Триаконтагон - Triacontagon

Обычный триаконтагон
	Обычный триаконтагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	30
Символ Шлефли	{30}, т {15}
Диаграмма Кокстера	;
Группа симметрии	Двугранный (D 30 ), порядок 2 × 30
Внутренний угол ( градусы )	168 °
Двойной многоугольник	Я
Свойства	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A triacontagon или 30-угольник является тридцать-сторонним многоугольником . Сумма внутренних углов любого триаконтагона составляет 5040 градусов.

Обычный триаконтагон

Регулярно triacontagon является построимо многоугольник , с помощью edge- бисекции регулярного pentadecagon , а также может быть выполнен в виде усеченного pentadecagon , т {15}. Усеченного triacontagon, т {30}, является hexacontagon , {60}.

Один внутренний угол в обычном триаконтагоне составляет 168 градусов, что означает, что один внешний угол будет составлять 12 °. Триаконтагон - это самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого является суммой внутренних углов меньших многоугольников : 168 ° - это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60 °) и правильного пятиугольника (108 °).

Площадь регулярного triacontagon является (с т = длина ребра )

{\ displaystyle A = {\ frac {15} {2}} t ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {30}} = {\ frac {15} {2}} t ^ {2} \ left ({\ sqrt {23 + 10 {\ sqrt {5}} + 2 {\ sqrt {3 (85 + 38 {\ sqrt {5}})}}}} \ right) = {\ frac {15} { 4}} t ^ {2} \ left ({\ sqrt {15}} + 3 {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {25 + 11 {\ sqrt {5}}} }\правильно)}

Inradius регулярного triacontagon является

{\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}} t \ cot {\ frac {\ pi} {30}} = {\ frac {1} {4}} t \ left ({\ sqrt {15} } +3 {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {25 + 11 {\ sqrt {5}}}} \ right)}

Описанной окружности регулярной triacontagon является

{\ displaystyle R = {\ frac {1} {2}} t \ csc {\ frac {\ pi} {30}} = {\ frac {1} {2}} t \ left (2 + {\ sqrt { 5}} + {\ sqrt {15 + 6 {\ sqrt {5}}}} \ right)}

строительство

Обычный триаконтагон с данной описанной окружностью

Поскольку 30 = 2 × 3 × 5, правильный триаконтагон можно построить с помощью циркуля и линейки .

Симметрия

Симметрии правильного треугольника, показанные с помощью цветов на ребрах и вершинах. Линии отражений синие по вершинам и пурпурные по краям. Гирации указаны цифрами в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Симметрии подгрупп соединены цветными линиями, индексами 2, 3 и 5.

Регулярно triacontagon имеет DIH ₃₀ двугранную симметрию , порядка 60, представленную 30 линий отражения. Dih ₃₀ имеет 7 двугранных подгрупп: Dih ₁₅ , (Dih ₁₀ , Dih ₅ ), (Dih ₆ , Dih ₃ ) и (Dih ₂ , Dih ₁ ). Он также имеет еще восемь циклических симметрий в качестве подгрупп: (Z ₃₀ , Z ₁₅ ), (Z ₁₀ , Z ₅ ), (Z ₆ , Z ₃ ) и (Z ₂ , Z ₁ ), где Z _n представляет π / n радианная вращательная симметрия.

Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 обозначает отсутствие симметрии.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять нерегулярные триаконцентры. Только подгруппа g30 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Рассечение

30-угольник с 420 ромбами

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для регулярных triacontagon , м = 15, он может быть разделен на 105: 7 наборов из 15 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции 15-куба Петри .

Примеры

Триаконтаграмма

Триаконтаграмма - это 30-сторонний звездный многоугольник . Есть 3 правильные формы, заданные символами Шлефли {30/7}, {30/11} и {30/13}, и 11 составных звездных фигур с одинаковой конфигурацией вершин .

Соединения и звезды
Форма	Соединения					Звездный многоугольник	Соединение
Рисунок	{30/2} = 2 {15}	{30/3} = 3 {10}	{30/4} = 2 {15/2}	{30/5} = 5 {6}	{30/6} = 6 {5}	{30/7}	{30/8} = 2 {15/4}
Внутренний угол	156 °	144 °	132 °	120 °	108 °	96 °	84 °
Форма	Соединения		Звездный многоугольник	Соединение	Звездный многоугольник	Соединения
Рисунок	{30/9} = 3 {10/3}	{30/10} = 10 {3}	{30/11}	{30/12} = 6 {5/2}	{30/13}	{30/14} = 2 {15/7}	{30/15} = 15 {2}
Внутренний угол	72 °	60 °	48 °	36 °	24 °	12 °	0 °

Существуют также изогональные триаконтаграммы, построенные как более глубокие усечения правильного пятиугольника {15} и пентадекаграммы {15/7}, а также перевернутые пентадекаграммы {15/11} и {15/13}. Другие усечения образуют двойные покрытия: t {15/14} = {30/14} = 2 {15/7}, t {15/8} = {30/8} = 2 {15/4}, t {15 / 4} = {30/4} = 2 {15/4} и t {15/2} = {30/2} = 2 {15}.

Соединения и звезды
Квазирегулярный	Изогональный	Квазирегулярные двойные покрытия
t {15} = {30}		т {15/14} = 2 {15/7}
т {15/7} = {30/7}		т {15/8} = 2 {15/4}
т {15/11} = {30/11}		т {15/4} = 2 {15/2}
т {15/13} = {30/13}		t {15/2} = 2 {15}

Полигоны Петри

Правильный триаконтагон - это многоугольник Петри для трех 8-мерных многогранников с симметрией E ₈ , показанных в ортогональных проекциях на плоскость Кокстера E ₈ . Это также многоугольник Петри для двух 4-мерных многогранников, показанных на плоскости Кокстера H ₄ .