Список малых групп - List of small groups

Следующий список по математике содержит конечные группы малого порядка с точностью до группового изоморфизма .

Подсчитывает

Для n = 1, 2,… количество неизоморфных групп порядка n равно

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (последовательность A000001 в OEIS )

Для помеченных групп см. OEIS :  A034383 .

Глоссарий

Каждая группа названа в своей библиотеке малых групп как G _o ⁱ , где o - порядок группы, а i - индекс группы в этом порядке.

Общие названия групп:

• Z _п : циклическая группа порядка п (обозначение С _п также используется, она изоморфна аддитивной группы из Z / п Z ).
• Dih _n : группа диэдра порядка 2 n (часто используется обозначение D _n или D _{2 n} ).
  • K ₄ : четырехгруппа Клейна порядка 4, такая же, как Z ₂ × Z ₂ и Dih ₂ .
• S _n : симметрическая группа степени n , содержащая n ! перестановок из п элементов.
• _П : знакопеременная группа степени п , содержащий даже перестановки из п элементов, порядка 1 для п = 0, 1 , и порядка п / 2 иначе!.
• Dic _n или Q _4n : дициклическая группа порядка 4 n .
  • Q ₈ : группа кватернионов порядка 8, также Dic ₂ .

Обозначения Z _n и Dih _n имеют то преимущество, что точечные группы в трех измерениях C _n и D _n не имеют одинаковых обозначений. Есть несколько групп изометрии , чем эти два, одного и того же типа абстрактной группы.

Обозначение G × H обозначает прямое произведение двух групп; G ⁿ обозначает прямое произведение группы на себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение, где H действует на G ; это также может зависеть от выбора действия H на G

Отмечаются абелевы и простые группы . (Для групп порядка n <60 простые группы - это в точности циклические группы Z _n для простого n .) Знак равенства («=») обозначает изоморфизм.

Элемент идентичности в циклических графах представлен черным кружком. Самый низкий порядок, для которого граф циклов не является однозначным представлением группы, - это порядок 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не указаны. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, количество таких подгрупп указано в скобках.

Угловые скобки <отношения> показывают представление группы .

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямыми произведениями; см. абелевы группы . Количество неизоморфных абелевых групп порядков n = 1, 2, ... равно

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (последовательность A000688 в OEIS )

Для помеченных абелевых групп см. OEIS :  A034382 .

