Список конечных простых групп - List of finite simple groups

В математике , то классификация конечных простых групп состояний , что каждая конечная простая группа является циклической , или переменным , или в один из 16 семейств групп типа Ли , или один из 26 спорадических групп .

В приведенном ниже списке приведены все конечные простые группы вместе с их порядком , размером множителя Шура , размером внешней группы автоморфизмов , обычно некоторыми небольшими представлениями , и списками всех дубликатов.

Резюме

В следующей таблице представлен полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп, а также их порядки. Перечисляются любые непростые члены каждой семьи, а также любые члены, дублированные в семье или между семьями. (При удалении дубликатов полезно отметить, что никакие две конечные простые группы не имеют одинаковый порядок, за исключением того, что обе группы A 8  =  A 3 (2) и A 2 (4) имеют порядок 20160, а группа B n ( q ) имеет тот же порядок, что и C n ( q ) для нечетного q , n  > 2. Самыми маленькими из последних пар групп являются B 3 (3) и C 3 (3), обе имеют порядок 4585351680.)

Существует досадный конфликт между обозначениями знакопеременных групп A n и групп лиева типа A n ( q ). Некоторые авторы используют разные шрифты для AN, чтобы различать их. В частности, в этой статье мы проводим различие, выделяя знакопеременные группы A n римским шрифтом, а группы лиева типа A n ( q ) курсивом.

В дальнейшем n - положительное целое число, а q - положительная степень простого числа p с указанными ограничениями. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .

Класс Семья Заказ Исключения Дубликаты
Циклические группы Z p п Никто Никто
Чередующиеся группы A n
n  > 4 		Никто
Классические группы Шевалле А п ( д ) А 1 (2), А 1 (3)
B n ( q )
n  > 1 		В 2 (2)
C n ( q )
n  > 2 		Никто C n (2 м ) ≃ B n (2 м )
D n ( q )
n  > 3 		Никто Никто
Исключительные группы Chevalley E 6 ( q ) Никто Никто
E 7 ( q ) Никто Никто
E 8 ( q ) Никто Никто
F 4 ( q ) Никто Никто
G 2 ( q ) G 2 (2) Никто
Классические группы Штейнберга 2 A n ( q 2 )
n  > 1 		2 А 2 (2 2 ) 2 А 3 (2 2 ) ≃ В 2 (3)
2 D n ( q 2 )
n  > 3 		Никто Никто
Исключительные группы Штейнберга 2 E 6 ( q 2 ) Никто Никто
3 Д 4 ( квартал 3 ) Никто Никто
Группы Сузуки 2 В 2 ( q )
q  = 2 2 n +1
n  ≥ 1 		Никто Никто
Ри группы
+ синицы группа 		2 F 4 ( q )
q  = 2 2 n +1
n  ≥ 1 		Никто Никто
2 Ж 4 (2) ′ 2 12 (2 6 + 1) (2 4 - 1) (2 3 + 1) (2 - 1) / 2 =17 971 200
2 G 2 ( q )
q = 3 2 n +1
n  ≥ 1 		Никто Никто
Матье группы П 11 7920
M 12 95 040
П 22 443 520
П 23 10 200 960
M 24 244 823 040
Янко группы J 1 175 560
J 2 604 800
J 3 50 232 960
J 4 86 775 571 046 077 562 880
Конвей группы Co 3 495 766 656 000
Co 2 42 305 421 312 000
Co 1 4 157 776 806 543 360 000
Группы Фишера Fi 22 64 561 751 654 400
Fi 23 4 089 470 473 293 004 800
Fi 24 ' 1 255 205 709 190 661 721 292 800
Группа Хигмана – Симса HS 44 352 000
Группа Маклафлина McL 898 128 000
Проведенная группа Он 4 030 387 200
Группа Рудвалис RU 145 926 144 000
Suzuki спорадическая группа Suz 448 345 497 600
О'Нан группа НА 460 815 505 920
Группа Харада – Нортон HN 273 030 912 000 000
Лионская группа Ly 51 765 179 004 000 000
Группа Томпсона Чт 90 745 943 887 872 000
Группа Baby Monster B 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Группа монстров M 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Циклические группы , Z p

Простота: просто для простого числа p .

Заказ: p

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: Циклические порядка p  - 1.

Другие названия: Z / p Z, C p

Примечания: Это единственные простые группы, которые не идеальны .

Чередующиеся группы , A n , n > 4

Простота: разрешима для n <5, в остальном просто.

Порядок: n ! / 2 при n  > 1.

Множитель Шура: 2 для n  = 5 или n  > 7, 6 для n  = 6 или 7; см. Накрывающие группы знакопеременной и симметрической групп

Группа внешних автоморфизмов: Общие 2. Исключения: при n  = 1, n  = 2 она тривиальна, а при n  = 6 имеет порядок 4 (элементарный абелев).

Другие названия: Alt n .

Изоморфизмы: A 1 и A 2 тривиальны. A 3 циклично порядка 3. A 4 изоморфно A 1 (3) (разрешимо). A 5 изоморфен A 1 (4) и A 1 (5). A 6 изоморфна A 1 (9) и производной группе B 2 (2) ′. A 8 изоморфен A 3 (2).

Примечание: индекс 2 подгруппы симметрической группы перестановок из п точек при п  > 1.

Группы лиева типа

Обозначения: n - положительное целое число, q > 1 - степень простого числа p и порядок некоторого лежащего в основе конечного поля . Порядок группы внешних автоморфизмов записывается как d ⋅ f ⋅ g , где d - порядок группы «диагональных автоморфизмов», f - порядок (циклической) группы «полевых автоморфизмов» (порожденных группой Фробениуса автоморфизм ), а g - порядок группы «автоморфизмов графа» (происходящих из автоморфизмов диаграммы Дынкина ). Группа внешних автоморфизмов изоморфна полупрямый продукт , где все эти группы представляют собой циклически соответствующие заказы д, е, ж , за исключением типа , нечетного, где группа порядка является , и (только тогда , когда ) , симметричной группой по три элементы. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .

Группы Шевалле , A n ( q ), B n ( q ) n > 1, C n ( q ) n > 2, D n ( q ) n > 3

Группы Шевалле , линейные группы A n ( q )
 Группы Шевалле , B n ( q ) n  > 1
ортогональных групп 		Группы Шевалле , C n ( q ) n  > 2
симплектических групп 		Группы Шевалле , D n ( q ) n  > 3
ортогональных групп
Простота A 1 (2) и A 1 (3) разрешимы, остальные простые. B 2 (2) не простая, но ее производная группа B 2 (2) ′ является простой подгруппой индекса 2; остальные просты. Все просто Все просто
Заказ
Множитель Шура Для простых групп он циклический порядка ( n +1, q −1), за исключением A 1 (4) (порядок 2), A 1 (9) (порядок 6), A 2 (2) (порядок 2), A 2 (4) (порядок 48, произведение циклических групп порядков 3, 4, 4), A 3 (2) (порядок 2). (2, q −1) за исключением B 2 (2) = S 6 (порядок 2 для B 2 (2), порядок 6 для B 2 (2) ′) и B 3 (2) (порядок 2) и B 3 (3) (заказ 6). (2, q −1) за исключением C 3 (2) (порядок 2). Порядок равен (4, q n −1) (циклический для нечетных n , элементарный абелев для n четных) за исключением D 4 (2) (порядок 4, элементарный абелев).
Группа внешних автоморфизмов (2, q −1) ⋅ f ⋅1 для n  = 1; ( n +1, q −1) ⋅ f ⋅2 для n  > 1, где q  =  p f (2, q −1) ⋅ f ⋅1 для нечетных q или n  > 2; (2, q −1) ⋅ f ⋅2 для четных q и n  = 2, где q  =  p f (2, q −1) ⋅ f ⋅1, где q  =  p f (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 для n  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 для n  > 4 четных, (4, q n −1) ⋅ f ⋅2 для n odd, где q  =  p f , а S 3 - симметрическая группа порядка 3! на 3 балла.
Другие названия Проективные специальные линейные группы , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL ( n + 1, q ) O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (для нечетного q ). Проективная симплектическая группа, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (не рекомендуется), S 2 n ( q ), абелева группа (архаическая). O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). « Гипоабелева группа » - архаичное название этой группы в характеристике 2.
Изоморфизмы A 1 (2) изоморфна симметрической группе в 3 точках порядка 6. A 1 (3) изоморфна знакопеременной группе A 4 (разрешимая). A 1 (4) и A 1 (5) изоморфны знакопеременной группе A 5 . A 1 (7) и A 2 (2) изоморфны. A 1 (8) изоморфна производной группе 2 G 2 (3) ′. A 1 (9) изоморфна A 6 и производной группе B 2 (2) ′. A 3 (2) изоморфен A 8 . B n (2 m ) изоморфен C n (2 m ). B 2 (2) изоморфна симметрической группе в 6 точках, а производная группа B 2 (2) ′ изоморфна A 1 (9) и A 6 . B 2 (3) изоморфен 2 A 3 (2 2 ). C n (2 m ) изоморфен B n (2 m )
Замечания Эти группы получаются из общих линейных групп GL n +1 ( q ) взятием элементов определителя 1 (что дает специальные линейные группы SL n +1 ( q )) и последующим факторизацией по центру. Это группа, полученная из ортогональной группы в размерности 2 n + 1 путем взятия ядра детерминанта и отображения спинорной нормы . B 1 ( q ) также существует, но совпадает с A 1 ( q ). B 2 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью двойки. Эта группа получается из симплектической группы в 2 n измерениях путем факторизации центра. C 1 ( q ) также существует, но совпадает с A 1 ( q ). C 2 ( q ) также существует, но совпадает с B 2 ( q ). Это группа, полученная из расщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображения спинорной нормы с последующим уничтожением центра. Группы типа D 4 имеют необычно большую группу диаграммных автоморфизмов порядка 6, содержащую тройственный автоморфизм. D 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что A 1 ( q ) × A 1 ( q ). D 3 ( q ) также существует, но совпадает с A 3 ( q ).

Группы Шевалле , E 6 ( q ), E 7 ( q ), E 8 ( q ), F 4 ( q ), G 2 ( q )

Группы Шевалле , E 6 ( q ) Группы Шевалле , E 7 ( q ) Группы Шевалле , E 8 ( q ) Группы Шевалле , F 4 ( q ) Группы Шевалле , G 2 ( q )
Простота Все просто Все просто Все просто Все просто G 2 (2) не простая, но ее производная группа G 2 (2) ′ является простой подгруппой индекса 2; остальные просты.
Заказ q 36 ( q 12 -1) ( q 9 -1) ( q 8 -1) ( q 6 -1) ( q 5 -1) ( q 2 -1) / (3, q -1) q 63 ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 10 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1) / (2, q - 1) q 120 ( q 30 -1) ( q 24 -1) ( q 20 -1) ( q 18 -1) ( q 14 -1) ( q 12 -1) ( q 8 -1) ( q 2 -1) q 24 ( q 12 -1) ( q 8 -1) ( q 6 -1) ( q 2 -1) q 6 ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Множитель Шура (3, q −1) (2, q −1) Банальный Тривиально, за исключением F 4 (2) (порядок 2) Тривиально для простых групп, за исключением G 2 (3) (порядок 3) и G 2 (4) (порядок 2).
Группа внешних автоморфизмов (3, q −1) ⋅ f ⋅2, где q  =  p f (2, q −1) ⋅ f ⋅1, где q  =  p f 1⋅ f ⋅1, где q  =  p f 1⋅ f ⋅1 для нечетных q , 1⋅ f ⋅2 для четных q , где q  =  p f 1⋅ f ⋅1 для q не степени 3, 1⋅ f ⋅2 для q степени 3, где q  =  p f
Другие названия Исключительная группа Chevalley Исключительная группа Chevalley Исключительная группа Chevalley Исключительная группа Chevalley Исключительная группа Chevalley
Изоморфизмы Производная группа G 2 (2) ′ изоморфна 2 A 2 (3 2 ).
Замечания Имеет два представления размерности 27 и действует в алгебре Ли размерности 78. Имеет представления размерности 56 и действует на соответствующей алгебре Ли размерности 133. Он действует на соответствующей алгебре Ли размерности 248. E 8 (3) содержит простую группу Томпсона. Эти группы действуют на 27-мерных исключительных йордановых алгебрах , что дает им 26-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 52. F 4 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью двойки. Эти группы являются группами автоморфизмов 8-мерных алгебр Кэли над конечными полями, что дает им 7-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 14. G 2 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью 3. Более того, они появляются как группы автоморфизмов некоторых геометрий точечных линий, называемых расщепленными обобщенными шестиугольниками Кэли. .

