .

Автоморфизмы

Помимо изоморфизма между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют самоизоморфизмы или « автоморфизмы ». Диаграммные автоморфизмы соответствуют внешним автоморфизмам алгебры Ли, что означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut / Inn равна группе диаграммных автоморфизмов.

Диаграммы, которые имеют нетривиальные автоморфизмы, - это A _n ( ), D _n ( ) и E ₆ . Во всех этих случаях, за исключением D ₄ , существует единственный нетривиальный автоморфизм (Out = C ₂ , циклическая группа порядка 2), а для D ₄ группа автоморфизмов представляет собой симметрическую группу из трех букв ( S ₃ , порядок 6) - это явление известно как « тройственность ». Бывает, что все эти автоморфизмы диаграмм могут быть реализованы как евклидовы симметрии того, как диаграммы обычно рисуются на плоскости, но это просто артефакт того, как они нарисованы, а не внутренняя структура. ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle n> 1}$

Для A _n автоморфизм диаграммы переворачивает диаграмму, которая является прямой. Узлы диаграммы индексируют фундаментальные веса , которые (для A _{n − 1} ) предназначены для , а автоморфизм диаграммы соответствует двойственности Реализованный как алгебра Ли внешний автоморфизм может быть выражен как отрицательное транспонирование , что является тем, как двойственный представительские акты. ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} C ^ {n}}$${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$${\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} C ^ {n} \ mapsto \ bigwedge ^ {ni} C ^ {n}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1},}$${\ Displaystyle T \ mapsto -T ^ {\ mathrm {T}}}$

Для D _n автоморфизм диаграммы переключает два узла в конце Y и соответствует переключению двух представлений кирального спина . Реализованный как алгебра Ли, внешний автоморфизм может быть выражен как сопряжение матрицей в O (2 n ) с определителем −1. Когда n = 3, значит, их автоморфизмы совпадают, в то время как они не связаны, и автоморфизм соответствует переключению двух узлов. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n},}$${\ Displaystyle \ mathrm {D} _ {3} \ cong \ mathrm {A} _ {3},}$${\ Displaystyle \ mathrm {D} _ {2} \ cong \ mathrm {A} _ {1} \ times \ mathrm {A} _ {1}}$

При D ₄ , то фундаментальное представление изоморфно двух спиновых представлений, и в результате симметрической группы на три буквы ( S ₃ , или в качестве альтернативы диэдра порядка 6, DIH ₃ ) соответствует как автоморфизмов алгебры Ли и автоморфизмов диаграмму.

Группа автоморфизмов E ₆ соответствует переворачиванию диаграммы и может быть выражена с помощью йордановых алгебр .

Разрозненные диаграммы, которые соответствуют полу простых алгебр Ли, могут иметь автоморфизмы из обмена компонентов диаграммы.

В положительной характеристике есть дополнительные «диаграммные автоморфизмы» - грубо говоря, в характеристике p иногда разрешается игнорировать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. Таким образом, в характеристике 2 имеется автоморфизм порядка 2 группы и F ₄ , а в характеристике 3 - автоморфизм порядка 2 группы G ₂ . Но не во всех случаях: например, такие автоморфизмы не должны возникать как автоморфизмы соответствующей алгебраической группы, а скорее на уровне точек, оцененных в конечном поле. ${\ Displaystyle \ mathrm {B} _ {2} \ cong \ mathrm {C} _ {2}}$

Построение групп Ли с помощью диаграммных автоморфизмов

Диаграммные автоморфизмы, в свою очередь, дают дополнительные группы Ли и группы лиева типа , которые имеют центральное значение в классификации конечных простых групп.

Группа Шевалл построение групп Ли с точкой зрения их диаграммы Дынкина не дает некоторые из классических групп, а именно унитарных групп и не- расщепленных ортогональных групп . В группах Steinberg построить унитарные группы ² А _п , в то время как другие ортогональных группы выполнены в виде ² D _п , где в обеих случаях это относится к комбинированию диаграммы автоморфизма с полевым автоморфизмом. Это также дает дополнительные экзотические группы Ли ² E ₆ и ³ D ₄ , последние определены только над полями с автоморфизмом порядка 3.

