Строительство (математика) - Building (mathematics)

В математике , А здание (также Тица здание , названный в честь Жака Титса ) является комбинаторной и геометрическая структура , которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразия флагов , конечных проективных плоскостей и римановых симметрических пространств . Здания были первоначально введены Жаком Титсом как средство понимания структуры исключительных групп лиева типа . Более специализированная теория зданий Брюа – Титса (названная также в честь Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p-адических групп Ли, аналогичную теории симметрических пространств в теории групп Ли .

Обзор

Понятие здания было изобретено Жаком Титсом как средство описания простых алгебраических групп над произвольным полем . Сиськи показано , как каждой такой группы G можно связать симплициальный комплекс А = А ( G ) с действием из G , называется сферическое здание из G . Группа G накладывает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы Δ, которые могут возникнуть таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы для класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Часть данных, определяющих здание Δ, представляет собой группу Кокстера W , которая определяет высокосимметричный симплициальный комплекс Σ  =  Σ ( W , S ), называемый комплексом Кокстера . Здание Δ склеивается из множества копий Σ, называемых его квартирами , определенным закономерным образом. Когда W - конечная группа Кокстера, комплекс Кокстера является топологической сферой, и соответствующие здания называются сферическими . Когда W - аффинная группа Вейля , комплекс Кокстера является подразделением аффинной плоскости, и говорят об аффинных , или евклидовых , зданиях. Аффинное здание типа - это то же самое, что и бесконечное дерево без конечных вершин.

Хотя теория полупростых алгебраических групп послужила исходной мотивацией для понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрии инцидентности, которые удовлетворяют аксиомам здания, но не могут быть связаны с какой-либо группой. Оказывается, это явление связано с низким рангом соответствующей системы Кокстера (а именно, два). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не меньше трех связаны группой; более того, если здание ранга как минимум два связано с группой, то группа по существу определяется зданием.

Ивахори – Мацумото, Борель – Титс и Брюа – Титс продемонстрировали, что по аналогии с построением Титсом сферических зданий аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальным неархимедовым полем . Более того, если разделенный ранг группы составляет не менее трех, он в основном определяется ее составом. Позже Титс переработал фундаментальные аспекты теории зданий, используя понятие камерной системы , кодируя здание исключительно в терминах свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случаях. Он доказал, что по аналогии со сферическим случаем каждая постройка аффинного типа и ранга не менее четырех возникает из группы.

Определение

П - мерное здание X является абстрактным симплициальным комплекс , который является объединением подкомплексов называется квартирами таким образом, что

  • каждый k -симплекс X находится внутри по крайней мере трех n -симплексов, если k < n ;
  • любой ( n - 1) -симплекс в квартире A лежит ровно в двух соседних n -симплексах A и граф смежных n -симплексов связен;
  • любые два симплекса в X лежат в некоторой общей квартире A ;
  • если два симплекса лежат в квартирах A и A ', то существует симплициальный изоморфизм A на A ', фиксирующий вершины двух симплексов.

П -симплекс в А называется камера (первоначально Chambre , то есть номер в французском ).

Оценка здания определяется как п + 1.

Элементарные свойства

Каждая квартира А в доме представляет собой комплекс Coxeter . Фактически, для каждых двух n -симплексов, пересекающихся в ( n - 1) -симплексе или панели , существует единственный симплициальный автоморфизм периода два для A , называемый отражением , переносящий один n -симплекс на другой и фиксирующий их общие точки. . Эти отражения порождают группу Кокстера W , называемую группой Вейля из А , и симплициальный комплекс А соответствует стандартной геометрической реализации W . Стандартные генераторы группы Коксетера приведены отражениями в стенках неподвижной камеры в A . Так как квартира определяется с точностью до изоморфизма здания, то же самое верно для любых двух симплексов в X , лежащих в некоторой общей квартире А . Когда W конечно, здание называется сферическим . Когда это аффинная группа Вейля , строение называется аффинным или евклидовым .

Система камер - это граф смежности, образованный камерами; каждая пара соседних камер может быть дополнительно помечена одним из стандартных образующих группы Кокстера (см. Титс, 1981 ).

Каждое здание имеет каноническую длину метрику , унаследованную от геометрической реализации , полученного отождествления вершин с ортонормированным из в гильбертовом пространстве . Для аффинных зданий эта метрика удовлетворяет неравенству сравнения Александрова CAT (0) , известному в этом контексте как условие неположительной кривизны Брюа – Титса для геодезических треугольников: расстояние от вершины до середины противоположной стороны не превышает чем расстояние в соответствующем евклидовом треугольнике с такими же длинами сторон (см. Брюа и Титс, 1972 ).

