Ядро (теория множеств) - Kernel (set theory)

В теории множеств , то ядро из функции F (или эквивалентность ядро ) может быть принято , чтобы быть либо

• отношение эквивалентности на функция в области , что примерно выражает идею «эквивалент, насколько функция е может сказать», или
• соответствующий раздел домена.

Определение

Для формального определения, пусть X и Y будет множество , и пусть F быть функцией от X к Y . Элементы х ₁ и х ₂ из X являются эквивалентны , если F ( х ₁ ) и F ( х ₂ ) являются равными , т.е. те же элемент Y . Ядро f - это определенное таким образом отношение эквивалентности.

Коэффициенты

Как и любое отношение эквивалентности, ядро ​​может быть модифицировано для формирования фактор-множества , а фактор-множество - это разбиение:

${\ Displaystyle \ left \ {\, \ left \ {\, w \ in X \ mid f (x) = f (w) \, \ right \} \ mid x \ in X \, \ right \}.}$

Это фактормножество X / = _f называется кообразом функции f и обозначается coim f (или вариацией). Кообраз это естественно изоморфен (в теоретико-множественный смысл биекции ) к изображению , им ф ; В частности, класс эквивалентности из й в X (который является элементом COIM е ) соответствуют е ( х ) в Y (который является элементом им е ).

Как подмножество квадрата

Как и любой бинарного отношения , ядро функции можно рассматривать как подмножество в декартово произведение X × X . В этом случае ядро ​​может быть обозначено ker f (или его вариант) и может быть определено символически как

${\ Displaystyle \ OperatorName {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

Изучение свойств этого подмножества может пролить свет на f .

В алгебраических структурах

Если X и Y - алгебраические структуры некоторого фиксированного типа (например, группы , кольца или векторные пространства ), и если функция f из X в Y является гомоморфизмом , то ker f является отношением конгруэнтности (то есть отношением эквивалентности, которое совместим с алгебраической структурой), а кообразом из F является фактор из X . Биекция между кообразом и образом f является изоморфизмом в алгебраическом смысле; это наиболее общая форма первой теоремы об изоморфизме . См. Также Kernel (алгебра) .

В топологических пространствах

Если Х и Y являются топологические пространства и F является непрерывной функцией между ними, то топологические свойства кег F могут пролить свет на пространствах X и Y . Например, если Y - хаусдорфово пространство , то ker f должно быть замкнутым множеством . Наоборот, если X - хаусдорфово пространство и ker f - замкнутое множество, то кообраз f , если задана топология факторпространства , также должен быть хаусдорфовым пространством.

Ссылки

Источники

• Awodey, Стив (2010) [2006]. Теория категорий . Oxford Logic Guides. 49 (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-923718-0.