Двойное пространство - Dual space

В математике любое векторное пространство имеет соответствующее двойственное векторное пространство (или просто двойное пространство для краткости), состоящее из всех линейных форм на , вместе со структурой векторного пространства точечного сложения и скалярного умножения на константы. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Двойственное пространство, как определено выше, определено для всех векторных пространств, и во избежание двусмысленности его также можно назвать алгебраическим двойственным пространством . При определении для топологического векторного пространства существует подпространство двойственного пространства, соответствующее непрерывным линейным функционалам, называемое непрерывным двойственным пространством .

Двойные векторные пространства находят применение во многих областях математики, использующих векторные пространства, например, в тензорном анализе с конечномерными векторными пространствами. Применительно к векторным пространствам функций (которые обычно бесконечномерны) двойственные пространства используются для описания мер , распределений и гильбертовых пространств . Следовательно, двойственное пространство - важное понятие в функциональном анализе .

Ранние термины для двойственного включают полярный Raum [Hahn 1927], espace contugué , присоединенное пространство [Alaoglu 1940] и транспониртер Raum [Schauder 1930] и [Banach 1932]. Термин дуальный появился у Бурбаки 1938 года.

Алгебраическое двойственное пространство

Учитывая любое векторное пространство над полем , то (алгебраические) сопряженное пространство (альтернативно обозначается или ) определяется как множество всех линейных отображений ( линейных функционалов ). Поскольку линейные отображения являются гомоморфизмами векторных пространств , двойственное пространство может быть обозначено . Двойственное пространство само становится векторным пространством, когда оно оснащено сложением и скалярным умножением, удовлетворяющим: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle V ^ {\ lor}}$${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ to F}$${\ Displaystyle \ hom (V, F)}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} (\ varphi + \ psi) (x) & = \ varphi (x) + \ psi (x) \\ (a \ varphi) (x) & = a \ left (\ varphi (х) \ право) \ конец {выровнено}}}$

для всех , и . ${\ displaystyle \ varphi, \ psi \ in V ^ {*}}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle a \ in F}$

Элементы алгебраической сопряженного пространства иногда называют ковекторы или один-форм . ${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Спаривание функционала в сопряженном пространстве и элемент из иногда обозначается скобкой: или . Это спаривание определяет невырожденное билинейное отображение, называемое естественным спариванием . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ varphi (х) = [х, \ varphi]}$${\ displaystyle \ varphi (x) = \ langle x, \ varphi \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: V ^ {*} \ раз от V \ до F}$

Конечномерный случай

Если V конечномерно, то V ^* имеет ту же размерность, V . Имея базис { e ₁ , ..., e _n } в V , можно построить особый базис в V ^∗ , называемый дуальным базисом . Этот двойственный базис представляет собой набор { e ¹ , ..., e ⁿ } линейных функционалов на V , определяемых соотношением

${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} (c_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}) = c_ {i}, \ quad i = 1, \ ldots, n}$

при любом выборе коэффициентов гр _я ∈ F . В частности, если, в свою очередь, позволить каждому из этих коэффициентов равняться единице, а другим - нулю, получаем систему уравнений

${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i}}$

где - символ Кронекера . Это свойство называется свойством биортогональности . ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$

Например, если V является R ² , пусть его базис быть выбран в качестве { е ₁ = (1/2, 1/2), е ₂ = (0, 1)} . Базисные векторы не ортогональны друг другу. Тогда e ¹ и e ² являются одноформными (функциями, которые отображают вектор в скаляр) такими, что e ¹ ( e ₁ ) = 1 , e ¹ ( e ₂ ) = 0 , e ² ( e ₁ ) = 0 , и e ² ( e ₂ ) = 1 . (Примечание: верхний индекс здесь - это индекс, а не показатель степени.) Эта система уравнений может быть выражена с использованием матричной записи как

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} e_ {11} & e_ {12} \\ e_ {21} & e_ {22} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} e ^ {11} & e ^ {21} \ \ e ^ {12} & e ^ {22} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Решение этого уравнения показывает, что двойственный базис равен { e ¹ = (2, 0), e ² = (−1, 1)} . Поскольку e ¹ и e ² являются функционалами, их можно переписать как e ¹ ( x , y ) = 2 x и e ² ( x , y ) = - x + y . В общем, когда V является R ⁿ , если E = ( e ₁ , ..., e _n ) - это матрица, столбцы которой являются базисными векторами, а Ê = ( e ¹ , ..., e ⁿ ) - это матрица, столбцы - это двойственные базисные векторы, тогда

${\ displaystyle E ^ {T} {\ hat {E}} = I_ {n},}$

где I _n - единичная матрица порядка n . Свойство биортогональности этих двух базисных наборов позволяет любую точку x ∈ V представить в виде

${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {e} ^ {i} \ rangle \ mathbf {e} _ {i} = \ sum _ {i} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {e} _ {i} \ rangle \ mathbf {e} ^ {i},}$

даже если базисные векторы не ортогональны друг другу. Строго говоря, приведенное выше утверждение имеет смысл только после того , как введены скалярное произведение и соответствующее спаривание двойственности, как описано ниже в § Билинейные произведения и двойственные пространства . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

В частности, R ⁿ можно интерпретировать как пространство столбцов из n действительных чисел , его двойственное пространство обычно записывается как пространство строк из n действительных чисел. Такая строка действует на R ⁿ как линейный функционал путем обычного умножения матриц . Это потому, что функционал отображает каждый n -вектор x в действительное число y . Затем, рассматривая этот функционал как матрицу M , а x , y как матрицу размера n  ×  1 и матрицу 1  ×  1 (тривиально, действительное число) соответственно, если Mx = y, то по причинам размерности M должно быть 1  Матрица ×  n ; то есть M должен быть вектор-строкой.

Если V состоит из пространства геометрических векторов на плоскости, то кривые уровня элемента V ^∗ образуют семейство параллельных прямых в V , потому что диапазон является одномерным, так что каждая точка в диапазоне является кратным любого ненулевого элемента. Таким образом, элемент V ^∗ можно интуитивно представить как конкретное семейство параллельных прямых, покрывающих плоскость. Чтобы вычислить значение функционала на заданном векторе, достаточно определить, на какой из линий лежит этот вектор. Неформально это «подсчитывает», сколько линий пересекает вектор. В более общем смысле, если V - векторное пространство любой размерности, то множества уровня линейного функционала в V ^∗ являются параллельными гиперплоскостями в V , и действие линейного функционала на вектор может быть визуализировано в терминах этих гиперплоскостей.

Бесконечномерный случай

Если V не конечномерно, но имеет базис e _α, индексированный бесконечным множеством A , то та же конструкция, что и в конечномерном случае, дает линейно независимые элементы e ^α ( α ∈ A ) двойственного пространства, но они будут не составляют основу.

Например, пространство R ^∞ , элементами которого являются те последовательности действительных чисел, которые содержат только конечное число ненулевых элементов, которое имеет базис, индексированный натуральными числами N : для i ∈ N , e _i - это последовательность, состоящая из всех нули, кроме i-й позиции, которая равна 1 . Двойственное пространство R ^∞ (изоморфно) R ^N , пространству всех последовательностей действительных чисел: каждая действительная последовательность ( a _n ) определяет функцию, в которой элемент ( x _n ) из R ^∞ отправляется на число

${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} x_ {n},}$

что является конечной суммой, потому что ненулевых x _n только конечное число . Размерность из R ^∞ счетно бесконечно, в то время как R ^N не имеет счетный базис.

Это наблюдение обобщается на любое бесконечномерное векторное пространство V над любым полем F : выбор базиса { e _α  : α ∈ A } отождествляет V с пространством ( F ^A ) ₀ функций f  : A → F таких, что f _α = f ( α ) отлична от нуля только для конечного числа α ∈ A , где такая функция f отождествляется с вектором

${\ Displaystyle \ сумма _ {\ альфа \ в А} е _ {\ альфа} \ mathbf {е} _ {\ альфа}}$

в V (сумма конечна по предположению о f , и любой v ∈ V может быть записан таким образом по определению базиса).

Двойное пространство V затем может быть идентифицировано с пространством Р ^А из всех функций от А до F : линейный функционал Т на V однозначно определяется значениями & thetas ; _{& alpha} ; = Т ( е _{& alpha} ; ) она принимает на основе V , и любая функция θ  : A → F (с θ ( α ) = θ _α ) определяет линейный функционал T на V формулой

${\ displaystyle T \ left (\ sum _ {\ alpha \ in A} f _ {\ alpha} \ mathbf {e} _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {\ alpha \ in A} f _ {\ alpha } T (e _ {\ alpha}) = \ sum _ {\ alpha \ in A} f _ {\ alpha} \ theta _ {\ alpha}.}$

Снова сумма конечна, потому что f _α отлична от нуля только для конечного числа α .

Множество ( F ^A ) ₀ можно отождествить (по существу по определению) с прямой суммой бесконечного числа копий F (рассматриваемого как 1-мерное векторное пространство над собой), индексированных A , т. Е. Существуют линейные изоморфизмы

${\ Displaystyle V \ cong (F ^ {A}) _ {0} \ cong \ bigoplus _ {\ alpha \ in A} F.}$

С другой стороны, F ^A (опять же по определению) является прямым произведением бесконечного числа копий F, индексированных A , и поэтому идентификация

${\ Displaystyle V ^ {*} \ cong \ left (\ bigoplus _ {\ alpha \ in A} F \ right) ^ {*} \ cong \ prod _ {\ alpha \ in A} F ^ {*} \ cong \ prod _ {\ alpha \ in A} F \ cong F ^ {A}}$

является частным случаем общего результата, связывающего прямые суммы (модулей) с прямыми произведениями.

Рассматривая кардинальные числа , обозначаемые здесь как абсолютные значения , мы имеем, таким образом, для F- векторного пространства V , имеющего бесконечный базис A

${\ Displaystyle | V | = \ max (| F |, | A |) <| V ^ {\ ast} | = | F | ^ {| A |}.}$

Отсюда следует, что, если векторное пространство не конечномерно, то выбранная аксиома подразумевает, что алгебраическое сопряженное пространство всегда имеет большую размерность (как кардинальное число), чем исходное векторное пространство (поскольку, если два базиса имеют одинаковые мощность, остовные векторные пространства имеют одинаковую мощность). Это контрастирует со случаем непрерывного двойственного пространства, обсуждаемого ниже, которое может быть изоморфным исходному векторному пространству, даже если последнее является бесконечномерным.

Билинейные произведения и двойственные пространства

Если V конечномерно, то V изоморфно V ^∗ . Но в общем случае между этими двумя пространствами нет естественного изоморфизма . Любая билинейная форма ⟨·, · на V задает отображение V в двойственное ему пространство с помощью

${\ Displaystyle v \ mapsto \ langle v, \ cdot \ rangle}$

где правая часть определяется как функционал на V принимает каждый ш ∈ V к ⟨ V , ш ⟩ . Другими словами, билинейная форма определяет линейное отображение

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}: от V \ до V ^ {*}}$

определяется

${\ displaystyle \ left [\ Phi _ {\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle} (v), w \ right] = \ langle v, w \ rangle.}$

Если билинейная форма невырождена , то это изоморфизм на подпространство в V ^∗ . Если V конечномерно, то это изоморфизм на все V ^∗ . С другой стороны , любой изоморфизм из V на подпространство V ^* (соотв., Все из V ^* , если V конечномерно) определяет единственную невырожденную билинейную форму на V с помощью ${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {\ Phi}}$

${\ Displaystyle \ langle v, вес \ rangle _ {\ Phi} = (\ Phi (v)) (w) = [\ Phi (v), w]. \,}$

Таким образом , существует взаимно однозначное соответствие одному между изоморфизмам V на подпространство (соотв., Все) V ^* и невырожденных билинейных форм на V .

Если векторное пространство V находится над комплексным полем, то иногда более естественно рассматривать полуторалинейные формы вместо билинейных. В этом случае данная полуторалинейная форма ⟨·, · определяет изоморфизм V с комплексно сопряженным двойственным пространством

${\ displaystyle \ Phi _ {\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}: V \ to {\ overline {V ^ {*}}}.}$

Сопряженное пространство V ^∗ можно отождествить с множеством всех аддитивных комплекснозначных функционалов f  : V → C таких, что

${\ displaystyle f (\ alpha v) = {\ overline {\ alpha}} f (v).}$

Инъекция в дабл-дуал

Существует естественный гомоморфизм из двойного двойственного , определяемый для всех . Другими словами, если оценочная карта определена , то определяется как карта . Эта карта всегда инъективна ; это изоморфизм тогда и только тогда, когда он конечномерен. Действительно, изоморфизм конечномерного векторного пространства с его двойным двойным является архетипическим примером естественного изоморфизма . Бесконечномерные гильбертовые пространства не являются контрпримером к этому, поскольку они изоморфны своим непрерывным двойным двойникам, а не своим алгебраическим двойным двойникам. ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {**} = \ {\ Phi: V ^ {*} \ to F: \ Phi \ \ mathrm {linear} \}}$${\ Displaystyle (\ Psi (v)) (\ varphi) = \ varphi (v)}$${\ displaystyle v \ in V, \ varphi \ in V ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathrm {ev} _ {v}: V ^ {*} \ to F}$${\ Displaystyle \ varphi \ mapsto \ varphi (v)}$${\ displaystyle \ Psi: V \ to V ^ {**}}$${\ Displaystyle v \ mapsto \ mathrm {ev} _ {v}}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle V}$

Транспонировать линейную карту

Если f  : V → W - линейное отображение , то транспонированная (или двойственная ) f ^∗  : W ^∗ → V ^∗ определяется формулой

${\ Displaystyle е ^ {*} (\ varphi) = \ varphi \ circ f \,}$

для каждого . Результате функционала в называется откат из вместе . ${\ displaystyle \ varphi \ in W ^ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*} (\ varphi)}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle f}$

Для всех и справедливо следующее тождество : ${\ displaystyle \ varphi \ in W ^ {*}}$${\ displaystyle v \ in V}$

${\ Displaystyle [е ^ {*} (\ varphi), \, v] = [\ varphi, \, f (v)],}$

где скобка [·, ·] слева является естественным спариванием V с его двойственным пространством, а скобка справа - естественным спариванием W с его двойственным пространством . Это тождество характеризует транспонирование и формально аналогично определению сопряженного .

Назначение f ↦ f ^∗ дает инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов из V в W и пространством линейных операторов из W ^∗ в V ^∗ ; этот гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда W конечномерно. Если V = W, то пространство линейных отображений на самом деле является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присвоение является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что ( fg ) ^∗ = g ^∗ f ^∗ . Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторных пространств и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств над F в себя. Можно отождествить ( f ^∗ ) ^∗ с f, используя естественную инъекцию в двойное двойственное.

Если линейное отображение f представлено матрицей A относительно двух базисов V и W , то f ^∗ будет представлено транспонированной матрицей A ^T относительно двойственных базисов W ^∗ и V ^∗ , отсюда и название. В качестве альтернативы, поскольку f представлен как A, действующим слева на векторах-столбцах, f ^∗ представлен той же самой матрицей, действующей справа на векторах-строках. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением на R ⁿ , которое идентифицирует пространство векторов-столбцов с двойным пространством векторов-строк.

Факторпространства и аннигиляторы

Пусть S подмножество V . Аннуляторный из S в V ^* , обозначается здесь S ⁰ , представляет собой набор линейных функционалов F ∈ V ^* такие , что [ е , ев ] = 0 для всех s ∈ S . То есть S ⁰ состоит из всех линейных функционалов f  : V → F таких, что ограничение на S обращается в нуль: f | _S = 0 . В конечномерных векторных пространствах аннигилятор двойственен (изоморфен) ортогональному дополнению .

Аннигилятор подмножества сам является векторным пространством. Аннулятор нулевого вектора все сопряженное пространство: и аннуляторное всего пространство только нулевой ковекторный: . Кроме того, назначение аннулятора подмножеству V обращает включения, так что если S ⊆ T ⊆ V , то ${\ Displaystyle \ {0 \} ^ {0} = V ^ {*}}$${\ Displaystyle V ^ {0} = \ {0 \} \ substeq V ^ {*}}$

${\ displaystyle 0 \ substeq T ^ {0} \ substeq S ^ {0} \ substeq V ^ {*}.}$

Если A и B - два подмножества V, то

${\ displaystyle (A \ cap B) ^ {0} \ supseteq A ^ {0} + B ^ {0},}$

и равенство выполняется, если V конечномерно. Если A _i - любое семейство подмножеств V, проиндексированных i, принадлежащих некоторому набору индексов I , то

${\ displaystyle \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) ^ {0} = \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} ^ {0}.}$

В частности, если A и B подпространства в V, то

${\ displaystyle (A + B) ^ {0} = A ^ {0} \ cap B ^ {0}.}$

Если V конечномерно и W - векторное подпространство , то

${\ displaystyle W ^ {00} = W}$

после отождествления W с его образом во втором сопряженном пространстве при изоморфизме двойной двойственности V ≈ V ^∗∗ . В частности, аннулятор образует связность Галуа на решетке подмножеств конечномерного векторного пространства.

Если W является подпространством в V, то фактор-пространство V / W является самостоятельным векторным пространством и, следовательно, имеет двойственное. К первой теореме изоморфизма , функционал F  : V → F пропускается через V / W тогда и только тогда , когда W находится в ядре из F . Таким образом, существует изоморфизм

${\ displaystyle (V / W) ^ {*} \ cong W ^ {0}.}$

Как частное следствие, если V является прямой суммой двух подпространств A и B , то V ^∗ является прямой суммой A ⁰ и B ⁰ .

Непрерывное двойное пространство

При работе с топологических векторных пространств , то непрерывные линейные функционалы из пространства в базовом поле (или ) имеют особенно важное значение. Это дает начало понятию «непрерывного двойственного пространства» или «топологического двойственного», которое является линейным подпространством алгебраического двойственного пространства , обозначаемого . Для любого конечномерного нормированного векторного пространства или топологического векторного пространства, такого как евклидово n- пространство , непрерывное двойственное и алгебраическое двойственное совпадают. Однако это неверно для любого бесконечномерного нормированного пространства, как показано на примере разрывных линейных отображений . Тем не менее, в теории топологических векторных пространств термины «непрерывное двойственное пространство» и «топологическое двойственное пространство» часто заменяются на «двойственное пространство». ${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V '}$

Для топологического векторного пространства его непрерывное двойственное пространство , или топологическое двойственное пространство , или просто двойственное пространство (в смысле теории топологических векторных пространств) определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle \ varphi: V \ to {\ mathbb {F}}}$

Характеристики

Если Х представляет собой Хаусдорфова топологическое векторное пространство (ТВС), то непрерывное двойственное пространство X совпадает с непрерывным двойным пространством завершения из X .

Топологии на двойном

Существует стандартная конструкция для введения топологии на непрерывном двойственном топологическом векторном пространстве . Зафиксируйте коллекцию из ограниченных подмножеств из . Это дает топологию равномерной сходимости на множествах из или, что то же самое, топологии, порожденной полунормами вида ${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$

${\ Displaystyle \ | \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {x \ in A} | \ varphi (x) |,}$

где - линейный непрерывный функционал на , пробегает класс${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

Это означает, что сеть функционалов стремится к функционалу в том и только в том случае, если ${\ displaystyle \ varphi _ {я}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle V '}$

${\ displaystyle {\ text {для всех}} A \ in {\ mathcal {A}} \ qquad \ | \ varphi _ {i} - \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {x \ in A} | \ varphi _ {i} (x) - \ varphi (x) | {\ underset {i \ to \ infty} {\ longrightarrow}} 0.}$

Обычно (но не обязательно) класс должен удовлетворять следующим условиям: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

• Каждая точка из принадлежит некоторому множеству :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ text {для всех}} x \ in V \ quad {\ text {существует несколько}} A \ in {\ mathcal {A}} \ quad {\ text {такое, что}} x \ in A .}$

• Каждые два набора и содержатся в некотором наборе :${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ text {для всех}} A, B \ in {\ mathcal {A}} \ quad {\ text {там есть некоторые}} C \ in {\ mathcal {A}} \ quad {\ text { такие, что}} A \ cup B \ substeq C.}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ замкнут относительно операции умножения на скаляры:

${\ displaystyle {\ text {для всех}} A \ in {\ mathcal {A}} \ quad {\ text {and all}} \ lambda \ in {\ mathbb {F}} \ quad {\ text {такой, что }} \ lambda \ cdot A \ in {\ mathcal {A}}.}$

Если эти требования выполнены, то соответствующая топология на является хаусдорфовой и множества ${\ displaystyle V '}$

${\ Displaystyle U_ {A} ~ = ~ \ left \ {\ varphi \ in V '~: ~ \ quad \ | \ varphi \ | _ {A} <1 \ right \}, \ qquad {\ text {for} } А \ in {\ mathcal {A}}}$

формируют его местную базу.

Вот три наиболее важных частных случая.

• Сильная топология на это топология равномерной сходимости на ограниченных подмножеств в (так что здесь можно выбрать как класс всех ограниченных подмножеств ).${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle V}$

Если - нормированное векторное пространство (например, банахово или гильбертово пространство ), то сильная топология на нормирована (на самом деле банахово пространство, если поле скаляров полно) с нормой ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V '}$

${\ Displaystyle \ | \ varphi \ | = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} | \ varphi (x) |.}$

• Топология стереотипа на это топология равномерной сходимости на вполне ограниченных множеств в (так что здесь можно выбрать как класс всех вполне ограниченных подмножеств ).${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle V}$
• Слабая топология на это топология равномерной сходимости на конечных подмножеств (так здесь можно выбрать как класс всех конечных подмножеств ).${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle V}$

Каждый из этих трех вариантов топологии приводит к варианту свойства рефлексивности для топологических векторных пространств: ${\ displaystyle V '}$

• Если наделен сильной топологией , то соответствующее понятие рефлексивности является стандартным: рефлексивные в этом смысле пространства просто называются рефлексивными .${\ displaystyle V '}$
• Если наделен стереотипной дуальной топологией, то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории стереотипных пространств : рефлексивные в этом смысле пространства называются стереотипными .${\ displaystyle V '}$
• Если наделен слабой топологией , то соответствующая рефлексивность представлена ​​в теории двойственных пар : рефлексивные в этом смысле пространства являются произвольными (хаусдорфовыми) локально выпуклыми пространствами со слабой топологией.${\ displaystyle V '}$

Примеры

Пусть 1 < p <∞ - действительное число, и рассмотрим банахово пространство ℓ ^p всех последовательностей a = ( a _n ), для которых

${\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} <\ infty.}$

Определим число q как 1 / p + 1 / q = 1 . Тогда непрерывная сопряженное л ^р естественно отождествляется с л ^д : задан элемент , соответствующий элемент л ^д представляет собой последовательность , где обозначает последовательность, н -й член 1 , а все остальные равны нулю. Наоборот, для элемента a = ( a _n ) ∈ ℓ ^q соответствующий непрерывный линейный функционал на ℓ ^p определяется формулой ${\ Displaystyle \ varphi \ in (\ ell ^ {p}) '}$${\ Displaystyle (\ varphi ({\ mathbf {e}} _ {п}))}$${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {n}}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {b}) = \ sum _ {n} a_ {n} b_ {n}}$

для всех b = ( b _n ) ∈ ℓ ^p (см . неравенство Гёльдера ).