Подключение парами BN

Если группа G действует симплициально на здании X , транзитивно - на парах (C, A) камер C и квартир A, содержащих их, то стабилизаторы такой пары определяют BN-пару или систему Титса . Фактически пара подгрупп

B = G C и N = G A

удовлетворяет аксиомам пары BN и группы Вейля могут быть идентифицированы с N / N B . И наоборот, здание можно восстановить из пары BN, так что каждая пара BN канонически определяет здание. В самом деле, используя терминологию BN пара и вызов любого конъюгата B подгруппу Борель и любой группы , содержащей подгруппу Борель в параболической подгруппу ,

  • вершины здания X соответствуют максимальным параболическим подгруппам;
  • k + 1 вершина образуют k -симплекс, если пересечение соответствующих максимальных параболических подгрупп также является параболическим;
  • квартиры являются парными под G симплициального подкомплекса с вершинами Предоставлено конъюгатов под N максимальных parabolics , содержащих B .

Одно и то же здание часто можно описать разными парами BN. Более того, не каждое здание происходит из пары BN: это соответствует невыполнению классификации результатов по низкому рангу и размеру (см. Ниже).

Сферические и аффинные здания для SL n

Симплициальную структуру аффинных и сферических построек, связанных с SL n ( Q p ), а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя только концепции элементарной алгебры и геометрии (см. Garrett 1997 ). В этом случае есть три разных здания, два сферических и одно аффинное. Каждый из них представляет собой объединение квартир , которые сами по себе являются симплициальными комплексами. Для аффинного дома квартира представляет собой симплициальный комплекс, разбивающий евклидово пространство E n −1 ( n  - 1) -мерными симплексами; в то время как для сферического здания это конечный симплициальный комплекс, состоящий из всех (n-1) ! симплексы с данной общей вершиной в аналогичной тесселяции в E n −2 .

Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс X, который должен удовлетворять следующим аксиомам:

  • X - объединение квартир.
  • Любые два симплекса в X содержатся в общей квартире.
  • Если симплекс содержится в двух квартирах, существует симплициальный изоморфизм одного на другой, фиксирующий все общие точки.

Сферическое здание

Пусть F быть полем , и пусть X симплициальный комплекс с вершинами ненулевые векторных подпространств V  =  F н . Два подпространства U 1 и U 2 связаны, если одно из них является подмножеством другого. В K -simplices из X образованы наборами K + 1 взаимно соединенных подпространств. Максимальная связность получается, если взять n - 1 собственное нетривиальное подпространство, и соответствующий ( n  - 1) -симплекс соответствует полному флагу

(0) U 1 ··· U n - 1 В

Симплексы более низкой размерности соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U i .

Чтобы определить апартаменты в X , удобно определить фрейм в V как базис ( v i ), определенный с точностью до скалярного умножения каждого из его векторов v i ; другими словами, фрейм - это набор одномерных подпространств L i = F · v i таких, что любое k из них порождает k -мерное подпространство. Теперь упорядоченный фрейм L 1 , ..., L n определяет полный флаг через

U i = L 1 ··· L i

Поскольку перестановки L i также дают основу, легко увидеть, что подпространства, полученные как суммы L i , образуют симплициальный комплекс того типа, который требуется для квартиры сферического здания. Аксиомы для здания могут быть легко проверены с помощью классического уточнения Шрайера, используемого для доказательства единственности разложения Жордана – Гёльдера .

Аффинное здание

Пусть K - поле, лежащее между Q и его p-адическим пополнением Q p относительно обычной неархимедовой p-адической нормы || х || p на Q для некоторого простого p . Пусть R - подкольцо в K, определенное формулой

При К = Q , R является локализация из Z на р , и, когда K = Q р , R = Z р , то р-адических чисел , то есть замыкание Z в Q р .

Вершины строительных X являются R -структурах в V = K п , т.е. R - подмодулей вида

L = R · v 1 ··· R · v n

где ( v я ) является основой V над K . Две решетки называются эквивалентными, если одна является скалярным кратным другой элементу мультипликативной группы K * из K (фактически необходимо использовать только целые степени p ). Две решетки L 1 и L 2 называются смежными, если некоторая решетка, эквивалентная L 2, лежит между L 1 и его подрешеткой p · L 1 : это отношение симметрично. К -simplices из X классов эквивалентности к +-взаимно смежные решетки, ( п  - 1) - симплекс соответствует, после того, как перемаркировке, чтобы цепи

p · L n L 1 L 2 ··· L n - 1 L n

где каждое последующее частное имеет порядок p . Квартиры определяются путем фиксации базиса ( v i ) V и взятия всех решеток с базисом ( p a i v i ), где ( a i ) лежит в Z n и определяется однозначно с точностью до добавления одного и того же целого числа к каждой записи.

По определению каждая квартира имеет требуемую форму , а их объединение есть вся X . Вторая аксиома следует из варианта аргумента об уточнении Шрайера. Последняя аксиома следует с помощью простого подсчета, основанного на порядках конечных абелевых групп вида

L + p k · L i / p k · L i .

Стандартное Компактность рассуждение показывает , что X фактически не зависит от выбора K . В частности, взяв K = Q , отсюда следует, что X счетно. С другой стороны, взяв K = Q p , определение показывает, что GL n ( Q p ) допускает естественное симплициальное действие на здание.

Здание оснащено мечением его вершин со значениями в Z / п Z . Действительно, фиксируя опорную решетку L , метка M задается следующим образом:

метка ( M ) = журнал p | М / п к L | по модулю n

для достаточно большого k . Вершины любой ( п - 1) симплекс в X имеют различные метки, проходит через весь Z / п Z . Любой симплициальный автоморфизм φ группы X определяет перестановку π группы Z / n Z такую, что label (φ ( M )) = π (label ( M )). В частности, для g в GL n ( Q p ),

метка ( g · M ) = метка ( M ) + журнал p || det g || p по модулю n .

Таким образом, g сохраняет метки, если g лежит в SL n ( Q p ).

Автоморфизмы

Титс доказал, что любой сохраняющий метку автоморфизм аффинного здания возникает из элемента SL n ( Q p ). Поскольку автоморфизмы здания переставляют метки, существует естественный гомоморфизм

Aut X S n .

Действие GL n ( Q p ) порождает n -цикл  τ . Другие автоморфизмы здания возникают из внешних автоморфизмов из SL п ( Q р ) , связанных с автоморфизмами диаграммы Дынкина . Принимая стандартную симметричную билинейную форму с ортонормированным базисом v i , отображение, отправляющее решетку в ее двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого равен единице, давая перестановку σ, которая отправляет каждую метку на ее отрицательный модуль n . Образ указанного гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен группе диэдра D n порядка 2n ; когда n = 3, он дает S 3 целиком .

Если Е есть конечное расширение Галуа из Q р и здание строится из SL п ( Е ) вместо SL п ( Q р ), то группа Галуа G ( Е / Q р ) также будет действовать автоморфизмами на здании.

Геометрические отношения

Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием X для SL n ( Q p ):

  • Ссылка из каждой вершины L в аффинном потенциале соответствует подмодуляму L / р · L под конечным полем F = R / P · R = Z / ( р ). Это просто сферическое здание для SL n ( F ).
  • Здание X можно компактифицировать , добавив сферическое здание для SL n ( Q p ) в качестве границы «на бесконечности» (см. Garrett 1997 или Brown 1989 ).

Деревья Брюа – Титса с комплексным умножением.

Когда L - архимедово локальное поле, то на здание для группы SL 2 ( L ) может быть наложена дополнительная структура здания с комплексным умножением. Впервые они были представлены Мартином Л. Брауном ( Brown 2004 ). Эти постройки возникают, когда квадратичное расширение L действует на векторное пространство L 2 . Эти постройки со сложным умножением можно распространить на любое глобальное поле. Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой X 0 ( N ), а также на модулярной кривой Дринфельда X 0 Drin ( I ). Эти здания со сложным умножением полностью классифицированы для случая SL 2 ( L ) в Брауне 2004 г.

Классификация

Титс доказал, что все неприводимые сферические здания (т.е. с конечной группой Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами. Аналогичный результат верен для неприводимых аффинных построек размерности больше двух (их здания «на бесконечности» сферические ранга больше двух). Для более низкого ранга или измерения такой классификации нет. Действительно, каждая структура инцидентности дает сферическое здание ранга 2 (см. Pott 1995 ); и Баллманн и Брин доказали, что каждый 2-мерный симплициальный комплекс, в котором связи вершин изоморфны флаговому комплексу конечной проективной плоскости, имеет структуру здания, не обязательно классическую. Многие двумерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических групп отражений или других более экзотических конструкций, связанных с орбифолдами .

Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается BN-парой в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы здания соответствуют автоморфизмам группы (см. Титс 1974 ).

Приложения

Теория зданий имеет важные приложения в нескольких довольно разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со структурой редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представлений . Результаты Титса по определению группы путем ее построения имеют глубокую связь с теоремами о жесткости Джорджа Мостова и Григория Маргулиса , а также с арифметикой Маргулиса .

Специальные типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась очень плодотворной при классификации конечных простых групп . Теория построек более общего типа, чем сферические или аффинные, все еще относительно неразвита, но эти обобщенные здания уже нашли приложения к построению групп Каца – Муди в алгебре, а также к неположительно искривленным многообразиям и гиперболическим группам в топологии и геометрической теории групп .

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки