Евклидова топология - Euclidean topology

В математике и особенно общая топологии , то евклидовая топология является естественной топологией , индуцированной на n - мерное евклидово пространства в евклидовой метрике . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Определение

В любом метрическом пространстве , то открытые шары образуют базу для топологии на этом пространстве. Тогда евклидова топология на - это просто топология, порожденная этими шарами. Другими словами, открытые множества евклидовой топологии на задаются (произвольными) объединениями открытых шаров, определенных как , для всех вещественных и всех, где - евклидова метрика. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ Displaystyle B_ {r} (p): = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: d (p, x) <r \ right \}}$ ${\ displaystyle r> 0}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle d}$

Характеристики

При наделении этой топологией реальная линия представляет собой пространство T ₅ . Даны два подмножества сказать и о с , где обозначает замыкание на существование открытых множеств и с и такими , что ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}} \ cap B = A \ cap {\ overline {B}} = \ varnothing,}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle S_ {A}}$ ${\ displaystyle S_ {B}}$ ${\ displaystyle A \ substeq S_ {A}}$ ${\ Displaystyle B \ substeq S_ {B}}$ ${\ displaystyle S_ {A} \ cap S_ {B} = \ varnothing.}$