Геометрия трансформации - Transformation geometry

Отражение от оси, за которым следует отражение от второй оси, параллельной первой, приводит к полному движению, которое является переносом .
Отражение от оси, за которым следует отражение от второй оси, не параллельной первой, приводит к общему движению, которое представляет собой вращение вокруг точки пересечения осей.

В математике , геометрии преобразования (или трансформационный геометрия ) является именем математического и педагогическим взять на изучении геометрии , фокусируясь на группы из геометрических преобразований и свойств, которые инвариантны под ними. Он противоположен подходу классической синтетической геометрии евклидовой геометрии , который фокусируется на доказательстве теорем .

Например, в геометрии преобразования свойства равнобедренного треугольника выводятся из того факта, что он отображается на себя путем отражения относительно определенной линии. Это контрастирует с классическими доказательствами по критерию конгруэнтности треугольников .

Первые систематические попытки использовать преобразования в качестве основы геометрии были предприняты Феликсом Кляйном в 19 ​​веке под названием Erlangen program . В течение почти столетия этот подход оставался ограниченным кругами исследователей математики. В 20 веке были предприняты попытки использовать его для математического образования . Андрей Колмогоров включил этот подход (вместе с теорией множеств ) как часть предложения по реформе преподавания геометрии в России . Эти усилия завершились в 1960-х годах общей реформой преподавания математики, известной как движение новой математики .

Педагогика

Изучение геометрии трансформации часто начинается с изучения симметрии отражения в повседневной жизни. Первое реальное преобразование - это отражение в линии или отражение относительно оси . Композиция двух отражений приводит к вращению , когда линии пересекаются, или перевод , когда они параллельны. Таким образом, с помощью преобразований студенты узнают об изометрии евклидовой плоскости . Например, рассмотрите отражение в вертикальной линии и линии, наклоненной под углом 45 ° к горизонтали. Можно заметить, что одна композиция дает четверть оборота против часовой стрелки (90 °), а обратная композиция дает четверть оборота по часовой стрелке. Такие результаты показывают, что геометрия преобразований включает некоммутативные процессы.

Интересное применение отражения в линии происходит в доказательстве треугольника с площадью одной седьмой, встречающегося в любом треугольнике.

Еще одно преобразование, представленное молодым студентам, - это расширение . Однако преобразование отражения в круге кажется неуместным для младших классов. Таким образом, инверсивная геометрия , более обширное исследование, чем геометрия преобразования начальной школы, обычно предназначена для студентов колледжей.

Эксперименты с конкретными группами симметрии уступают место абстрактной теории групп . Другие конкретные действия используют вычисления с комплексными числами , гиперкомплексными числами или матрицами для выражения геометрии преобразования. Такие уроки геометрии преобразования представляют альтернативный взгляд, который контрастирует с классической синтетической геометрией . Когда студенты затем сталкиваются с аналитической геометрией , идеи вращения и отражения координат легко вытекают. Все эти концепции подготавливают к линейной алгебре, где понятие отражения расширяется.

Педагоги проявили некоторый интерес и рассказали о проектах и ​​опыте использования геометрии трансформации для детей от детского сада до старшей школы. В случае с детьми очень раннего возраста, чтобы избежать введения новой терминологии и установить связь с повседневным опытом учащихся с конкретными объектами, иногда рекомендовалось использовать знакомые им слова, такие как «перевертыши» для отражения линий », слайды «для перевода» и «повороты» для вращения, хотя это не точный математический язык. В некоторых предложениях учащиеся начинают с выполнения с конкретными объектами, прежде чем выполнять абстрактные преобразования с помощью своих определений отображения каждой точки фигуры.

Пытаясь реструктурировать курсы геометрии в России, Колмогоров предложил представить их с точки зрения преобразований, поэтому курсы геометрии были построены на основе теории множеств . Это привело к появлению в школах термина «конгруэнтный» для фигур, которые раньше назывались «равными»: поскольку фигура рассматривалась как набор точек, она могла быть равна только самой себе, и два треугольника, которые могли перекрываться. по изометриям конгруэнтны .

Один автор выразил важность теории групп для геометрии преобразований следующим образом:

Я приложил немало усилий, чтобы развить из первых принципов всю необходимую мне теорию групп, с намерением, чтобы моя книга могла служить первым введением в группы преобразований и понятия абстрактной теории групп, если вы никогда их не видели.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение