Топология подпространства - Subspace topology

В топологии и смежных областях математики , А подпространство из топологического пространства X является подмножество S из X , который оснащен топологией , индуцированной из , что из X называется топология подпространства (или относительная топология , или индуцированная топология , или след топология ).

Определение

Учитывая топологическое пространство и подмножество из , то топология подпространства на определяется ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ tau _ {S} = \ lbrace S \ cap U \ mid U \ in \ tau \ rbrace.}$

То есть, подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда , когда оно является пересечением из с открытым множеством в . Если оборудовано с топологией подпространства , то это топологическое пространство , в своем собственном праве, и называется подпространство в . Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств снабжены топологией подпространств, если не указано иное. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

В качестве альтернативы можно определить топологию подпространства для подмножества в качестве топологии грубом , для которых включение карты${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ iota: S \ hookrightarrow X}$

является непрерывным .

В более общем смысле, предположим, что это инъекция из набора в топологическое пространство . Тогда топология подпространства на определяется как грубейшая топология, для которой непрерывна. Открытые множества в этой топологии являются именно те видом для открытых ин . тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением . ${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ iota ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ iota}$

Подпространство называется открытым подпространством, если инъекция является открытой картой , т. Е. Если прямое изображение открытого набора открыто в . Точно так же оно называется замкнутым подпространством, если инъекция является замкнутым отображением . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ iota}$

Терминология

Различие между множеством и топологическим пространством часто размывается для удобства обозначений, что может стать источником путаницы, когда кто-то впервые сталкивается с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда является подмножеством топологического пространства и является топологическим пространством, неприкрашенные символы « » и « » могут часто использоваться для обозначения и рассмотрения как двух подмножеств , а также и как топологических пространств, связанных, как обсуждалось выше. Таким образом, такие фразы, как « открытое подпространство из », используются для обозначения того, что это открытое подпространство в смысле, используемом ниже; то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (S, \ тау _ {S})}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (S, \ тау _ {S})}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ Displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$

Примеры

Ниже представлены действительные числа с их обычной топологией. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство , является дискретной топологией .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• В рациональные числа , рассматриваемые как подпространства не имеют дискретную топологию ({0}, например, не является открытым множеством в ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и замкнуты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b одновременно открытые и закрытые.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Множество [0,1] как подпространство одновременно открыто и закрыто, тогда как как его подмножество только закрыто.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Как подпространство [0, 1] ∪ [2, 3] составлено из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Пусть S = [0, 1) - подпространство вещественной прямой . Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыто в S, но не в . Аналогично [ 1 ⁄ 2 , 1) закрывается в S, но не в . S является одновременно открытым и закрытым как подмножество самого себя, но не как подмножество .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Характеристики

Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Позвольте быть подпространством и позвольте быть отображением включения. Тогда для любого топологического пространства карта непрерывна тогда и только тогда, когда составная карта непрерывна. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: от Y \ до X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f: Z \ to Y}$${\ displaystyle i \ circ f}$

Это свойство характерно в том смысле, что его можно использовать для определения топологии подпространства на . ${\ displaystyle Y}$

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространств. В дальнейшем пусть будет подпространством . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

• Если непрерывно, то ограничение на непрерывно.${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle S}$
• Если непрерывно, то непрерывно.${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f: X \ к f (X)}$
• Замкнутые множества в - это в точности пересечения с замкнутыми множествами в .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Если является подпространством, то также является подпространством с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, от которой наследуется, такая же, как и топология, от которой наследуется .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Предположим, что это открытое подпространство в (так ). Тогда подмножество открыто в том и только в том случае, если оно открыто в .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Предположим, что это замкнутое подпространство в (so ). Тогда подмножество замкнуто в том и только в том случае, если оно замкнуто в .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ setminus S \ in \ tau}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Если это базис для затем является основой для .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle B_ {S} = \ {U \ cap S: U \ in B \}}$${\ displaystyle S}$
• Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства ограничением метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.

Сохранение топологических свойств

Если топологическое пространство, обладающее некоторым топологическим свойством, подразумевает, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны обладать этим свойством, мы называем его слабо наследственным .

• Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
• Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
• Каждое замкнутое подпространство компакта компактно.
• Быть пространством Хаусдорфа наследственно.
• Будучи нормальным пространством слабо наследственным.
• Тотальная ограниченность наследственна.
• Будучи полностью отсоединен является наследственным.
• Первая и вторая счетность наследственные.

Смотрите также

• двойственное понятие факторпространства
• топология продукта
• топология прямой суммы

использованная литература

• Бурбаки, Николас, Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966)
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004) ISBN  0-486-43479-6