Дополнительные диаграммные автоморфизмы в положительной характеристике дают группы Сузуки – Ри , ² B ₂ , ² F ₄ и ² G ₂ .

Складной

Диаграмма Дынкина (с простой шнуровкой) (конечная или аффинная ), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть факторно разделена по симметрии, давая новую, как правило, диаграмму с множеством шнуров, с процессом, называемым складыванием (из-за большинства симметрий будучи 2-кратным). На уровне алгебр Ли это соответствует включению инвариантной подалгебры в группу внешних автоморфизмов, и процесс может быть определен исключительно со ссылкой на корневые системы, без использования диаграмм. Кроме того, любая диаграмма с множеством шнуров (конечная или бесконечная) может быть получена путем складывания диаграммы с простыми швами.

Единственное условие автоморфизма для возможности сворачивания состоит в том, что различные узлы графа на одной орбите (при автоморфизме) не должны быть соединены ребром; на уровне корневых систем корни на одной орбите должны быть ортогональными. На уровне диаграмм это необходимо, поскольку в противном случае фактор-диаграмма будет иметь цикл из-за идентификации двух узлов, но имеющий ребро между ними, а циклы не допускаются в диаграммах Дынкина.

Узлы и ребра факторной («свернутой») диаграммы - это орбиты узлов и ребер исходной диаграммы; ребра являются одиночными, если два инцидентных ребра не сопоставляются с одним и тем же ребром (особенно в узлах с валентностью больше 2) - «точкой ветвления» карты, и в этом случае вес - это количество инцидентных ребер, а стрелка указывает в сторону узел, в котором они инцидентны - «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, при сворачивании D ₄ в G ₂ край в G ₂ указывает от класса 3 внешних узлов (валентность 1) к классу центрального узла (валентность 3).

Складки конечных диаграмм:

• ${\ displaystyle A_ {2n-1} \ to C_ {n}}$

(Автоморфизм A _{2 n} не приводит к складыванию, потому что два средних узла соединены ребром, но находятся на одной орбите.)

• ${\ displaystyle D_ {n + 1} \ to B_ {n}}$
• ${\ displaystyle D_ {4} \ to G_ {2}}$(если факторизация по полной группе или 3-циклу, в дополнение к 3-м различным способам, если факторизация по инволюции)${\ displaystyle D_ {4} \ to B_ {3}}$
• ${\ displaystyle E_ {6} \ to F_ {4}}$

Подобные свертки существуют для аффинных диаграмм, в том числе:

• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2n-1} \ to {\ tilde {C}} _ ​​{n}}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n + 1} \ to {\ tilde {B}} _ {n}}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4} \ to {\ tilde {G}} _ {2}}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6} \ to {\ tilde {F}} _ {4}}$

Понятие сворачивания также может быть применено в более общем плане к диаграммам Кокстера - в частности, можно обобщить допустимые коэффициенты диаграмм Дынкина на H _n и I ₂ ( p ). Геометрически это соответствует проекциям однородных многогранников . Примечательно, что любую просто зашнурованную диаграмму Дынкина можно сложить до I ₂ ( h ), где h - число Кокстера , которое геометрически соответствует проекции на плоскость Кокстера .

Складывание может применяться для сведения вопросов о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам об алгебрах с простыми связями вместе с автоморфизмом, что может быть проще, чем непосредственное рассмотрение алгебр с кратными связями; это можно сделать, например, при построении полупростых алгебр Ли. См. Math Overflow: Folding by Automorphisms для дальнейшего обсуждения.

Прочие карты схем

2 корневой системы

Корневая система G 2

Некоторые дополнительные карты диаграмм имеют значимые интерпретации, как подробно описано ниже. Однако не все карты корневых систем возникают как карты диаграмм.

Например, есть два включения корневых систем A ₂ в G ₂ , либо в виде шести длинных корней, либо в виде шести коротких корней. Однако узлы на диаграмме G ₂ соответствуют одному длинному корню и одному короткому корню, в то время как узлы на диаграмме A ₂ соответствуют корням одинаковой длины, и, таким образом, эта карта корневых систем не может быть выражена как карта диаграмм .