Список всех абелевых групп до 31 порядка

порядок	Идентификатор.	Г о я	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	График цикла	Характеристики
1	1	G 1 1	Z 1 = S 1 = А 2	-		Тривиально . Циклический. Чередование. Симметричный. Элементарно .
2	2	G 2 1	Z 2 = S 2 = D 2	-		Простой. Симметричный. Циклический. Элементарно. (Наименьшая нетривиальная группа.)
3	3	G 3 1	Z 3 = A 3	-		Простой. Чередование. Циклический. Элементарно.
4	4	G 4 1	Z 4 = Dic 1	Z 2		Циклический.
	5	G 4 2	Z 2 2 = К 4 = D 4	Z 2 (3)		Элементарно. Продукт . ( Четырехгруппа Клейна . Наименьшая нециклическая группа.)
5	6	G 5 1	Z 5	-		Простой. Циклический. Элементарно.
6	8	G 6 2	Z 6 = Z 3 × Z 2	Z 3 , Z 2		Циклический. Продукт.
7	9	G 7 1	Z 7	-		Простой. Циклический. Элементарно.
8	10	G 8 1	Z 8	Z 4 , Z 2		Циклический.
	11	G 8 2	Z 4 × Z 2	Z 2 2 , Z 4 (2), Z 2 (3)		Продукт.
	14	G 8 5	Я 2 3	Z 2 2 (7), Z 2 (7)		Продукт. Элементарно. (Неединичные элементы соответствуют точкам на плоскости Фано , подгруппы Z 2 × Z 2 - прямым.)
9	15	G 9 1	Z 9	Z 3		Циклический.
	16	G 9 2	Я 3 2	Z 3 (4)		Элементарно. Продукт.
10	18	G 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 5 , Z 2		Циклический. Продукт.
11	19	G 11 1	Z 11	-		Простой. Циклический. Элементарно.
12	21 год	G 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Циклический. Продукт.
	24	G 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2		Продукт.
13	25	G 13 1	Z 13	-		Простой. Циклический. Элементарно.
14	27	G 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 7 , Z 2		Циклический. Продукт.
15	28 год	G 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 5 , Z 3		Циклический. Продукт.
16	29	G 16 1	Z 16	Z 8 , Z 4 , Z 2		Циклический.
	30	G 16 2	Я 4 2	Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3)		Продукт.
	33	G 16 5	Z 8 × Z 2	Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2		Продукт.
	38	G 16 10	Z 4 × Z 2 2	Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6)		Продукт.
	42	G 16 14	Z 2 4 = К 4 2	Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15)		Продукт. Элементарно.
17	43 год	G 17 1	Z 17	-		Простой. Циклический. Элементарно.
18	45	G 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 9 , Z 6 , Z 3 , Z 2		Циклический. Продукт.
	48	G 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z 6 , Z 3 , Z 2		Продукт.
19	49	G 19 1	Z 19	-		Простой. Циклический. Элементарно.
20	51	G 20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z 2		Циклический. Продукт.
	54	G 20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 5 , Z 2		Продукт.
21 год	56	G 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 7 , Z 3		Циклический. Продукт.
22	58	G 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 11 , Z 2		Циклический. Продукт.
23	59	G 23 1	Z 23	-		Простой. Циклический. Элементарно.
24	61	G 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Циклический. Продукт.
	68	G 24 9	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2	Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Продукт.
	74	G 24 15	Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Z 6 , Z 3 , Z 2		Продукт.
25	75	G 25 1	Z 25	Z 5		Циклический.
	76	G 25 2	Я 5 2	Z 5		Продукт. Элементарно.
26	78	G 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z 13 , Z 2		Циклический. Продукт.
27	79	G 27 1	Z 27	Z 9 , Z 3		Циклический.
	80	G 27 2	Z 9 × Z 3	Z 9 , Z 3		Продукт.
	83	G 27 5	Я 3 3	Z 3		Продукт. Элементарно.
28 год	85	G 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Я 14 , Я 7 , Я 4 , Я 2		Циклический. Продукт.
	87	G 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Я 14 , Я 7 , Я 4 , Я 2		Продукт.
29	88	G 29 1	Z 29	-		Простой. Циклический. Элементарно.
30	92	G 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2		Циклический. Продукт.
31 год	93	G 31 1	Z 31	-		Простой. Циклический. Элементарно.

Список малых неабелевых групп

Количество неабелевых групп по порядку подсчитывается с помощью (последовательность A060689 в OEIS ). Однако многие порядки не имеют неабелевых групп. Порядки, при которых существует неабелева группа, следующие:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (последовательность A060652 в OEIS )

