Матрица Картана - Cartan matrix

В математике термин « матрица Картана» имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана . Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом , тогда как форма Киллинга принадлежит Картану.

Алгебры Ли

(Симметризуемая) обобщенная матрица Картана - это квадратная матрица с целыми элементами, такая что ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

Для диагональных входов . ${\ displaystyle a_ {ii} = 2}$
Для недиагональных записей . ${\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0}$
${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ если и только если ${\ displaystyle a_ {ji} = 0}$
${\ displaystyle A}$ можно записать как , где - диагональная матрица , а - симметричная матрица . ${\ displaystyle DS}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle S}$

Например, матрица Картана для G ₂ может быть разложена как таковая:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & -3 \\ - 1 & 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {2 } {3}} & - 1 \\ - 1 & 2 \ end {bmatrix}}.}

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении положительно определена , то A называется матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли - это матрица, элементами которой являются скалярные произведения

{\ displaystyle a_ {ji} = 2 {(r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {j}, r_ {j})}}

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r _i - простые корни алгебры. Элементы являются неотъемлемой частью одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе - из того факта, что for - это корень, который представляет собой линейную комбинацию простых корней r _i и r _j с положительным коэффициентом для r _j, поэтому коэффициент для r _i должен быть неотрицательный. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И на последок пусть и . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство , S положительно определена. ${\ displaystyle i \ neq j, r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ ${\ displaystyle D_ {ij} = {\ delta _ {ij} \ over (r_ {i}, r_ {i})}}$ ${\ Displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$

Наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. (Подробнее см. Алгебру Каца – Муди ).

Классификация

Матрица является разложимым , если существует непустое собственное подмножество такое , что всякий раз , когда и . Является неразложимым , если он не разложит. ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ Displaystyle I \ подмножество \ {1, \ точки, п \}}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle j \ notin I}$

Пусть A - неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все его главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если его собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0). ${\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}, D_ {n}, E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}}$

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (вместе с A ₁ = B ₁ = C ₁ , B ₂ = C ₂ , D ₃ = A ₃ , D ₂ = A ₁ A ₁ , E ₅ = D ₅ , E ₄ = A ₄ и E ₃ = A ₂ A ₁ ).

А _п	B _n	C _n	D _n n ≥ 3	E _n 3 ≤ n ≤ 8	П ₄	G ₂
п + 1	2	2	4	9 - н	1	1

Другое свойство этого определителя состоит в том, что он равен индексу соответствующей корневой системы, то есть равен где $P, Q$ обозначают решетку весов и решетку корней, соответственно. ${\ displaystyle | P / Q |}$

Представления конечномерных алгебр

В теории модульных представлений и, в более общем смысле, в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A , которые не являются полупростыми , матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей и записи композиционных рядов для них в терминах неприводимые модули , дающие матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в M-теории

В M-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами, которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов обращается в ноль. В этом пределе появляется локальная группа симметрии . Предполагается, что матрица чисел пересечения базиса двух циклов является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрий.

Это можно объяснить следующим образом. В M-теории есть солитоны, которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-бранами . 2-брана имеет натяжение и, следовательно, имеет тенденцию к сжатию, но она может обернуться вокруг двух циклов, что не позволяет ей сжаться до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем принять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, таким образом получая размерное уменьшение по сравнению с этим измерением. Затем мы получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории, с двумя бранами, охватывающими два цикла, которые теперь описываются открытой струной, натянутой между D-бранами . Для каждой D-браны существует локальная группа симметрии U (1) , напоминающая степень свободы ее перемещения без изменения ее ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, когда эти D-браны располагаются друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Итак, открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор двух таких генераторов - это третий, представленный открытой строкой, которую получают путем склеивания ребер двух открытых строк. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, каким образом 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть от числа пересечений двух циклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и самой собой.

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

"Матрица Картана" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Картана» . MathWorld .

Languages

In other projects