Геометрия трансформации - Transformation geometry
В математике , геометрии преобразования (или трансформационный геометрия ) является именем математического и педагогическим взять на изучении геометрии , фокусируясь на группы из геометрических преобразований и свойств, которые инвариантны под ними. Он противоположен подходу классической синтетической геометрии евклидовой геометрии , который фокусируется на доказательстве теорем .
Например, в геометрии преобразования свойства равнобедренного треугольника выводятся из того факта, что он отображается на себя путем отражения относительно определенной линии. Это контрастирует с классическими доказательствами по критерию конгруэнтности треугольников .
Первые систематические попытки использовать преобразования в качестве основы геометрии были предприняты Феликсом Кляйном в 19 веке под названием Erlangen program . В течение почти столетия этот подход оставался ограниченным кругами исследователей математики. В 20 веке были предприняты попытки использовать его для математического образования . Андрей Колмогоров включил этот подход (вместе с теорией множеств ) как часть предложения по реформе преподавания геометрии в России . Эти усилия завершились в 1960-х годах общей реформой преподавания математики, известной как движение новой математики .
Педагогика
Изучение геометрии трансформации часто начинается с изучения симметрии отражения в повседневной жизни. Первое реальное преобразование - это отражение в линии или отражение относительно оси . Композиция двух отражений приводит к вращению , когда линии пересекаются, или перевод , когда они параллельны. Таким образом, с помощью преобразований студенты узнают об изометрии евклидовой плоскости . Например, рассмотрите отражение в вертикальной линии и линии, наклоненной под углом 45 ° к горизонтали. Можно заметить, что одна композиция дает четверть оборота против часовой стрелки (90 °), а обратная композиция дает четверть оборота по часовой стрелке. Такие результаты показывают, что геометрия преобразований включает некоммутативные процессы.
Интересное применение отражения в линии происходит в доказательстве треугольника с площадью одной седьмой, встречающегося в любом треугольнике.
Еще одно преобразование, представленное молодым студентам, - это расширение . Однако преобразование отражения в круге кажется неуместным для младших классов. Таким образом, инверсивная геометрия , более обширное исследование, чем геометрия преобразования начальной школы, обычно предназначена для студентов колледжей.
Эксперименты с конкретными группами симметрии уступают место абстрактной теории групп . Другие конкретные действия используют вычисления с комплексными числами , гиперкомплексными числами или матрицами для выражения геометрии преобразования. Такие уроки геометрии преобразования представляют альтернативный взгляд, который контрастирует с классической синтетической геометрией . Когда студенты затем сталкиваются с аналитической геометрией , идеи вращения и отражения координат легко вытекают. Все эти концепции подготавливают к линейной алгебре, где понятие отражения расширяется.
Педагоги проявили некоторый интерес и рассказали о проектах и опыте использования геометрии трансформации для детей от детского сада до старшей школы. В случае с детьми очень раннего возраста, чтобы избежать введения новой терминологии и установить связь с повседневным опытом учащихся с конкретными объектами, иногда рекомендовалось использовать знакомые им слова, такие как «перевертыши» для отражения линий », слайды «для перевода» и «повороты» для вращения, хотя это не точный математический язык. В некоторых предложениях учащиеся начинают с выполнения с конкретными объектами, прежде чем выполнять абстрактные преобразования с помощью своих определений отображения каждой точки фигуры.
Пытаясь реструктурировать курсы геометрии в России, Колмогоров предложил представить их с точки зрения преобразований, поэтому курсы геометрии были построены на основе теории множеств . Это привело к появлению в школах термина «конгруэнтный» для фигур, которые раньше назывались «равными»: поскольку фигура рассматривалась как набор точек, она могла быть равна только самой себе, и два треугольника, которые могли перекрываться. по изометриям конгруэнтны .
Один автор выразил важность теории групп для геометрии преобразований следующим образом:
- Я приложил немало усилий, чтобы развить из первых принципов всю необходимую мне теорию групп, с намерением, чтобы моя книга могла служить первым введением в группы преобразований и понятия абстрактной теории групп, если вы никогда их не видели.
Смотрите также
- Хиральность (математика)
- Геометрическая трансформация
- Теорема вращения Эйлера
- Движение (геометрия)
- Матрица трансформации
использованная литература
дальнейшее чтение
- Генрих Гуггенхаймер (1967) Плоская геометрия и ее группы , Холден-Дей.
-
Роджер Эванс Хоу и Уильям Баркер (2007) Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3900-3 .
- Робин Хартшорн (2011) Обзор непрерывной симметрии , American Mathematical Monthly 118: 565–8.
- Роджер Линдон (1985) Группы и геометрия , # 101 Серия лекций Лондонского математического общества, ISBN Cambridge University Press 0-521-31694-4 .
- П.С. Моденов и А.С. Пархоменко (1965) Геометрические преобразования , перевод Майкла Б.П. Слейтера, Academic Press .
- Джордж Э. Мартин (1982) Геометрия преобразования: Введение в симметрию , Springer Verlag .
- Исаак Яглом (1962) Геометрические преобразования , Случайный дом (пер. С рус.).
- Макс Jeger (1966) Transformation Geometry (перевод с немецкого).
- Обучающие заметки о трансформациях от благотворительного фонда Гэтсби
- Кристин А. Каменга (Ежегодное собрание и выставка NCTM 2011 г.) - Преобразование геометрического доказательства с помощью отражений, вращений и переводов.
- Натали Синклер (2008) Учебная программа по истории геометрии в Соединенных Штатах , стр. 63-66.
- Залман П. Усискин и Артур Ф. Коксфорд. Трансформационный подход к геометрии десятого класса, Учитель математики, Vol. 65, No. 1 (январь 1972 г.), стр. 21-30 .
- Залман П. Усискин. Влияние преподавания евклидовой геометрии через преобразования на успеваемость и отношение учащихся к геометрии в десятом классе, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 3, No. 4 (ноябрь 1972 г.), стр. 249-259.
- Колмогоров. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии, Математика в школе, 1965, № 2, с. 24–29. (Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии) (на русском)
- Альтон Торп Олсон (1970). Геометрия плоскости средней школы через преобразования: исследовательское исследование, Vol. Я . Университет Висконсина - Мэдисон.
- Альтон Торп Олсон (1970). Геометрия плоскости средней школы через преобразования: исследовательское исследование, Том II . Университет Висконсина - Мэдисон.