Скалярное умножение - Scalar multiplication

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.

Скалярные умножения - и 2 вектора а

В математике , скалярное умножение является одним из основных операций , определяющих векторное пространство в линейной алгебре (или более общо, модуль в абстрактной алгебре ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение реального евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Сам термин « скаляр » происходит от этого использования: скаляр - это то, что масштабирует векторы. Скалярное умножение - это умножение вектора на скаляр (где произведение - вектор), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение - скаляр).

Определение

В общем, если К является полем , а V представляет собой векторное пространство над К , то скалярное умножение является функцией от K × V в V . Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v .

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

Аддитивность в скаляре: ( c + d ) v = c v + d v ;
Аддитивность в векторе: c ( v + w ) = c v + c w ;
Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: ( cd ) v = c ( d v );
Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v = v ;
Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v = 0 ;
Умножение на −1 дает аддитивное обратное : (−1) v = - v .

Здесь + - это сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от ситуации; и 0 - аддитивная идентичность в любом из них. Сопоставление указывает либо скалярное умножение, либо операцию умножения в поле.

Интерпретация

Скалярное умножение можно рассматривать как внешнюю бинарную операцию или как действие поля в векторном пространстве. Геометрическая интерпретация скалярного умножения является то , что она простирается, или сжимается, векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины.

В качестве особого случая, V может быть взято как само K , а скалярное умножение может быть принято как просто умножение в поле.

Когда V равно K ⁿ , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Же идея применяется , если К является коммутативным кольцом , а V представляет собой модуль над K . K может быть даже оснасткой , но тогда не существует аддитивной инверсии. Если K не коммутативен , могут быть определены различные операции левостороннего скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c .

Скалярное умножение матриц

Оставил скалярное умножение матричного $А$ со скалярным $Х$ дает другую матрицу того же размера, что и $А$ . Он обозначается $λ A$ , элементы $λ A которого$ определяются как

{\ displaystyle (\ lambda \ mathbf {A}) _ {ij} = \ lambda \ left (\ mathbf {A} \ right) _ {ij} \ ,,}

явно:

{\ displaystyle \ lambda \ mathbf {A} = \ lambda {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots & A_ {1m} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots & A_ {2m } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ cdots & A_ {nm} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ lambda A_ { 11} & \ lambda A_ {12} & \ cdots & \ lambda A_ {1m} \\\ lambda A_ {21} & \ lambda A_ {22} & \ cdots & \ lambda A_ {2m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ lambda A_ {n1} & \ lambda A_ {n2} & \ cdots & \ lambda A_ {nm} \\\ end {pmatrix}} \ ,.}

Аналогично, правое скалярное умножение матрицы $A$ на скаляр $λ$ определяется как

{\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ lambda) _ {ij} = \ left (\ mathbf {A} \ right) _ {ij} \ lambda \ ,,}

явно:

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ lambda = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots & A_ {1m} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots & A_ {2m} \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ cdots & A_ {nm} \\\ end {pmatrix}} \ lambda = {\ begin {pmatrix} A_ {11} \ lambda & A_ {12} \ lambda & \ cdots & A_ {1m} \ lambda \\ A_ {21} \ lambda & A_ {22} \ lambda & \ cdots & A_ {2m} \ lambda \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} \ lambda & A_ {n2} \ lambda & \ cdots & A_ {nm} \ lambda \\\ end {pmatrix}} \ ,.}

Когда основное кольцо является коммутативным , например, в режиме реальное или комплексное число , поле , эти два умножений являются одинаковыми, и называются просто скалярным умножением . Однако для матриц более общего кольца , которые не являются коммутативными, таких как кватернионы , они могут не быть равными.

Для действительного скаляра и матрицы: