Пространство последовательности - Sequence space

В функциональном анализе и смежных областях математики , пространство последовательностей является векторным пространством , элементы которого являются бесконечными последовательностями из реальных или комплексных чисел . Эквивалентно, это функциональное пространство , элементы которого являются функциями от натуральных чисел до поля K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всевозможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операцийпоточечное сложение функций и поточечное скалярное умножение. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важные пространства последовательностей в анализе являются л ^р пространством, состоящим из р -Power суммируемых последовательностей, с р -нормом. Это частные случаи L ^p пространств для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c ₀ , с нормой sup . Любая последовательность пространство также может быть оснащено топологией из поточечной сходимости , при котором она становится особым вид пространства Фреше называется FK-пространство .

Определение

Последовательность в наборе является лишь значной картой , значение которой в обозначаются вместо обычных обозначений скобки${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x _ {\ bullet}: \ mathbb {N} \ to X}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle х (п).}$

Пространство всех последовательностей

Позвольте обозначить поле действительных или комплексных чисел. Продукт обозначает множество всех последовательностей скаляров в этом наборе может стать векторным пространством , когда сложение векторов определяются ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$

${\ displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} + \ left (y_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ stackrel { \ rm {def}} {=}} \ left (x_ {n} + y_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

а скалярное умножение определяется как

${\ displaystyle \ alpha \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} \ left (\ alpha x_ {n} \ справа) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}$

Пространство последовательностей любое линейное подпространство из${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$

Как топологическое пространство, естественно наделено топологией произведения . Под этой топологией находится Фреше , что означает, что это полное , метризуемое , локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS). Однако эта топология довольно патологична: на ней нет непрерывных норм (и, следовательно, топология продукта не может быть определена какой-либо нормой ). Среди пространств Фреше минимально отсутствие непрерывных норм: ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Но топология произведения также неизбежна: не допускает строго более грубую хаусдорфову, локально выпуклую топологию. По этой причине изучение последовательностей начинается с поиска интересующего строго линейного подпространства и наделения его топологией, отличной от топологии подпространства . ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

ℓ ^p пробелов

For - подпространство, состоящее из всех последовательностей, удовлетворяющих ${\ Displaystyle 0 <р <\ infty,}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n} | x_ {n} | ^ {p} <\ infty.}$

Если тогда действительная операция, определенная ${\ displaystyle p \ geq 1,}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$

${\ Displaystyle \ | х \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {n} | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$

определяет норму на Фактически, является полным метрическим пространством относительно этой нормы и, следовательно, является банаховым пространством . ${\ displaystyle \ ell ^ {p}.}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

Если then не несет норму, а скорее метрику, определяемую ${\ displaystyle 0 <p <1,}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n} \ left | x_ {n} -y_ {n} \ right | ^ {p}. \,}$

Если тогда определяется как пространство всех ограниченных последовательностей, наделенное нормой ${\ displaystyle p = \ infty,}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle \ | х \ | _ {\ infty} = \ sup _ {n} | x_ {n} |,}$

${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ также является банаховым пространством.

c , c ₀ и c ₀₀

Пространство сходящихся последовательностей c - это пространство последовательностей. Он состоит из всего такого, что существует lim _{n → ∞} x _n . Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена, c является линейным подпространством в . Более того, это замкнутое подпространство по отношению к норме бесконечности, а значит, само по себе банахово пространство. ${\ Displaystyle х _ {\ пуля} \ in \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

Подпространство нулевых последовательностей c ₀ состоит из всех последовательностей, предел которых равен нулю. Это замкнутое подпространство в c , а значит, снова банахово пространство.

Подпространство окончательно нулевых последовательностей c ₀₀ состоит из всех последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не банахово пространство (относительно нормы бесконечности). Например, последовательность, где для первых элементов (для ) и везде (т.е. ) равна нулю, является Коши , но не сходится к последовательности в c ₀₀ . ${\ displaystyle \ left (x_ {nk} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x_ {nk} = 1 / k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle к = 1, \ ldots, п}$${\ displaystyle \ left (x_ {nk} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} = \ left (1,1 / 2, \ ldots, 1 / (n-1), 1 / n, 0 , 0, \ ldots \ right)}$

Пространство всех конечных последовательностей

Позволять

${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty} = \ left \ {\ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right) \ in \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N} }: {\ text {все, кроме конечного числа}} x_ {i} {\ text {equal}} 0 \ right \}}$,

обозначим пространство конечных последовательностей над . Как векторное пространство равно , но имеет другую топологию. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle c_ {00}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$

Для каждого натурального числа , пусть обозначают обычное евклидово пространство , наделенное евклидовой топологией , и пусть обозначим каноническое включение ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}}: \ mathbb {K} ^ {n} \ to \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0, \ ldots \ right)}$.

Изображение каждого включения является

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right) = \ left \ {\ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n) }, 0,0, \ ldots \ right): x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in \ mathbb {K} \ right \} = \ mathbb {K} ^ {n} \ times \ left \ {(0,0, \ ldots) \ right \}}$

и следовательно,

${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n }}\Правильно).}$

Это семейство включений дает в конечную топологию , определяется как лучшие топологии на таким образом, что все включения непрерывны (пример последовательной топологии ). С этой топологией становится полным , хаусдорфовым , локально выпуклым , последовательным , топологическим векторным пространством , которое не является пространством Фреше – Урысона . Топология также строго тоньше , чем топология подпространства , индуцированная на с . ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ тау ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ тау ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Сходимость в имеет естественное описание: если и является последовательностью в, то в тогда и только тогда, когда в конечном итоге содержится в одном изображении и в естественной топологии этого изображения. ${\ Displaystyle \ тау ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v \ in \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$${\ Displaystyle \ тау ^ {\ infty}}$${\ displaystyle v _ {\ bullet}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ displaystyle v _ {\ bullet} \ to v}$

Часто каждое изображение идентифицируется с соответствующим ; явно идентифицируются элементы и . Этому способствует тот факт, что топология подпространства на , фактор-топология из отображения и евклидова топология на всех совпадают. С этой идентификацией, это прямой предел направленной системы, где каждое включение добавляет конечные нули: ${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ in \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0,0,0, \ ldots \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}} \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$${\ displaystyle \ left (\ left (\ mathbb {K} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ right), \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {n} } \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ right)}$${\ displaystyle \ left (\ left (\ mathbb {K} ^ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}, \ left (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ { m} \ to \ mathbb {K} ^ {n}} \ right) _ {m \ leq n \ in \ mathbb {N}}, \ mathbb {N} \ right),}$

${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {K} ^ {m} \ to \ mathbb {K} ^ {n}} \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \ right) = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, 0, \ ldots, 0 \ right)}$.

Это показывает , является LB-пространство . ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {K} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ right)}$

Другие пространства последовательностей

Пространство ограниченных серий , обозначенное bs , - это пространство последовательностей, для которых ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ sup _ {n} \ left \ vert \ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right \ vert <\ infty.}$

Это пространство, когда оно оборудовано нормой

${\ Displaystyle \ | х \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ left \ vert \ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right \ vert,}$

банахово пространство изометрически изоморфно через линейное отображение${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty},}$

${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} x_ {i} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}$

Подпространство cs, состоящее из всех сходящихся рядов, является подпространством, которое переходит в пространство c при этом изоморфизме.

Пространство Φ или определяется как пространство всех бесконечных последовательностей только с конечным числом ненулевых членов (последовательности с конечным носителем ). Это множество плотно во многих пространствах последовательностей. ${\ displaystyle c_ {00}}$

Свойства ℓ ^p пространств и пространства c ₀

Пространство ² - единственное ^p пространство, которое является гильбертовым пространством , поскольку любая норма, индуцированная скалярным произведением, должна удовлетворять закону параллелограмма

${\ displaystyle \ | x + y \ | _ {p} ^ {2} + \ | xy \ | _ {p} ^ {2} = 2 \ | x \ | _ {p} ^ {2} +2 \ | y \ | _ {p} ^ {2}.}$

Подстановка двух различных единичных векторов вместо x и y напрямую показывает, что тождество неверно, если p  = 2.

Каждое ^p различно в том смысле, что ^p является строгим подмножеством ℓ ^s, если p  <  s ; более того, ^p не линейно изоморфно ℓ ^s, когда  p  ≠  s . На самом деле, по теореме Питта ( Pitt 1936 ), каждый линейный ограниченный оператор из ℓ ^s к л ^р является компактным , когда р  <  s . Такой оператор не может быть изоморфизмом; и, кроме того, он не может быть изоморфизмом ни на каком бесконечномерном подпространстве в ℓ ^s и поэтому называется строго сингулярным .

Если 1 <  р  <∞, то (непрерывное) сопряженное пространство из л ^р изометрически изоморфно л ^д , где д является Гельдеровский конъюгатом из р : 1 / р  + 1 / Q  = 1. Конкретный изоморфизм сопоставляет элементу x от ℓ ^q функционал

${\ displaystyle L_ {x} (y) = \ sum _ {n} x_ {n} y_ {n}}$

для y в ℓ ^p . Из неравенства Гёльдера следует, что L _x - линейный ограниченный функционал на ℓ ^p , и на самом деле

${\ displaystyle | L_ {x} (y) | \ leq \ | x \ | _ {q} \, \ | y \ | _ {p}}$

так что норма оператора удовлетворяет

${\ displaystyle \ | L_ {x} \ | _ {(\ ell ^ {p}) ^ {*}} {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} \ sup _ {y \ in \ ell ^ {p}, y \ not = 0} {\ frac {| L_ {x} (y) |} {\ | y \ | _ {p}}} \ leq \ | x \ | _ {q}.}$

Фактически, взяв y за элемент ℓ ^p с

${\ displaystyle y_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ rm {{if} \ x_ {n} = 0}} \\ x_ {n} ^ {- 1} | x_ {n} | ^ { q} & {\ rm {{if} \ x_ {n} \ not = 0}} \ end {case}}}$

дает L _x ( y ) = || х || _q , так что на самом деле

${\ displaystyle \ | L_ {x} \ | _ {(\ ell ^ {p}) ^ {*}} = \ | x \ | _ {q}.}$

Наоборот, для ограниченного линейного функционала L на ^p последовательность, определяемая формулой x _n  = L ( e _n ), лежит в ^q . Таким образом, отображение дает изометрию ${\ Displaystyle х \ mapsto L_ {x}}$

${\ displaystyle \ kappa _ {q}: \ ell ^ {q} \ to (\ ell ^ {p}) ^ {*}.}$

Карта

${\ displaystyle \ ell ^ {q} {\ xrightarrow {\ kappa _ {q}}} (\ ell ^ {p}) ^ {*} {\ xrightarrow {(\ kappa _ {q} ^ {*}) ^ {-1}}}}$

полученный составляя К _р с обратным его транспонированным совпадает с канонической инъекцией в л ^д в его двойном двойном . Как следствие, ℓ ^q - рефлексивное пространство . При превышении обозначений , это характерно для идентификации л ^д с сопряженным л ^р : (ℓ ^р ) ^*  = ℓ ^кв . Тогда под рефлексивностью понимается последовательность отождествлений (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

Пространство c ₀ определяется как пространство всех последовательностей, сходящихся к нулю, с нормой, идентичной || х || _∞ . Это замкнутое подпространство в ℓ ^∞ , следовательно, банахово пространство. Двойной из C ₀ является ℓ ¹ ; двойственное к ¹ есть ^∞ . В случае натуральных чисел множества индексов, то ℓ ^р и с ₀ являются разъемные , с единственным исключением л ^∞ . Двойственное к ^∞ - это ба-пространство .

Пространства c ₀ и ℓ ^p (при 1 ≤ p  <∞) имеют канонический безусловный базис Шаудера { e _i  | i  = 1, 2, ...}, где e _i - это последовательность, которая равна нулю, но для 1 в i- ^й записи.

Пространство ℓ ¹ обладает свойством Шура : в ¹ любая слабо сходящаяся последовательность также сильно сходится ( Schur 1921 ). Однако, поскольку слабая топология на бесконечномерных пространствах строго слабее, чем сильная топология , в ℓ ¹ есть сети , которые сходятся слабо, но не сходятся сильно.

Пространства ℓ ^p можно вложить во многие банаховы пространства . Вопрос о том, содержит ли каждый бесконечномерным банахово пространство в isomorph некоторого л ^р и о с ₀ , ответили отрицательно BS Цирельсоном строительства «s из Цирельсоном пространства в 1974 г. двойственное утверждение, что каждое сепарабельное банахово пространство линейно изометрично фактор - пространство из л ¹ , ответило утвердительно Банах и Мазур (1933) . То есть для каждого сепарабельного банахова пространства X существует фактор-отображение , так что X изоморфно . Вообще говоря, ker Q не дополняется в ¹ , то есть не существует подпространства Y в ¹ такого, что . Фактически, ¹ имеет несчетное количество незавершенных подпространств, которые не изоморфны друг другу (например, возьмем ; поскольку существует несчетное количество таких X и поскольку никакое ^p не изоморфно любому другому, то существует несчетное количество ker Q ). ${\ displaystyle Q: \ ell ^ {1} \ to X}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1} / \ ker Q}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1} = Y \ oplus \ ker Q}$${\ Displaystyle X = \ ell ^ {p}}$

За исключением тривиального конечномерного случая, необычной особенностью ℓ ^p является то, что он не является полиномиально рефлексивным .

ℓ ^p пространства растут по p

При пространства возрастают по , причем оператор включения непрерывен: при , один имеет . ${\ Displaystyle р \ в [1, \ infty]}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle 1 \ Leq р <д \ Leq \ infty}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {д} \ Leq \ | е \ | _ {р}}$

Это следует из определения для и отметки этого для всех , что, как можно показать, подразумевает . ${\ Displaystyle F: = {\ гидроразрыва {f} {\ | f \ | _ {p}}}}$${\ displaystyle f \ in \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle | F (м) | \ leq 1}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ | F \ | _ {q} ^ {q} \ leq 1}$

Свойства ℓ ¹ пространств

Последовательность элементов из ¹ сходится в пространстве комплексных последовательностей ¹ тогда и только тогда, когда она сходится слабо в этом пространстве. Если K является подмножеством этого пространства, то следующие утверждения эквивалентны:

1. K компактный;
2. K слабо компактный;
3. K ограничен, замкнут и равнодоступен на бесконечности.

Здесь K , равносильный на бесконечности, означает, что для каждого существует такое натуральное число , что для всех . ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle п _ {\ epsilon} \ geq 0}$${\ textstyle \ sum _ {n = n _ {\ epsilon}} ^ {\ infty} | s_ {n} | <\ epsilon}$${\ displaystyle s = \ left (s_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} \ in K}$

Смотрите также

• L ^p пространство
• Пространство Цирельсона
• бета-дуальное пространство
• Пространство последовательности Орлича

использованная литература

Библиография

• Банах, Стефан; Мазур, С. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100–112.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Pitt, HR (1936), «Заметка о билинейных формах», J. London Math. Soc. , 11 (3): 174-180, DOI : 10.1112 / jlms / s1-11.3.174.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79–111, doi : 10.1515 / crll.1921.151.79.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .