Параллельный (геометрия) - Parallel (geometry)

Штриховой рисунок из параллельных линий и кривых.

В геометрии , параллельные линии линии в точке , которые не отвечают; то есть две прямые на плоскости, которые не пересекаются ни в одной точке, называются параллельными. В просторечии кривые, которые не касаются друг друга и не пересекаются и сохраняют фиксированное минимальное расстояние, называются параллельными. Линия и плоскость или две плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, которые не имеют общей точки, также называются параллельными. Однако две линии в трехмерном пространстве, которые не пересекаются, должны находиться в общей плоскости, чтобы считаться параллельными; в противном случае они называются косыми линиями . Параллельные плоскости - это плоскости в одном трехмерном пространстве, которые никогда не встречаются.

Параллельные линии являются предметом постулата Евклида о параллельности . Параллелизм - это прежде всего свойство аффинных геометрий, а евклидова геометрия - особый пример этого типа геометрии. В некоторых других геометриях, таких как гиперболическая геометрия , линии могут иметь аналогичные свойства, которые называются параллелизмом.

Условное обозначение

Параллельный символ - . Например, указывает, что линия AB параллельна линии  CD .

В наборе символов Unicode знаки «параллельный» и «непараллельный» имеют кодовые точки U + 2225 () и U + 2226 (∦) соответственно. Кроме того, U + 22D5 (⋕) представляет собой отношение «равно и параллельно».

Этот же символ используется для двоичной функции в электротехнике ( параллельный оператор ). Он отличается от двойных вертикальных скобок, обозначающих норму , а также от логического оператора или оператора ( ||) в некоторых языках программирования.

Евклидов параллелизм

Две линии на плоскости

Условия параллелизма

Как показано отметками, прямые a и b параллельны. Это может быть доказано, потому что трансверсаль t дает совпадающие соответствующие углы , показанные здесь справа от трансверсали, один выше и рядом с линией a, а другой выше и рядом с линией b .

Для данных параллельных прямых l и m в евклидовом пространстве следующие свойства эквивалентны:

  1. Каждая точка на прямой m находится на одинаковом (минимальном) расстоянии от прямой l ( эквидистантные прямые ).
  2. Прямая m находится в той же плоскости, что и прямая l, но не пересекает l (напомним, что прямые простираются до бесконечности в любом направлении).
  3. Когда обе прямые m и l пересекаются третьей прямой линией ( трансверсалью ) в той же плоскости, соответствующие углы пересечения с трансверсалью совпадают .

Поскольку это эквивалентные свойства, любое из них можно рассматривать как определение параллельных линий в евклидовом пространстве, но первое и третье свойства включают измерение, и поэтому они «сложнее», чем второе. Таким образом, второе свойство обычно выбирается как определяющее свойство параллельных прямых в евклидовой геометрии. Остальные свойства являются следствием постулата Евклида о параллельности . Еще одно свойство, которое также связано с измерением, - это то, что параллельные друг другу линии имеют одинаковый градиент (наклон).

История

Определение параллельных прямых как пары прямых на плоскости, которые не пересекаются, появляется как Определение 23 в Книге I Элементов Евклида . Альтернативные определения обсуждались другими греками, часто как часть попытки доказать параллельный постулат . Прокл приписывает определение параллельных линий как равноудаленных линиям Посидонию и цитирует Гемина в том же духе. Симплиций также упоминает определение Посидония, а также его модификацию философом Аганисом.

В конце девятнадцатого века в Англии «Элементы Евклида» все еще были стандартным учебником в средних школах. Традиционное обращение с геометрией было вынуждено измениться из-за новых достижений в проективной геометрии и неевклидовой геометрии , поэтому в это время было написано несколько новых учебников для преподавания геометрии. Основное различие между этими реформаторскими текстами, как между собой, так и между ними и Евклидом, заключается в трактовке параллельных линий. Эти реформаторские тексты не остались без критики, и один из них, Чарльз Доджсон (он же Льюис Кэрролл ), написал пьесу « Евклид и его современные соперники» , в которой эти тексты подвергаются критике.

Одним из первых учебников по реформе был Джеймс Мориса Уилсона Элементарная геометрия в 1868. Уилсон на основе его определение параллельных линий на примитивного понятия о направлении . Согласно Вильгельму Киллингу, эта идея восходит к Лейбницу . Уилсон, не определяя направление, поскольку это примитив, использует этот термин в других определениях, таких как его шестое определение: «Две прямые линии, которые встречаются друг с другом, имеют разные направления, и разница их направлений - это угол между ними». Уилсон (1868 , стр. 2) В определении 15 он вводит параллельные прямые таким образом; «Прямые линии, которые имеют одинаковое направление , но не являются частями одной и той же прямой, называются параллельными линиями ». Уилсон (1868 , стр. 12) Август Де Морган рассмотрел этот текст и объявил его неудачным, в первую очередь на основании этого определения и того, как Вильсон использовал его для доказательства того, что касается параллельных линий. Доджсон также посвящает большую часть своей пьесы (Акт II, Сцена VI § 1) осуждению трактовки параллелей Уилсоном. Уилсон отредактировал эту концепцию из третьего и более поздних изданий своего текста.

Другие свойства, предложенные другими реформаторами, использованные в качестве замены для определения параллельных линий, оказались не намного лучше. Основная трудность, как указывал Доджсон, заключалась в том, что их использование таким образом требовало добавления в систему дополнительных аксиом. Определение равноудаленной линии Посидония, изложенное Фрэнсисом Катбертсоном в его тексте 1874 года « Евклидова геометрия», страдает от проблемы, заключающейся в том, что точки, которые находятся на фиксированном заданном расстоянии на одной стороне прямой линии, должны быть показаны как прямая линия. Это невозможно доказать, и следует полагать, что это правда. Соответствующие углы, образованные свойством трансверсальности, используемым В. Д. Кули в его тексте 1860 г. «Элементы геометрии, упрощенном и объясненном», требуют доказательства того факта, что если одна трансверсаль пересекает пару линий в соответствующих конгруэнтных углах, то все трансверсали должны пересекаться. так. Опять же, чтобы оправдать это утверждение, нужна новая аксиома.

Строительство

Три указанных выше свойства приводят к трем различным методам построения параллельных линий.

Проблема: проведите линию, проходящую через параллель l .

Расстояние между двумя параллельными линиями

Поскольку параллельные прямые в евклидовой плоскости равноудалены, между двумя параллельными прямыми существует уникальное расстояние. Учитывая уравнения двух невертикальных, негоризонтальных параллельных линий,

расстояние между двумя линиями можно найти, указав две точки (по одной на каждой линии), которые лежат на общем перпендикуляре к параллельным линиям, и рассчитав расстояние между ними. Поскольку прямые имеют наклон m , общий перпендикуляр будет иметь наклон −1 / m, и мы можем взять прямую с уравнением y = - x / m в качестве общего перпендикуляра. Решите линейные системы

а также

чтобы получить координаты точек. Решениями линейных систем являются точки

а также

Эти формулы по-прежнему дают правильные координаты точки, даже если параллельные линии горизонтальны (т. Е. M = 0). Расстояние между точками

что сводится к

Когда линии задаются общей формой уравнения линии (включая горизонтальные и вертикальные линии):

их расстояние можно выразить как

Две линии в трехмерном пространстве

Две прямые в одном трехмерном пространстве, которые не пересекаются, не обязательно должны быть параллельны. Только если они находятся в общей плоскости, они называются параллельными; в противном случае они называются косыми линиями .

Две различные прямые l и m в трехмерном пространстве параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P на прямой m до ближайшей точки на прямой l не зависит от расположения P на прямой m . Это никогда не относится к наклонным линиям.

Линия и самолет

Прямая m и плоскость q в трехмерном пространстве, не лежащая в этой плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Эквивалентно, они параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P на прямой m до ближайшей точки на плоскости q не зависит от местоположения P на прямой m .

Два самолета

Подобно тому, как параллельные линии должны располагаться в одной плоскости, параллельные плоскости должны располагаться в одном и том же трехмерном пространстве и не содержать общих точек.

Две различные плоскости q и r параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P в плоскости q до ближайшей точки в плоскости r не зависит от расположения P в плоскости q . Этого никогда не будет, если две плоскости не находятся в одном и том же трехмерном пространстве.

Расширение на неевклидову геометрию

В неевклидовой геометрии чаще говорят о геодезических, чем о (прямых) линиях. Геодезическая - это кратчайший путь между двумя точками данной геометрии. В физике это можно интерпретировать как путь, по которому следует частица, если к ней не приложена сила. В неевклидовой геометрии ( эллиптической или гиперболической геометрии ) три евклидовых свойства, упомянутых выше, не эквивалентны, и только второе из них (линия m находится в той же плоскости, что и линия l, но не пересекает l), поскольку она не включает никаких измерений. в неевклидовых геометриях. В общей геометрии три вышеуказанных свойства дают три разных типа кривых, эквидистантные кривые , параллельные геодезические и геодезические, имеющие общий перпендикуляр , соответственно.

Гиперболическая геометрия

Пересекающиеся , параллельные и ультрапараллельные прямые, проходящие через a относительно l в гиперболической плоскости. Кажется, что параллельные линии пересекают l сразу за пределами изображения. Это просто артефакт визуализации. На реальной гиперболической плоскости линии будут приближаться друг к другу и «встречаться» в бесконечности.

В то время как в евклидовой геометрии две геодезические могут либо пересекаться, либо быть параллельны, в гиперболической геометрии есть три возможности. Две геодезические, принадлежащие одной плоскости, могут быть:

  1. пересекающиеся , если они пересекаются в общей точке на плоскости,
  2. параллельные , если они не пересекаются в плоскости, а сходятся к общей предельной точке на бесконечности ( идеальной точке ), или
  3. ультрапараллельные , если у них нет общей предельной точки на бесконечности.

В литературе ультрапараллельные геодезические часто называют непересекающимися . Геодезические, пересекающиеся на бесконечности , называются предельной параллелью .

Как показано на рисунке, через точку a не на прямой l проходят две ограничивающие параллельные линии, по одной для каждой идеальной точки направления прямой l. Они разделяют прямые, пересекающие прямую l, и те, которые ультрапараллельны прямой l .

Ультрапараллельные прямые имеют один общий перпендикуляр ( теорема ультрапараллельности ) и расходятся по обе стороны от этого общего перпендикуляра.


Сферическая или эллиптическая геометрия

На сфере нет такой вещи, как параллельная линия. Линия а - это большой круг , эквивалент прямой линии в сферической геометрии. Линия c равноудалена линии a, но не является большим кругом. Это параллель широты. Линия b - это еще одна геодезическая, которая пересекает точку a в двух противоположных точках. У них два общих перпендикуляра (один показан синим).

В сферической геометрии все геодезические - большие круги . Большие круги делят сферу на два равных полушария, и все большие круги пересекают друг друга. Таким образом, нет никаких параллельных геодезических данной геодезической, поскольку все геодезические пересекаются. Эквидистантные кривые на сфере называются параллелями широты, аналогично линиям широты на глобусе. Параллели широты могут быть образованы пересечением сферы с плоскостью, параллельной плоскости, проходящей через центр сферы.

Рефлексивный вариант

Если l, m, n - три различные прямые, то

В этом случае параллелизм - это переходное отношение . Однако в случае l = n наложенные линии не считаются параллельными в евклидовой геометрии. Бинарное отношение между параллельными линиями, очевидно , является симметричным отношением . Согласно принципам Евклида, параллелизм не является рефлексивным отношением и, следовательно, не может быть отношением эквивалентности . Тем не менее, в аффинной геометрии пучок параллельных линий берутся как класс эквивалентности в множестве линий , где параллелизм является отношением эквивалентности.

С этой целью Эмиль Артин (1957) принял определение параллелизма, согласно которому две прямые параллельны, если у них есть все или ни одна из их общих точек. Затем линия является параллельным самому себе , так что возвратные и переходные свойства принадлежат к этому типу параллельности, создавая отношение эквивалентности на множестве линий. При изучении геометрии инцидентности этот вариант параллелизма используется в аффинной плоскости .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.), Нью-Йорк: Dover Publications
(3 тт.): ISBN  0-486-60088-2 (т. 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита плюс обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.
  • Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
  • Уилсон, Джеймс Морис (1868), Элементарная геометрия (1-е изд.), Лондон: Macmillan and Co.
  • Wylie Jr., CR (1964), Основы геометрии , McGraw – Hill

дальнейшее чтение

  • Пападопулос, Афанас; Тере, Гийом (2014), Теория параллелей Иоганна Генриха Ламбера: презентация, перевод и комментарии , Париж: Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5

внешние ссылки