Дедекинда группа - Dedekind group

В теории групп , дедекиндово группа представляет собой группу G такой , что каждая подгруппа из G является нормальной . Все абелевы группы являются дедекиндовыми. Неабелева дедекиндова группа называется гамильтоновой группой .

Самый известный (и самый маленький) пример гамильтоновой группы - это группа кватернионов порядка 8, обозначаемая Q ₈ . Дедекинд и Бэр показали (в случае конечного и соответственно бесконечного порядка), что каждая гамильтонова группа является прямым произведением вида G = Q ₈ × B × D , где B - элементарная абелева 2-группа , а D - периодическая абелева группа со всеми элементами нечетного порядка.

Группы Дедекинда названы в честь Ричарда Дедекинда , который исследовал их в ( Dedekind 1897 ), доказав форму приведенной выше структурной теоремы (для конечных групп ). Он назвал неабелевы в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , первооткрывателя кватернионов .

В 1898 году Джордж Миллер описал структуру гамильтоновой группы в терминах ее порядка и порядка ее подгрупп. Например, он показывает, что «группа Гамильтона порядка 2 ^a имеет 2 ^{2 a - 6} групп кватернионов в качестве подгрупп». В 2005 году Хорват и др. Использовали эту структуру для подсчета количества гамильтоновых групп любого порядка n = 2 ^e o, где o - нечетное целое число. Когда e <3 , гамильтоновы группы порядка n отсутствуют , в противном случае их количество равно количеству абелевых групп порядка o .

Примечания

Ссылки

• Дедекиндово, Ричард (1897), "Ueber Gruppen, Дэжэнь sämmtliche Тейлер Normaltheiler Синд" , Mathematische Annalen , 48 (4): 548-561, DOI : 10.1007 / BF01447922 , ISSN  0025-5831 , СУЛ  28.0129.03 , МР  1510943.
• Baer, ​​R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Гейдельберг. Акад. Премия 2, 12–17, 1933.
• Холл, Маршалл (1999), Теория групп , Книжный магазин AMS, стр. 190, ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Хорват, Борис; Яклич, Гашпер; Писанский, Томаж (2005), "О числе гамильтоновых групп", Mathematical Communications , 10 (1): 89–94, arXiv : math / 0503183 , Bibcode : 2005math ...... 3183H.
• Миллер, Г. А. (1898), "О группах Гамильтон", Бюллетень Американского математического общества , 4 (10): 510-515, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1898-00532-3.
• Таусский, Ольга (1970), «Суммы квадратов», American Mathematical Monthly , 77 (8): 805–830, doi : 10.2307 / 2317016 , hdl : 10338.dmlcz / 120593 , JSTOR  2317016 , MR  0268121.