Некоторые включения корневых систем могут быть выражены как одна диаграмма, являющаяся индуцированным подграфом другой, что означает «подмножество узлов со всеми ребрами между ними». Это связано с тем, что удаление узла из диаграммы Дынкина соответствует удалению простого корня из корневой системы, что дает корневую систему ранга на единицу ниже. Напротив, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при сохранении неизменных узлов соответствует изменению углов между корнями, что невозможно сделать без изменения всей корневой системы. Таким образом, можно осмысленно удалять узлы, но не ребра. Удаление узла из связной диаграммы может дать связную диаграмму (простую алгебру Ли), если узел является листом, или несвязную диаграмму (полупростую, но не простую алгебру Ли) с двумя или тремя компонентами (последняя для D _n и E _n ). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют сублиевским алгебрам.

Максимальные подграфы следующие; подграфы, связанные автоморфизмом диаграммы , помечаются как «сопряженные»:

• A _{n +1} : A _n двумя сопряженными способами.
• B _{n +1} : A _n , B _n .
• C _{n +1} : A _n , C _n .
• D _{n +1} : A _n (2 сопряженных пути), D _n .
• E _{n +1} : A _n , D _n , E _n .
  • Для E ₆ два из них совпадают: и сопряжены.${\ Displaystyle \ mathrm {D} _ {5} \ cong \ mathrm {E} _ {5}}$
• F ₄ : B ₃ , C ₃ .
• G ₂ : A ₁ двумя несопряженными способами (как длинный корень или короткий корень).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если таковые имеются: B _n и C _n двойственны, в то время как F ₄ и G ₂ самодвойственны, как и диаграммы ADE с простой шнуровкой.

Просто зашнурованный

Диаграмма Дынкина без кратных ребер называется просто зашнурованной , как и соответствующая алгебра Ли и группа Ли. Это диаграммы и явления, которые классифицируются такими диаграммами, называются классификацией ADE . В этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Кокстера, так как кратных ребер нет. ${\ displaystyle A_ {n}, D_ {n}, E_ {n}}$

Диаграммы сатаке

Диаграммы Дынкина классифицируют комплексные полупростые алгебры Ли. Вещественные полупростые алгебры Ли можно классифицировать как вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли, и они классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина, помечая некоторые вершины черным (закрашенными) и соединяя некоторые другие вершины попарно стрелками, по определенным правилам.

История

Диаграммы Дынкина названы в честь Евгения Дынкина , который использовал их в двух статьях (1946, 1947), упрощающих классификацию полупростых алгебр Ли; см. ( Дынкин, 2000 ) . Когда Дынкин покинул Советский Союз в 1976 году, что в то время считалось государственной изменой, советским математикам было предписано обращаться к «диаграммам простых корней», а не использовать его имя. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDynkin2000 ( справка )

Ненаправленные графы ранее использовались Коксетером (1934) для классификации групп отражений , где узлы соответствовали простым отражениям; графы были затем использованы (с информацией о длине) Виттом (1941) применительно к корневым системам с узлами, соответствующими простым корням, как они используются сегодня. Затем Дынкин использовал их в 1946 и 1947 годах, признав Кокстера и Витта в своей статье 1947 года.

Условные обозначения

Диаграммы Дынкина строились разными способами; принятое здесь соглашение является обычным, с углами 180 ° на узлах валентности 2, углами 120 ° на узле валентности 3 D _n и углами 90 ° / 90 ° / 180 ° на узле валентности 3 E _n , с множественностью обозначается 1, 2 или 3 параллельными кромками, а длина корня обозначается стрелкой на кромке для ориентации. Помимо простоты, еще одним преимуществом этого соглашения является то, что автоморфизмы диаграмм реализуются евклидовыми изометриями диаграмм.

Альтернативное соглашение включает запись числа у края для обозначения множественности (обычно используется в диаграммах Кокстера), затемнение узлов для обозначения длины корня или использование углов 120 ° на узлах валентности 2, чтобы сделать узлы более различимыми.

Также существуют соглашения о нумерации узлов. Наиболее распространенная современная конвенция была разработана к 1960-м годам и проиллюстрирована в ( Bourbaki 1968 ).