Список всех неабелевых групп до 31 порядка

порядок	Идентификатор.	Г о я	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	График цикла	Характеристики
6	7	G 6 1	D 6 = S 3 = Z 3 ⋊ Z 2	Z 3 , Z 2 (3)		Группа диэдра , Dih 3 , наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, группа Фробениуса.
8	12	G 8 3	D 8	Z 4 , Z 2 2 (2), Z 2 (5)		Диэдральная группа Dih 4 . Особенная группа . Нильпотентный.
	13	G 8 4	Вопрос 8	Z 4 (3), Z 2		Группа кватернионов , гамильтонова группа . Все подгруппы нормальны без абелевой группы. Самая маленькая группа G демонстрирует , что для нормальной подгруппы H фактор - группа G / H не должна быть изоморфна подгруппе группы G . Особенная группа . Dic 2 , Бинарная группа диэдра <2,2,2>. Нильпотентный.
10	17	G 10 1	D 10	Z 5 , Z 2 (5)		Группа диэдра, Dih 5 , группа Фробениуса.
12	20	G 12 1	Q 12 = Z 3 ⋊ Z 4	Z 2 , Z 3 , Z 4 (3), Z 6		Дициклическая группа Dic 3 , Бинарная группа диэдра, <3,2,2>
	22	G 12 3	А 4 = К 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3)		Чередующаяся группа . Нет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит его порядок. Группа Фробениуса. Хиральная тетраэдрическая симметрия (T)
	23	G 12 4	D 12 = D 6 × Z 2	Z 6 , D 6 (2), Z 2 2 (3), Z 3 , Z 2 (7)		Диэдральная группа, Dih 6 , произведение.
14	26	G 14 1	D 14	Z 7 , Z 2 (7)		Группа диэдра, Dih 7 , группа Фробениуса
16	31 год	G 16 3	G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4	E 8 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4 (4), K 4 (6), Z 2 (6)		Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентный.
	32	G 16 4	Я 4 ⋊ Я 4			Квадраты элементов не образуют подгруппы. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и Q 8 × Z 2 . Нильпотентный.
	34	G 16 6	Z 8 ⋊ Z 2			Иногда называется модулярной группой порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q 8 × Z 2 также являются модулярными. Нильпотентный.
	35 год	G 16 7	D 16	Z 8 , D 8 (2), Z 2 2 (4), Z 4 , Z 2 (9)		Диэдральная группа Dih 8 . Нильпотентный.
	36	G 16 8	QD 16			Квазидиэдральная группа порядка 16 . Нильпотентный.
	37	G 16 9	Вопрос 16			Обобщенная группа кватернионов , дициклическая группа Dic 4 , бинарная группа диэдра, <4,2,2>. Нильпотентный.
	39	G 16 11	D 8 × Z 2	D 8 (4), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (13), Z 4 (2), Z 2 (11)		Продукт. Нильпотентный.
	40	G 16 12	Q 8 × Z 2			Гамильтониан , произведение. Нильпотентный.
	41 год	G 16 13	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2			Группа Паули, порожденная матрицами Паули . Нильпотентный.
18	44 год	G 18 1	D 18			Группа диэдра, Dih 9 , группа Фробениуса.
	46	G 18 3	D 6 × Z 3 = S 3 × Z 3			Продукт.
	47	G 18 4	(Z 3 × Z 3 ) ⋊ Z 2			Группа Фробениуса.
20	50	G 20 1	Вопрос 20			Дициклическая группа Dic 5 , Бинарная группа диэдра , <5,2,2>.
	52	G 20 3	Я 5 ⋊ Я 4			Группа Фробениуса .
	53	G 20 4	D 20 = D 10 × Z 2			Диэдральная группа, Dih 10 , произведение.
21 год	55	G 21 1	Z 7 ⋊ Z 3	Z 7 , Z 3 (7)		Наименьшая неабелева группа нечетного порядка. Группа Фробениуса.
22	57 год	G 22 1	D 22	Z 11 , Z 2 (11)		Группа диэдра Dih 11 , группа Фробениуса.
24	60	G 24 1	Я 3 ⋊ Я 8			Центральное расширение S 3 .
	62	G 24 3	SL (2,3) = Q 8 ⋊ Z 3			Бинарная тетраэдрическая группа , 2T = <3,3,2>.
	63	G 24 4	Вопрос 24 = Z 3 ⋊ Q 8			Дициклическая группа Dic 6 , Бинарный диэдр, <6,2,2>.
	64	G 24 5	D 6 × Z 4 = S 3 × Z 4			Продукт.
	65	G 24 6	Д 24			Диэдральная группа, Dih 12 .
	66	G 24 7	Q 12 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 Z 4 )			Продукт.
	67	G 24 8	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4			Двойное покрытие диэдральной группы.
	69	G 24 10	D 8 × Z 3			Продукт. Нильпотентный.
	70	G 24 11	Q 8 × Z 3			Продукт. Нильпотентный.
	71	G 24 12	S 4	28 собственных нетривиальных подгрупп; 9 подгрупп, объединяющих изоморфные; к ним относятся S 2 , S 3 , A 3 , A 4 , D 8 .		Симметричная группа . Не имеет нормальных силовских подгрупп . Хиральная октаэдрическая симметрия (O), Ахиральная тетраэдрическая симметрия (T d )
	72	G 24 13	А 4 × Z 2			Продукт. Пиритоэдрическая симметрия (T h )
	73	G 24 14	D 12 × Z 2			Продукт.
26	77	G 26 1	D 26			Группа диэдра, Dih 13 , группа Фробениуса.
27	81 год	G 27 3	Я 3 2 ⋊ Я 3			Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. Экстраспециальная группа . Нильпотентный.
	82	G 27 4	Z 9 ⋊ Z 3			Особенная группа . Нильпотентный.
28 год	84	G 28 1	Я 7 ⋊ Я 4			Дициклическая группа Dic 7 , Бинарная группа диэдра, <7,2,2>.
	86	G 28 3	D 28 = D 14 × Z 2			Диэдральная группа, Dih 14 , произведение.
30	89	G 30 1	Z 5 × D 6			Продукт.
	90	G 30 2	D 10 × Z 3			Продукт.
	91	G 30 3	Д 30			Группа диэдра, Dih 15 , группа Фробениуса.

