Фактор (универсальная алгебра) - Quotient (universal algebra)

В математике , А фактор - алгебра является результатом разделения элементов с алгебраической структуры , используя отношение конгруэнтности . Фактор-алгебры также называют фактор-алгебрами . Здесь отношение конгруэнтности должно быть отношением эквивалентности , которое дополнительно совместимо со всеми операциями алгебры в формальном смысле, описанном ниже. Его классы эквивалентности разбивают элементы данной алгебраической структуры. Эти классы являются элементами фактор-алгебры, а условия совместимости используются для придания классам алгебраической структуры.

Идея факторалгебры тезисов в одно общего понятие фактора структуры факторколец из теории колец , фактор групп по теории групп , то фактор - пространства из линейной алгебры и фактор - модули из теории представлений в общую структуру.

Совместимое отношение

Пусть множество элементов алгебры , и пусть Е отношение эквивалентности на множестве A . Отношение E называется совместимым (или обладает свойством подстановки по отношению к) n -арной операцией f , если for следует для любой with . Отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры, называется конгруэнцией относительно этой алгебры. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle (a_ {i}, \; b_ {i}) \ in E}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ displaystyle (f (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}), f (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})) \ in E}$${\ displaystyle a_ {i}, \; b_ {i} \ in A}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$

Фактор-алгебры и гомоморфизмы

Любое отношение эквивалентности E в множестве A разбивает это множество на классы эквивалентности . Совокупность этих классов эквивалентности обычно называется множество фактора , и обозначается / E . Для алгебры легко определить операции, индуцированные на элементах A / E, если E - конгруэнция. В частности, для любой операции по арностью в (где верхний индекс просто обозначает , что это операция , в , а нижний индекс перечисляет функции и их арностей) определяют , как , где обозначает класс эквивалентности , порожденный Е ( « х по  модулю  Е » ). ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f_ {я} ^ {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E} :( A / E) ^ {n_ {i}} \ to A / E}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E} ([a_ {1}] _ {E}, \ ldots, [a_ {n_ {i}}] _ {E}) = [ f_ {i} ^ {\ mathcal {A}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n_ {i}})] _ {E}}$${\ displaystyle [x] _ {E} \ in A / E}$${\ displaystyle x \ in A}$

Для алгебры , учитывая конгруэнцию Е на , алгебра называется фактор - алгебра (или фактор - алгебра ) по модулю Е . Существует естественный гомоморфизм от для отображения каждого элемента в его класс эквивалентности. В самом деле, каждый гомоморфизм ч определяет отношение конгруэнтности через ядро гомоморфизма, . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = (A, (f_ {я} ^ {\ mathcal {A}}) _ {я \ in I})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / E = (A / E, (f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E}) _ {я \ in I})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} / E}$${\ Displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h = \ {(a, a ') \ in A ^ {2} \, | \, h (a) = h (a') \} \ substeq A ^ {2}}$

Для данной алгебры гомоморфизм h, таким образом, определяет две алгебры, гомоморфные образу h (· ) и Эти две изоморфны , результат известен как теорема о гомоморфном образе или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально, пусть - сюръективный гомоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм g from на такой, что g, составленный с естественным гомоморфизмом, индуцированным равным h . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$${\ displaystyle h: {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$

Решетка конгруэнтности

Для каждой алгебры на множестве А , в отношении идентичности на А, и тривиальные конгруэнции. Алгебра, не имеющая других сравнений, называется простой . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle А \ раз А}$

Позвольте быть набор конгруэнций на алгебре . Поскольку сравнения замкнуты относительно пересечения, мы можем определить операцию встречи : просто взяв пересечение конгруэнций . ${\ Displaystyle \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ wedge: \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ times \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ to \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A} })}$${\ Displaystyle E_ {1} \ клин E_ {2} = E_ {1} \ cap E_ {2}}$

С другой стороны, сравнения не закрываются при объединении. Тем не менее, мы можем определить замыкание любого бинарного отношения Е , по отношению к фиксированной алгебре , таким образом, что это сравнение, следующим образом: . Обратите внимание, что закрытие бинарного отношения является конгруэнцией и, следовательно, зависит от операций в , а не только от несущего набора. Теперь определим как . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ langle E \ rangle _ {\ mathcal {A}} = \ bigcap \ {F \ in \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ mid E \ substeq F \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ vee: \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ times \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ to \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A} })}$${\ displaystyle E_ {1} \ vee E_ {2} = \ langle E_ {1} \ cup E_ {2} \ rangle _ {\ mathcal {A}}}$

Для каждой алгебры , с двумя операциями , определенными выше , образует решетку , называется решетка конгруэнции из . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}), \ клин, \ vee)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Мальцевские условия

Если два конгруэнции переставлять (коммутирует) с композицией отношений как операции, то есть , то их присоединиться (в конгруэнтности решетке) равно их состав: . Алгебра называется конгруэнтно-перестановочной, если каждая пара ее конгруэнций переставляет; аналогично многообразие называется конгруэнтно-перестановочным, если все его члены являются конгруэнтно-перестановочными алгебрами. ${\ displaystyle \ alpha \ circ \ beta = \ beta \ circ \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа \ круг \ бета = \ альфа \ ви \ бета}$

В 1954 году Анатолий Мальцев установил следующую характеристику конгруэнтно-перестановочных многообразий: многообразие конгруэнтно перестановочно тогда и только тогда, когда существует тернарный член q ( x , y , z ) такой, что q ( x , y , y ) ≈ x ≈ д ( у , у , х ) ; это называется мальцевским термином, а многообразия с этим свойством - мальцевскими. Характеристика Мальцева объясняет большое количество подобных результатов в группах (возьмем q = xy ⁻¹ z ), кольцах, квазигруппах (возьмем q = (x / (y \ y)) (y \ z)) , дополняемых решетках , алгебрах Гейтинга и т. Д. Более того, каждая конгруэнтно-перестановочная алгебра конгруэнтно-модулярна, т. Е. Ее решетка конгруэнций также является модулярной решеткой ; Однако обратное неверно.

После результата Мальцева другие исследователи нашли характеристики, основанные на условиях, подобных найденным Мальцевым, но для других видов свойств, например, в 1967 году Бьярни Йонссон нашел условия для многообразий, имеющих решетки конгруэнции, которые являются дистрибутивными (так называемые конгруэнтно-дистрибутивные многообразия). Обычно такие условия называются условиями Мальцева.

Это направление исследований привело к созданию алгоритма Пиксли – Вилле для генерации условий Мальцева, связанных с тождествами конгруэнтности.

Смотрите также

• Факторное кольцо
• Решетка сравнения
• Решетка подгрупп

Ноты

Рекомендации

• Клаус Денеке; Шелли Л. Висмат (2009). Универсальная алгебра и коалгебра . World Scientific. С. 14–17. ISBN   978-981-283-745-5 .
• Пурна Чандра Бисвал (2005). Дискретная математика и теория графов . PHI Learning Pvt. ООО п. 215. ISBN   978-81-203-2721-4 .
• Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . CRC Press. С. 122–124, 137 (сорта Мальцева). ISBN   978-1-4398-5129-6 .