Диаграммы Дынкина ранга 2

Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщенным матрицам Картана , как показано в этой таблице диаграмм Дынкина ранга 2 с соответствующими им матрицами Картана 2 x 2 .

Для ранга 2 матрица Картана имеет следующий вид:

${\ displaystyle A = \ left [{\ begin {matrix} 2 & a_ {12} \\ a_ {21} & 2 \ end {matrix}} \ right]}$

Многогранная диаграмма соответствует недиагональным матричным элементам Картана -a ₂₁ , -a ₁₂ , с количеством нарисованных краев равным max (-a ₂₁ , -a ₁₂ ) и стрелкой, указывающей на неединичные элементы.

Обобщенная матрица Картана является квадратная матрица такая , что: ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

1. Для диагональных входов .${\ displaystyle a_ {ii} = 2}$
2. Для недиагональных записей .${\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0}$
3. ${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ если и только если ${\ displaystyle a_ {ji} = 0}$

Матрица Картана определяет, имеет ли группа конечный тип (если это положительно-определенная матрица , т. Е. Все собственные значения положительны), аффинного типа (если она не положительно-определенная, а положительно-полуопределенная, т. Е. Все собственные значения не являются отрицательный) или неопределенного типа . Неопределенный тип часто дополнительно подразделяется, например, группа Кокстера является лоренцевой, если она имеет одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные значения положительны. Более того, несколько источников относятся к гиберболическим группам Кокстера, но есть несколько неэквивалентных определений для этого термина. В обсуждении ниже гиперболические группы Кокстера являются частным случаем лоренцевой группы, удовлетворяющей дополнительному условию. Для ранга 2 все отрицательные детерминантные матрицы Картана соответствуют гиперболической группе Кокстера. Но в целом большинство отрицательных детерминантных матриц не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют (-a ₂₁ , -a ₁₂ ) = (1,1), (2,1), (3,1), а аффинные ветви (с нулевым определителем) имеют (-a ₂₁ , -a ₁₂ ) = (2,2) или (4,1).

Диаграммы Дынкина ранга 2

Название группы	Диаграмма Дынкина			Матрица Картана		Порядок симметрии	Связанная простая группа 3
	(Стандартный) многогранный график	Оценочный график 1	График Кокстера 2	${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 2 & a_ {12} \\ a_ {21} & 2 \ end {matrix}} \ right]}$	Определитель (4-а 21 * а 12 )
Конечное (определитель> 0)
1 хА 1				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	4	2
A 2 (ненаправленный)				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	3	3
В 2				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\ - 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	2	4	${\ displaystyle {A} _ {3}}$
C 2				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 2 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	2	4	${\ displaystyle {A} _ {3}}$
BC 2 (ненаправленный)				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	2	4
G 2				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 3 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	1	6	${\ displaystyle {D} _ {4}}$
G 2 (ненаправленный)				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	1	6
Аффинный (детерминант = 0)
А 1 (1)				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\ - 2 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0	∞	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
А 2 (2)				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 4 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	0	∞	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$
Гиперболический (Определитель <0)
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 5 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-1	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\ - 3 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-2	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 6 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-2	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 7 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-3	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -2 \\ - 4 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-4	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -1 \\ - 8 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-4	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -3 \\ - 3 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	-5	-
				${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & -b \\ - a & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	4-ab <0	-
Примечание 1 : Для гиперболических групп (a 12 * a 21 > 4) от стиля множественных ребер отказываются в пользу явной маркировки (a 21 , a 12 ) на ребре. Обычно они не применяются к конечным и аффинным графам. Примечание 2 : Для неориентированных групп диаграммы Кокстера взаимозаменяемы. Обычно они помечаются в соответствии с их порядком симметрии, причем порядок-3 подразумевается без метки. Примечание 3 : Многие многогранные группы можно получить из более высокой группы с простой ажурной строчкой, применив подходящую операцию складывания .

Конечные диаграммы Дынкина

Конечные графы Дынкина от 1 до 9 узлов

Классифицировать	Классические группы Ли				Исключительные группы Ли
	${\ displaystyle {A} _ {1+}}$	${\ displaystyle {B} _ {2+}}$	${\ displaystyle {C} _ {2+}}$	${\ displaystyle {D} _ {2+}}$	${\ displaystyle {E} _ {3-8}}$	${\ displaystyle {G} _ {2}}$ / ${\ displaystyle {F} _ {4}}$
1	А 1
2	А 2	В 2	С 2 = В 2	D 2 = A 1 A 1		G 2
3	А 3	В 3	C 3	D 3 = A 3	Е 3 = А 2 А 1
4	А 4	В 4	C 4	D 4	E 4 = A 4	П 4
5	А 5	В 5	С 5	D 5	E 5 = D 5
6	А 6	В 6	С 6	D 6	E 6
7	А 7	В 7	С 7	Д 7	E 7
8	А 8	В 8	С 8	D 8	E 8
9	А 9	В 9	С 9	D 9
10+	..	..	..	..

Аффинные диаграммы Дынкина

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно аффинные диаграммы Дынкина ; они классифицируют матрицы Картана аффинных алгебр Ли . Они классифицированы в ( Kac 1994 , Chapter 4, pp. 47– ) , а конкретно перечислены в ( Kac 1994 , pp. 53–55 ) . Аффинные диаграммы обозначаются как или, где X - буква соответствующей конечной диаграммы, а показатель степени зависит от того, в какой серии аффинных диаграмм они находятся. Первые из них являются наиболее распространенными и называются расширенными диаграммами Дынкина и обозначаются знаком тильда , а также иногда отмечается надстрочным индексом + . как в . Серии (2) и (3) называются скрученными аффинными диаграммами . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKac1994 ( справка )ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKac1994 ( справка )${\ Displaystyle X_ {l} ^ {(1)}, X_ {l} ^ {(2)},}$${\ Displaystyle X_ {l} ^ {(3)},}$${\ Displaystyle X_ {l} ^ {(1)},}$${\ Displaystyle {\ тильда {A}} _ {5} = A_ {5} ^ {(1)} = A_ {5} ^ {+}}$

См. Диаграмму в генераторе диаграмм Дынкина .

Набор расширенных аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами зеленого цвета ( для и для ) ${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 4}$${\ displaystyle D_ {n}}$

«Скрученные» аффинные формы обозначаются надстрочными индексами (2) или (3). (Индекс k всегда подсчитывает количество желтых узлов в графе, то есть общее количество узлов минус 1.)

Вот все графы Дынкина для аффинных групп до 10 узлов. Расширенные графы Дынкина представлены как семейства ~ , как и конечные графы выше, с одним добавленным узлом. Другие варианты ориентированного графа обозначаются верхним индексом (2) или (3), представляя свертки групп более высокого порядка. Они относятся к категории скрученных аффинных диаграмм.

Связанные аффинные графы Дынкина до (от 2 до 10 узлов)
(сгруппированы как неориентированные графы)

Классифицировать	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1+}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3+}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2+}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4+}}$	E / F / G
2	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {1} ^ {(1)}}$		${\ displaystyle {A} _ {2} ^ {(2)}}$:
3	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {2} ^ {(1)}}$		${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {2} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {5} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {4} ^ {(2)}}$:		${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ или же ${\ displaystyle {G} _ {2} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {4} ^ {(3)}}$
4	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {3} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {3} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {5} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {3} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {6} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {6} ^ {(2)}}$:
5	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {4} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {4} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {7} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {4} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {7} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {8} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {4} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ или же ${\ displaystyle {F} _ {4} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {E} _ {6} ^ {(2)}}$
6	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {5} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {5} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {9} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {5} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {8} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {10} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {5} ^ {(1)}}$
7	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {6} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {6} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {11} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {6} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {9} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {12} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {6} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$ или же ${\ displaystyle {E} _ {6} ^ {(1)}}$
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {7} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {7} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {13} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{7}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {7} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {10} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {14} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {7} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ или же ${\ displaystyle {E} _ {7} ^ {(1)}}$
9	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {8} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {8}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {8} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {15} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{8}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {8} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {11} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {16} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {8}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {8} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$ или же ${\ displaystyle {E} _ {8} ^ {(1)}}$
10	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$ или же ${\ displaystyle {A} _ {9} ^ {(1)}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {9}}$ или же ${\ displaystyle {B} _ {9} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {A} _ {17} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{9}}$ или же ${\ displaystyle {C} _ {9} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle {D} _ {12} ^ {(2)}}$: ${\ displaystyle {A} _ {18} ^ {(2)}}$:	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {9}}$ или же ${\ displaystyle {D} _ {9} ^ {(1)}}$
11	...	...	...	...

Гиперболические и высшие диаграммы Дынкина

Перечислено множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина. Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы существуют до ранга 10.

Резюме

Классифицировать	Компактный	Некомпактный	Общее
3	31 год	93	123
4	3	50	53
5	1	21 год	22
6	0	22	22
7	0	4	4
8	0	5	5
9	0	5	5
10	0	4	4

Компактные гиперболические диаграммы Дынкина

Компактные гиперболические графы

Ранг 3		4 место	5 место
Линейные графики (6 4 2): H 100 (3) : H 101 (3) : H 105 (3) : H 106 (3) : (6 6 2): H 114 (3) : H 115 (3) : H 116 (3) :	Циклические графы (4 3 3): H 1 (3) : (4 4 3): 3 формы ... (4 4 4): 2 формы ... (6 3 3): H 3 (3) : (6 4 3): 4 формы ... (6 4 4): 4 формы ... (6 6 3): 3 формы ... (6 6 4): 4 формы ... (6 6 6): 2 формы ...	(4 3 3 3): H 8 (4) : H 13 (4) : (4 3 4 3): H 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

Некомпактный (сверхразогнутые формы)

Некоторые обозначения, используемые в теоретической физике , такие как M-теория , используют верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», и это позволяет определять группы более высоких расширений.

1. Расширенные диаграммы Дынкина (аффинные) помечены знаком «+» и представляют один добавленный узел. (То же, что и "~")
2. Чрезмерно расширенные диаграммы Дынкина (гиперболические) имеют символы "^" или "++" и представляют два добавленных узла.
3. Очень расширенным диаграммам Дынкина с добавленными 3 узлами присваивается "+++".

Некоторые примеры сверхрасширенных (гиперболических) диаграмм Дынкина

Классифицировать	${\ displaystyle {AE} _ {n}}$= А п-2 (1) ^	${\ displaystyle {BE} _ {n}}$= B n-2 (1) ^ ${\ displaystyle {CE} _ {n}}$	С п-2 (1) ^	${\ displaystyle {DE} _ {n}}$= D n-2 (1) ^	E / F / G
3	${\ displaystyle {AE} _ {3}}$:
4	${\ displaystyle {AE} _ {4}}$:		С 2 (1) ^ А 4 (2) '^ А 4 (2) ^ D 3 (2) ^		G 2 (1) ^ Д 4 (3) ^
5	${\ displaystyle {AE} _ {5}}$:	${\ displaystyle {BE} _ {5}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {5}}$	С 3 (1) ^ А 6 (2) ^ А 6 (2) '^ D 5 (2) ^
6	${\ displaystyle {AE} _ {6}}$	${\ displaystyle {BE} _ {6}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {6}}$	С 4 (1) ^ А 8 (2) ^ А 8 (2) '^ Д 7 (2) ^	${\ displaystyle {DE} _ {6}}$	F 4 (1) ^ E 6 (2) ^
7	${\ displaystyle {AE} _ {7}}$	${\ displaystyle {BE} _ {7}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {7}}$		${\ displaystyle {DE} _ {7}}$
8	${\ displaystyle {AE} _ {8}}$	${\ displaystyle {BE} _ {8}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {8}}$		${\ displaystyle {DE} _ {8}}$	E 6 (1) ^
9	${\ displaystyle {AE} _ {9}}$	${\ displaystyle {BE} _ {9}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {9}}$		${\ displaystyle {DE} _ {9}}$	E 7 (1) ^
10		${\ displaystyle {BE} _ {10}}$ ${\ displaystyle {CE} _ {10}}$		${\ displaystyle {DE} _ {10}}$	${\ displaystyle {E} _ {10}}$= E 8 (1) ^

238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)

238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ранга названы и перечислены как для каждого ранга. ${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ Displaystyle Н_ {я} ^ {(п)}}$${\ Displaystyle я = 1,2,3 ...}$

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Очень расширенный

Очень расширенные группы - это группы Лоренца , определяемые добавлением трех узлов к конечным группам. E ₈ , E ₇ , E ₆ , F ₄ и G ₂ предлагают шесть серий, заканчивающихся очень расширенными группами. Другие не показанные расширенные серии могут быть определены из A _n , B _n , C _n и D _n , как разные серии для каждого n . Определитель соответствующей матрицы Картана определяет, где ряд изменяется от конечной (положительной) до аффинной (ноль) до некомпактной гиперболической группы (отрицательной) и заканчивается как группа Лоренца, которая может быть определена с использованием одного временного измерения. и используется в теории М .

Расширенная серия 2-го ранга

Конечный	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle C_ {2}}$	${\ displaystyle G_ {2}}$
2	А 2	C 2	G 2
3	А 2 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	С 2 + =${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$	G 2 + =${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
4	А 2 ++	C 2 ++	G 2 ++
5	А 2 +++	C 2 +++	G 2 +++
Дет (М п )	3 (3- н )	2 (3- н )	3- п

Расширенная серия 3 и 4 ранга

Конечный	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle B_ {3}}$	${\ displaystyle C_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle B_ {4}}$	${\ displaystyle C_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle F_ {4}}$
2		А 1 2						А 2
3	А 3	В 3	C 3		В 2 А 1		А 1 3
4	А 3 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	В 3 + =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	С 3 + =${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$	А 4	В 4	C 4	D 4	П 4
5	А 3 ++	В 3 ++	C 3 ++	А 4 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$	В 4 + =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$	С 4 + =${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$	D 4 + =${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$	F 4 + =${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$
6	А 3 +++	В 3 +++	C 3 +++	А 4 ++	В 4 ++	C 4 ++	D 4 ++	F 4 ++
7				А 4 +++	В 4 +++	C 4 +++	D 4 +++	F 4 +++
Дет (М п )	4 (4- н )	2 (4- н )		5 (5- н )	2 (5- н )		4 (5- н )	5- н

5-я и 6-я расширенные серии

Конечный	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle B_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {6}}$	${\ displaystyle B_ {6}}$	${\ displaystyle D_ {6}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$
4		В 3 А 1	А 3 А 1				А 2 2
5	А 5		D 5		В 4 А 1	D 4 A 1	А 5
6	А 5 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	В 5 + =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	D 5 + =${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$	А 6	В 6	D 6	E 6
7	А 5 ++	В 5 ++	D 5 ++	А 6 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$	В 6 + =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$	D 6 + =${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$	E 6 + =${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
8	А 5 +++	В 5 +++	D 5 +++	А 6 ++	В 6 ++	D 6 ++	E 6 ++
9				А 6 +++	В 6 +++	D 6 +++	E 6 +++
Дет (М п )	6 (6- н )	2 (6- н )	4 (6- н )	7 (7- н )	2 (7- н )	4 (7- н )	3 (7- н )

Некоторые расширенные серии 7 и выше ранга

Конечный	А 7	В 7	Д 7	E 7	E 8
3					Е 3 = А 2 А 1
4				А 3 А 1	E 4 = A 4
5				А 5	E 5 = D 5
6		В 5 А 1	D 5 A 1	D 6	E 6
7	А 7	В 7	Д 7	E 7	E 7
8	А 7 + =${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$	В 7 + =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {7}}$	D 7 + =${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {7}}$	E 7 + =${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$	E 8
9	А 7 ++	В 7 ++	D 7 ++	E 7 ++	E 9 = E 8 + =${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$
10	А 7 +++	В 7 +++	D 7 +++	E 7 +++	E 10 = E 8 ++
11					E 11 = E 8 +++
Дет (М п )	8 (8- н )	2 (8- н )	4 (8- н )	2 (8- н )	9- н

Смотрите также

• Диаграмма сатаке
• Список несократимых индексов Титса
• Klassifikation von Wurzelsystemen (Классификация корневых систем) (на немецком языке)

Заметки

Цитаты

Рекомендации

Внешние ссылки

• Джон Баэз о повсеместном распространении диаграмм Дынкина в математике
• Веб-инструмент для создания диаграмм Дынкина публикационного качества с метками (написано на JavaScript)