Факторная категория - Quotient category

В математике , категория фактора является категорией , полученной от другого путем определения множества морфизмов . Формально это фактор-объект в категории (локально малых) категорий , аналогичный фактор-группе или фактор-пространству , но в категориальной обстановке.

Определение

Пусть C - категория. Конгруэнтность отношение R на C определяется по формуле: для каждой пары объектов X , Y в C , отношение эквивалентности R _{X , Y} на Hom ( X , Y ), таким образом, что отношения эквивалентности соблюдать композицию морфизмов. То есть, если

${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}: от X \ до Y \,}$

связаны в Hom ( X , Y ) и

${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2}: от Y \ до Z \,}$

связаны в Hom ( Y , Z ), то g ₁ f ₁ и g ₂ f ₂ связаны в Hom ( X , Z ).

Учитывая отношение конгруэнтности R на C , мы можем определить фактор категорию C / R , как категории, объекты которой являются теми С , а морфизмы классы эквивалентности морфизмов в C . То есть,

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} / R} (X, Y) = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) / R_ {X, Y }.}$

Композиция морфизмов в C / R является хорошо определена , так как R является отношение конгруэнтности.

Свойства

Существует естественный фактор- функтор от C к C / R, который переводит каждый морфизм в его класс эквивалентности. Этот функтор биективен на объектах и ​​сюръективен на Hom-множествах (т.е. является полным функтором ).

Каждый функтор F  : C → D определяет сравнение на C , говоря, что f ~ g тогда и только тогда, когда F ( f ) = F ( g ). Затем функтор F уникальным образом пропускает через фактор-функтор C → C / ~. Это можно рассматривать как « первую теорему об изоморфизме » для функторов.

Примеры

• Моноиды и группы можно рассматривать как категории с одним объектом. В этом случае фактор-категория совпадает с понятием фактор-моноида или фактор-группы .
• Гомотопическая категория топологических пространств HTOP является фактор категории Top , в категории топологических пространств . Классы эквивалентности морфизмов являются гомотопическими классами непрерывных отображений.
• Пусть k - поле, и рассмотрим абелеву категорию Mod ( k ) всех векторных пространств над k с k- линейными отображениями как морфизмы. Чтобы «убить» все конечномерные пространства, мы можем назвать два линейных отображения f , g  : X → Y конгруэнтными тогда и только тогда, когда их разность имеет конечномерный образ. В результирующей фактор-категории все конечномерные векторные пространства изоморфны 0. [Фактически это пример фактора аддитивных категорий, см. Ниже.]

Связанные понятия

Факторы аддитивных категорий по модулю идеалов

Если C - аддитивная категория, и мы требуем, чтобы отношение конгруэнтности ~ на C было аддитивным (т.е. если f ₁ , f ₂ , g ₁ и g ₂ являются морфизмами из X в Y с f ₁ ~ f ₂ и g ₁ ~ g ₂ , то f ₁ + f ₂ ~ g ₁ + g ₂ ), то фактор-категория C / ~ также будет аддитивной, а фактор-функтор C → C / ~ будет аддитивным функтором.

Понятие аддитивного отношения конгруэнтности эквивалентно понятию двустороннего идеала морфизмов : для любых двух объектов X и Y нам дана аддитивная подгруппа I ( X , Y ) группы Hom _C ( X , Y ) такая, что для всех f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom _C ( Y , Z ) и h ∈ Hom _C ( W , X ) имеем gf ∈ I ( X , Z ) и fh ∈ I ( W , Y ) . Два морфизма в Hom _C ( X , Y ) конгруэнтны тогда и только тогда, когда их разность лежит в I ( X , Y ).

Каждое кольцо с единицей можно рассматривать как аддитивную категорию с единственным объектом, и фактор-фактор аддитивных категорий, определенный выше, совпадает в этом случае с понятием фактор-кольца по модулю двустороннего идеала.

Локализация категории

Локализация категории вводит новые морфизмы превратить несколько морфизмов исходной категории в в изоморфизмы. Это имеет тенденцию увеличивать количество морфизмов между объектами, а не уменьшать его, как в случае факторных категорий. Но в обеих конструкциях часто случается, что изоморфными становятся два объекта, которые не были изоморфны в исходной категории.

Факторы Серра абелевых категорий

Серра фактор из абелевой категории с помощью подкатегории Серры новой абелева категории , которая похожа на категорию фактора , но и во многих случаях имеет характер локализации категории.

Ссылки

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (Второе изд.). Springer-Verlag.