Классифицирующие группы малого порядка

Малые группы простого порядка мощности p ⁿ задаются следующим образом:

• Порядок p : Единственная группа циклическая.
• Порядок p ² : Всего две группы, обе абелевы.
• Порядок p ³ : есть три абелевых группы и две неабелевы группы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p ² на циклическую группу порядка p . Другой - группа кватернионов для p = 2 и группа показателя p для p > 2 .
• Порядок p ⁴ : классификация усложняется и становится намного сложнее с увеличением показателя p .

Большинство групп малого порядка имеют силовскую p- подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого p, делящего порядок, поэтому их можно классифицировать в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P на N . В некотором смысле это сводит классификацию этих групп к классификации p -групп. Некоторые из небольших групп, у которых нет нормального p- дополнения, включают:

• Порядок 24: Симметрическая группа S ₄
• Порядок 48: бинарная октаэдрическая группа и произведение S ₄ × Z ₂
• Приказ 60: Переменная группа A ₅ .

Наименьший порядок , для которого он не знает , сколько неизоморфны групп существует 2048 = 2 ¹¹ .

Библиотека малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит пакет под названием «Библиотека малых групп», который обеспечивает доступ к описаниям групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время в библиотеке представлены следующие группы:

• группы порядка не выше 2000, за исключением порядка 1024 ( в библиотеке 423 164 062 группы; группы порядка 1024 пришлось пропустить, так как есть дополнительные 49 487 365 422 неизоморфных 2-группы порядка 1024);
• порядка не более 2000 (кроме порядка 1024);
• безкубовые порядка не более 50000 (395 703 группы);
• бесквадратные порядки;
• порядка p ⁿ для n не более 6 и p простое;
• порядка p ⁷ для p = 3, 5, 7, 11 (907 489 групп);
• порядка pq ^n, где q ⁿ делит 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ или 7 ^4, а p - произвольное простое число, отличное от q ;
• те, чьи порядки разлагаются на не более чем 3 простых числа (не обязательно различных).

Он содержит подробные описания доступных групп в машиночитаемом формате.

Наименьший порядок, для которого библиотека SmallGroups не имеет информации, - 1024.

Смотрите также

• Классификация конечных простых групп
• Композиция серии
• Список конечных простых групп
• Количество групп данного заказа
• Малые латинские квадраты и квазигруппы

Примечания

использованная литература

• Кокстер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Таблица 1, Порядок неабелевых групп <32.
• Холл-младший, Маршалл ; Старший, Джеймс К. (1964). «Группы порядка 2 ⁿ ( n ≤ 6)». Макмиллан. Руководство по ремонту  0168631 . Каталог 340 групп порядка деления 64 с таблицами определяющих отношений, констант и решетки подгрупп каждой группы. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )CS1 maint: postscript ( ссылка )

внешние ссылки

• Конкретные группы в вики-странице свойств группы
• Группы данного порядка
• Besche, HU; Эйк, В .; О'Брайен, Э. «Библиотека малых групп» . Архивировано из оригинала на 2012-03-05.
• База данных GroupNames