Строгая 2 категория - Strict 2-category

В теории категорий , строгая 2-категория является категорией с « морфизмами между морфизмами», то есть, где каждый рупор посаженным сам несет структуру категории. Формально ее можно определить как категорию, обогащенную над Cat ( категория категорий и функторов с моноидальной структурой, заданной произведением категорий ).

Концепция 2-категории была впервые введена Чарльзом Эресманном в его работе по обогащенным категориям в 1965 году. Более общая концепция бикатегории (или слабой 2- категории ), где композиция морфизмов ассоциативна только с точностью до 2-изоморфизма, была обнаружен в 1968 году Жаном Бенабу.

Определение

2-категория C состоит из:

Класс 0- клеток (или объектов ) $A$ , $B$ , ....
Для всех объектов $А$ и $Б$ - категория . Объекты этой категории называются 1- клетками, а ее морфизмы - 2- клетками ; композиция в этой категории обычно пишется или называется вертикальной композицией или композицией вдоль 1-й ячейки . ${\ displaystyle \ mathbf {C} (A, B)}$ ${\ displaystyle f, g: от A \ до B}$ ${\ displaystyle \ alpha: f \ Rightarrow g}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle \ circ _ {1}}$
Для любого объекта $А$ существует функтор из терминала категории (с одним объектом и одной стрелкой) до того, что выбирает в идентичности 1-клетки $идентификатор$ $A$ на $A$ и его идентичность 2-клетки $ID$ $идентификатора$ $A$ . На практике эти два часто обозначаются просто $А$ . ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (А, А)}$
Для всех объектов $A$ , $B$ и $C$ существует функтор , называемый горизонтальной композицией или композицией вдоль 0-ячейки , который является ассоциативным и допускает идентичность 1 и 2-ячеек $id$ $A в$ качестве тождеств. Здесь, ассоциативность для средств , которые по горизонтали , составляющие дважды не зависит от каких из двух и состоит в первую очередь. Символ композиции часто опускается, горизонтальный композит из 2-клеток и записывается просто как . ${\ Displaystyle \ circ _ {0} \ двоеточие \ mathbf {C} (B, C) \ times \ mathbf {C} (A, B) \ to \ mathbf {C} (A, C)}$ ${\ displaystyle \ circ _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (C, D) \ times \ mathbf {C} (B, C) \ times \ mathbf {C} (A, B)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (A, D)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (C, D) \ times \ mathbf {C} (B, C)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (B, C) \ times \ mathbf {C} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ circ _ {0}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ двоеточие f \ Rightarrow g \ двоеточие от A \ до B}$ ${\ displaystyle \ beta \ двоеточие f '\ Rightarrow g' \ двоеточие B \ to C}$ ${\ displaystyle \ beta \ alpha \ двоеточие f'f \ Rightarrow g'g \ двоеточие от A \ до C}$

Понятие 2-категории отличается от более общего понятия бикатегории тем, что композиция из 1-ячеек (горизонтальная композиция) должна быть строго ассоциативной, тогда как в бикатегории она должна быть ассоциативной только с точностью до 2-изоморфизма. Аксиомы 2-категории являются следствием их определения как Cat обогащенным категории:

Вертикальная композиция ассоциативна и унитальна, единицы - это тождественные 2-ячейки $id f$ .
Горизонтальная композиция также (строго) ассоциативна и унитальный, блоки тождественной 2-клетка $ID ID А$ на идентичность 1-клетки $идентификатора A$ .
Закон обмена соблюдается; т.е. верно, что для составных 2-ячеек ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма, \ дельта}$

{\ Displaystyle (\ альфа \ circ _ {0} \ beta) \ circ _ {1} (\ gamma \ circ _ {0} \ delta) = (\ alpha \ circ _ {1} \ gamma) \ circ _ { 0} (\ beta \ circ _ {1} \ delta)}

Закон обмена следует из того, что он является функтором между гом-категориями. Его можно нарисовать в виде схемы склейки следующим образом: ${\ displaystyle \ circ _ {0}}$

	знак равно	знак равно	${\ displaystyle \ circ _ {0}}$
${\ displaystyle \ circ _ {1}}$

Здесь левая диаграмма обозначает вертикальную композицию горизонтальных композитов, правая диаграмма обозначает горизонтальную композицию вертикальных композитов, а диаграмма в центре является обычным представлением обоих.

Доктрины

В математике доктрина - это просто 2-категория, которая эвристически рассматривается как система теорий. Например, алгебраические теории , изобретенные Уильямом Ловером , являются примером доктрины, как и разнесенные теории , операды , категории и топосы .

Объекты 2-категории называются теориями , 1-морфизмы называются модели на $A$ в $B$ , и 2-морфизмы называются морфизмов между моделями. ${\ displaystyle f \ двоеточие A \ rightarrow B}$

Различие между 2-категорией и доктриной на самом деле чисто эвристическое: обычно не рассматриваются 2-категории, которые должны быть заполнены теориями как объектами и моделями как морфизмами. Именно этот словарь делает теорию доктрин стоящей.

Например, « Кот с двумя категориями» категорий, функторов и естественных преобразований - это доктрина. Сразу видно, что все категории предпучков являются категориями моделей.

В качестве другого примера можно взять подкатегорию Cat, состоящую только из категорий с конечными продуктами в качестве объектов и сохраняющими продукт функторами в качестве 1-морфизмов. Это учение о многомерных алгебраических теориях. Если бы кто-то хотел только 1-сортированные алгебраические теории, можно было бы ограничить объекты только теми категориями, которые генерируются в рамках продуктов одним объектом.

Доктрины открыл Джонатан Мок Бек .

Смотрите также

Сноски

Обобщенные алгебраические модели Клаудии Сентаццо.

Внешние ссылки

СМИ, относящиеся к категории " Строгая 2" на Викискладе?

Languages

In other projects