Аналогичным образом, непрерывное сопряженное л ¹ естественно отождествляется с л ^∞ (пространство ограниченных последовательностей). Кроме того, непрерывные двойственные к банаховым пространствам c (состоящим из всех сходящихся последовательностей с нормой супремума ) и c ₀ (последовательности, сходящиеся к нулю) естественно отождествляются с ℓ ¹ .

По теореме о представлении Рисса непрерывное двойственное гильбертово пространство снова является гильбертовым пространством, которое антиизоморфно исходному пространству. Это дает начало обозначениям, используемым физиками в математической формулировке квантовой механики .

По теореме Рисса – Маркова – Какутани о представлении непрерывное двойственное пространство некоторых непрерывных функций может быть описано с помощью мер.

Транспонировать непрерывную линейную карту

Если T  : V → W - непрерывное линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами, то (непрерывное) транспонирование T ′  : W ′ → V ′ определяется той же формулой, что и раньше:

${\ Displaystyle T '(\ varphi) = \ varphi \ circ T, \ quad \ varphi \ in W'.}$

Полученный функционал T ′ ( φ ) принадлежит V ′ . Присвоение T → T ′ создает линейное отображение между пространством непрерывных линейных отображений из V в W и пространством линейных отображений из W ′ в V ′ . Когда T и U - составные непрерывные линейные отображения, то

${\ Displaystyle (U \ circ T) '= T' \ circ U '.}$

Когда V и W - нормированные пространства, норма транспонирования в L ( W ′ , V ′ ) равна норме T в L ( V , W ) . Некоторые свойства транспонирования зависят от теоремы Хана – Банаха . Например, ограниченное линейное отображение T имеет плотный диапазон тогда и только тогда, когда транспонированное T ′ инъективно.

Когда T - компактное линейное отображение между двумя банаховыми пространствами V и W , то транспонированное T ′ компактно. Это можно доказать с помощью теоремы Арцела – Асколи .

Когда V - гильбертово пространство, существует антилинейный изоморфизм i _V из V на его непрерывное двойственное V ′ . Для любого ограниченного линейного отображения T на V транспонированный и сопряженный операторы связаны соотношением

${\ displaystyle i_ {V} \ circ T ^ {*} = T '\ circ i_ {V}.}$

Когда T является непрерывным линейным отображением между двумя топологическими векторными пространствами V и W , то транспонирование T ′ непрерывно, когда W ′ и V ′ снабжены «совместимыми» топологиями: например, когда для X = V и X = W , как двойственные X ' имеют сильную топологию & beta ; ( X' , X ) равномерной сходимости на ограниченных множествах X , или оба имеют -слабой топологии сг ( Х ' , X ) точечно сходимости на  X . Транспонирование T ′ непрерывно от β ( W ′ , W ) к β ( V ′ , V ) или от σ ( W ′ , W ) к σ ( V ′ , V ) .

Аннигиляторы

Предположим, что W - замкнутое линейное подпространство нормированного пространства  V , и рассмотрим аннулятор W в V ′ ,

${\ Displaystyle W ^ {\ perp} = \ {\ varphi \ in V ': W \ substeq \ ker \ varphi \}.}$

Тогда двойственное к фактору V  /  W  можно отождествить с W ^⊥ , а двойственное к W можно отождествить с фактором V '  /  W ^⊥ . В самом деле, пусть P обозначает каноническую сюръекцию из V на фактор V  /  W  ; тогда транспонированный P ′ является изометрическим изоморфизмом из ( V  /  W  ) ′ в V ′ с диапазоном, равным W ^⊥ . Если j обозначает отображение инъекции из W в V , то ядро ​​транспонирования j ′ является аннулятором W :

${\ Displaystyle \ ker (J ') = W ^ {\ perp}}$

и из теоремы Хана – Банаха следует, что j ′ индуцирует изометрический изоморфизм V ′  /  W ^⊥ → W ′ .

Другие свойства

Если двойной нормированного пространства V является отделимо , то и пространство V сам по себе. Обратное неверно: например, пространство ℓ ¹ сепарабельно, а двойственное к нему ℓ ^∞ - нет.

Двойной двойной

Это естественное преобразование векторного сложения из векторного пространства в его двойное двойственное. ⟨ Х ₁ , х ₂ ⟩ обозначает упорядоченную пару из двух векторов. Сложение + отправляет x ₁ и x ₂ в x ₁ + x ₂ . Сложение + ′, индуцированное преобразованием, можно определить как любое в двойственном пространстве.${\ Displaystyle [\ Psi (x_ {1}) + '\ Psi (x_ {2})] (\ varphi) = \ varphi (x_ {1} + x_ {2}) = \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ varphi}$

По аналогии со случаем алгебраического двойного двойственного пространства всегда существует естественно определенный непрерывный линейный оператор Ψ: V → V ′ ′ из нормированного пространства V в его непрерывное двойное двойственное пространство V ′ ′ , определяемый формулой

${\ Displaystyle \ Psi (x) (\ varphi) = \ varphi (x), \ quad x \ in V, \ \ varphi \ in V '.}$

Как следствие теоремы Хана-Банаха , это отображение в действительности является изометрией , т.е. | | Ф ( х ) = | | | | х | | для всех х ∈ V . Нормированные пространства, для которых отображение является биекцией , называются рефлексивными .

Когда V является топологическим векторным пространством, то Ψ ( x ) все еще может быть определено той же формулой для любого x ∈ V , однако возникают некоторые трудности. Во-первых, когда V не является локально выпуклым , непрерывное двойственное может быть равно {0}, а отображение Ψ тривиально. Однако, если V является Хаусдорфа и локально выпуклое отображение Ψ инъективна от V алгебраической двойной V ' ^* из непрерывного двойного, снова , как следствие теоремы Хана-Банаха.

Во-вторых, даже в локально выпуклом контексте несколько естественных топологий векторных пространств могут быть определены на непрерывном двойственном V ′ , так что непрерывный двойной двойственный V ′ ′ не определяется однозначно как множество. Утверждение, что Ψ отображает из V в V ′ ′ , или, другими словами, что Ψ ( x ) непрерывно на V ′ для любого x ∈ V , является разумным минимальным требованием к топологии V ′ , а именно, что отображения вычислений

${\ Displaystyle \ varphi \ in V '\ mapsto \ varphi (x), \ quad x \ in V,}$

непрерывна для выбранной топологии на V ′ . Кроме того, все еще существует выбор топологии на V ′ ′ , и от этого выбора зависит непрерывность Ψ. Как следствие, определение рефлексивности в этой структуре более сложно, чем в нормированном случае.

Смотрите также

• Ковариация и контравариантность векторов
• Двойной модуль
• Двойная норма
• Двойственность (математика)
• Двойственность (проективная геометрия)
• Понтрягинская двойственность
• Обратная решетка - двойственный пространственный базис в кристаллографии

Примечания

использованная литература

Библиография

• Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Бурбаки, Николас (1989). Элементы математики, алгебры I . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Бурбаки, Николас (2003). Элементы математики, Топологические векторные пространства . Springer-Verlag.
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Мак-Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999). Алгебра (3-е изд.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-1646-2..
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Робертсон, AP; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства . Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Двойное пространство» . MathWorld .