Группы Стейнберга , 2 A n ( q 2 ) n > 1, 2 D n ( q 2 ) n > 3, 2 E 6 ( q 2 ), 3 D 4 ( q 3 )

Группы Стейнберга , 2 A n ( q 2 ) n  > 1
унитарные группы 		Группы Стейнберга , 2 D n ( q 2 ) n  > 3
ортогональных группы 		Группы Стейнберга , 2 E 6 ( q 2 ) Группы Стейнберга , 3 D 4 ( q 3 )
Простота 2 A 2 (2 2 ) разрешима, остальные простые. Все просто Все просто Все просто
Заказ q 36 ( q 12 −1) ( q 9 +1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 +1) ( q 2 −1) / (3, q +1) q 12 ( q 8 + q 4 +1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Множитель Шура Циклический порядок ( n +1, q +1) для простых групп, за исключением 2 A 3 (2 2 ) (порядок 2), 2 A 3 (3 2 ) (порядок 36, произведение циклических групп порядков 3, 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3) Цикл порядка (4, q n +1) (3, q +1) за исключением 2 E 6 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3). Банальный
Группа внешних автоморфизмов ( n +1, q +1) ⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f (4, q n +1) ⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f (3, q +1) ⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f 1⋅ f ⋅1, где q 3  =  p f
Другие названия Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSU n +1 ( q ), PSU ( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 ) 2 D n ( q ), O 2 n - ( q ), PΩ 2 n - ( q ), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» - это архаичное название этой группы в характеристике 2. 2 E 6 ( q ), скрученная группа Шевалле 3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), скрученные группы Шевалле
Изоморфизмы Разрешимая группа 2 A 2 (2 2 ) изоморфна расширению группы кватернионов порядка 8 с помощью элементарной абелевой группы порядка 9. 2 A 2 (3 2 ) изоморфна производной группе G 2 (2) ′. 2 A 3 (2 2 ) изоморфен B 2 (3).
Замечания Это получается из унитарной группы в п + 1 измерениях, принимая подгруппу элементов определителем 1 , а затем Факторизуя из по центру. Это группа, полученная из нерасщепляемой ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображения спинорной нормы с последующим уничтожением центра. 2 D 2 ( q 2 ) также существует, но совпадает с A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) также существует, но совпадает с 2 A 3 ( q 2 ). Одно из исключительных двойных покрытий 2 E 6 (2 2 ) является подгруппой группы маленьких монстров, а исключительное центральное расширение элементарной абелевой группой порядка 4 является подгруппой группы монстров. 3 D 4 (2 3 ) действует на единственной четной 26-мерной решетке определителя 3 без корней.

Группы Сузуки , 2 B 2 (2 2 n +1 )

Простота: просто при n ≥ 1. Группа 2 B 2 (2) разрешима.

Порядок: q 2 ( q 2 + 1) ( q  - 1), где q  = 2 2 n +1 .

Множитель Шура: тривиальный при n 1, элементарный абелев порядка 4 для 2 B 2 (8).

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f  = 2 n + 1.

Другие названия: Сузь (2 2 n +1 ), Сз (2 2 n +1 ).

Изоморфизмы: 2 B 2 (2) - группа Фробениуса порядка 20.

Замечания: Группа Сузуки - это группы Цассенхауза, действующие на множествах размера (2 2 n +1 ) 2  + 1 и имеющие 4-мерные представления над полем с 2 2 n +1 элементами. Это единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3. Они не связаны со спорадической группой Судзуки.

Группы Ри и Группа Титсов , 2 Ж 4 (2 2 n +1 )

Простота: просто для n  ≥ 1. Производная группа 2 F 4 (2) ′ проста индекса 2 в 2 F 4 (2) и называется группой Титса в честь бельгийского математика Жака Титса .

Порядок: q 12 ( q 6  + 1) ( q 4  - 1) ( q 3  + 1) ( q  - 1), где q  = 2 2 n +1 .

Группа Титсов имеет порядок 17971200 = 2 11 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13.

Множитель Шура: тривиален для n  ≥ 1 и для группы Титса.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f  = 2 n  + 1. Порядок 2 для группы Титса.

Замечания: В отличие от других простых групп лиева типа, группа Титса не имеет пары BN , хотя ее группа автоморфизмов имеет, поэтому большинство авторов считают ее своего рода почетной группой лиева типа.

Группы Ри , 2 G 2 (3 2 n +1 )

Простота: проста при n  ≥ 1. Группа 2 G 2 (3) не проста, но ее производная группа 2 G 2 (3) ′ является простой подгруппой индекса 3.

Порядок: q 3 ( q 3  + 1) ( q  - 1), где q  = 3 2 n +1

Множитель Шура: тривиален для n  ≥ 1 и для 2 G 2 (3) ′.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f  = 2 n  + 1.

Другие имена: Ри (3 2 n +1 ), R (3 2 n +1 ), E 2 ∗ (3 2 n +1 ).

Изоморфизмы: производная группа 2 G 2 (3) ′ изоморфна A 1 (8).

Замечания: 2 G 2 (3 2 n +1 ) имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 3 3 (2 n +1)  + 1 точках и действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с 3 2 n +1 элементами.

Спорадические группы

Группы Матье , М 11 , М 12 , М 22 , М 23 , М 24

Группа Матье, М 11 Группа Матье, М 12 Группа Матье, М 22 Группа Матье, М 23 Группа Матье, М 24
Заказ 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920 2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040 2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520 2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Множитель Шура Банальный Заказ 2 Цикл порядка 12 Банальный Банальный
Группа внешних автоморфизмов Банальный Заказ 2 Заказ 2 Банальный Банальный
Замечания 4-транзитивная группа перестановок на 11 точках, которая является точечным стабилизатором M 12 (в 5-транзитивном 12-точечном представлении перестановок M 12 ). Группа M 11 также содержится в M 23 . Подгруппа M 11, фиксирующая точку в 4-транзитивном 11-точечном представлении перестановки, иногда называется M 10 , и имеет подгруппу индекса 2, изоморфную альтернированной группе A 6 . 5-транзитивная группа перестановок на 12 точках, содержащаяся в M 24 . 3-транзитивная группа перестановок на 22 точках и является точечным стабилизатором M 23 (в представлении 4-транзитивных 23-точечных перестановок M 23 ). Подгруппа группы M 22, фиксирующая точку в 3-транзитивном представлении перестановки с 22 точками, иногда называется M 21 , и она изоморфна PSL (3,4) (т. Е. Изоморфна  A 2 (4)). 4-транзитивная группа перестановок на 23 точках, которая является точечным стабилизатором M 24 (в 5-транзитивном 24-точечном представлении перестановок M 24 ). 5-транзитивная группа перестановок по 24 точкам.

Группы Янко , J 1 , J 2 , J 3 , J 4

Янко группа, J 1 Янко группа, J 2 Группа Янко, J 3 Группа Янко, J 4
Заказ 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800 2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960 2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Множитель Шура Банальный Заказ 2 Заказ 3 Банальный
Группа внешних автоморфизмов Банальный Заказ 2 Заказ 2 Банальный
Другие названия Дж (1), Дж (11) Холл – Янко группа, HJ Группа Хигмана – Янко – Маккея, HJM
Замечания Это подгруппа G 2 (11), поэтому она имеет 7-мерное представление над полем из 11 элементов. Группа автоморфизмов J 2 : 2 группы J 2 является группой автоморфизмов графа ранга 3 на 100 точках, называемого графом Холла-Янко . Это также группа автоморфизмов правильного около восьмиугольника, называемого около восьмиугольника Холла-Янко. Группа J 2 содержится в  G 2 (4). J 3 не имеет отношения ни к каким другим спорадическим группам (или к чему-либо еще). Его тройное покрытие имеет 9-мерное унитарное представление над полем из 4 элементов. Имеет 112-мерное представление над полем с 2 элементами.

Группы Конвея , Co 1 , Co 2 , Co 3

Конвей группа, Co 1 Конвей группа, Co 2 Конвей группа, компания 3
Заказ 2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000 2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000 2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Множитель Шура Заказ 2 Банальный Банальный
Группа внешних автоморфизмов Банальный Банальный Банальный
Другие названия · 1 · 2 · 3, С 3
Замечания Совершенное двойное покрытие Co 0 группы Co 1 является группой автоморфизмов решетки Лича и иногда обозначается через · 0. Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 4 в решетке Пиявки . Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 6 в решетке Пиявки . Он имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 точках.

Группы Фишера , Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 '

Группа Фишера, Fi 22 Группа Фишера, Fi 23 Группа Фишера, Fi 24 ′
Заказ 2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400 2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800 2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Множитель Шура Заказ 6 Банальный Заказ 3
Группа внешних автоморфизмов Заказ 2 Банальный Заказ 2
Другие названия M (22) M (23) М (24) ′, Ж 3+
Замечания Группа с 3 транспозициями, двойное покрытие которой содержится в Fi 23 . Группа с 3 транспозициями, содержащаяся в Fi 24 '. Тройная обложка содержится в группе монстров.

Группа Хигмана – Симса , HS

Порядок: 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Множитель Шура: Заказ 2.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Примечания: он действует как группа перестановок ранга 3 на графе Хигмана Симса со 100 точками и содержится в Co 2 и в Co 3 .

Группа Маклафлина , McL

Порядок: 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Примечания: действует как группа перестановок ранга 3 на графе Маклафлина с 275 точками и содержится в Co 2 и в Co 3 .

Проведенная группа , Он

Порядок: 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 4030387200

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: Held – Higman – McKay group, HHM, F 7 , HTH.

Примечания: Централизует элемент порядка 7 в группе монстров.

Группа Рудвалис , Ру

Порядок: 2 14 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Множитель Шура: Заказ 2.

Группа внешних автоморфизмов: тривиально.

Замечания: двойное покрытие действует на 28-мерную решетку над целыми гауссовскими числами .

Suzuki спорадическая группа , Suz

Порядок: 2 13 ⋅ 3 7 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Множитель Шура: Порядок 6.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: Sz

Примечания: 6-кратное покрытие действует на 12-мерную решетку над целыми числами Эйзенштейна . Это не связано с группами Сузуки лиева типа.

Группа О'Нан, О'Н

Порядок: 2 9 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: O'Nan – Sims group, O'NS, O – S.

Замечания: тройное покрытие имеет два 45-мерных представления над полем из 7 элементов, замененных внешним автоморфизмом.

Группа Харада – Нортон , HN

Порядок: 2 14 ⋅ 3 6 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: F 5 , D

Примечания: Централизует элемент 5-го порядка в группе монстров.

Лионская группа , Ly

Порядок: 2 8 ⋅ 3 7 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: тривиально.

Другие названия: Lyons – Sims group, LyS.

Примечания: Имеет 111-мерное представление над полем с 5 элементами.

Группа Томпсона , Th

Порядок: 2 15 ⋅ 3 10 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: тривиально.

Другие названия: F 3 , E

Примечания: Централизует элемент 3-го порядка в монстре и содержится в E 8 (3), поэтому имеет 248-мерное представление над полем с 3 элементами.

Группа Baby Monster , B

Заказ:

   2 41 ⋅ 3 13 ⋅ 5 6 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47
= 4154781481226426191177580544000000

Множитель Шура: Заказ 2.

Группа внешних автоморфизмов: тривиально.

Другие названия: F 2

Примечания: Двойная крышка содержится в группе монстров. Он имеет представление размерности 4371 над комплексными числами (без нетривиального инвариантного произведения) и представление размерности 4370 над полем с 2 элементами, сохраняющими коммутативный, но неассоциативный продукт.

Группа монстров Фишера – Грисса , M

Заказ:

   2 46 ⋅ 3 20 ⋅ 5 9 ⋅ 7 6 ⋅ 11 2 ⋅ 13 3 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Множитель Шура: Тривиально.

Группа внешних автоморфизмов: тривиально.

Другие названия: F 1 , M 1 , Группа монстров, Дружелюбный великан, чудовище Фишера.

Примечания. Содержит все остальные спорадические группы, кроме 6, в качестве подфакторов. Относится к чудовищному самогону . Монстр является группой автоморфизмов 196 883-мерной алгебры Грисса и бесконечномерной алгебры вершинных операторов монстров и естественным образом действует на алгебре Ли монстров .

Нециклические простые группы малого порядка

Заказ Заказ с факторингом Группа Множитель Шура Группа внешних автоморфизмов
60 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 А 5 = А 1 (4) = А 1 (5) 2 2
168 2 3 ⋅ 3 ⋅ 7 А 1 (7) = А 2 (2) 2 2
360 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 А 6 = А 1 (9) = В 2 (2) ′ 6 2 × 2
504 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 А 1 (8) = 2 G 2 (3) ′ 1 3
660 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 А 1 (11) 2 2
1092 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 А 1 (13) 2 2
2448 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17 А 1 (17) 2 2
2520 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 А 7 6 2
3420 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19 А 1 (19) 2 2
4080 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17 А 1 (16) 1 4
5616 2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13 А 2 (3) 1 2
6048 2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7 2 A 2 (9) = G 2 (2) ′ 1 2
6072 2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23 А 1 (23) 2 2
7800 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13 А 1 (25) 2 2 × 2
7920 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 П 11 1 1
9828 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13 А 1 (27) 2 6
12180 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29 А 1 (29) 2 2
14880 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31 А 1 (31) 2 2
20160 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 А 3 (2) = А 8 2 2
20160 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 А 2 (4) 3 × 4 2 D 12
25308 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37 А 1 (37) 2 2
25920 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 А 3 (4) = В 2 (3) 2 2
29120 2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 2 В 2 (8) 2 2 3
32736 2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31 А 1 (32) 1 5
34440 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41 А 1 (41) 2 2
39732 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43 А 1 (43) 2 2
51888 2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47 А 1 (47) 2 2
58800 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 А 1 (49) 2 2 2
62400 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13 2 А 2 (16) 1 4
74412 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53 А 1 (53) 2 2
95040 2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 M 12 2 2

(Выполнено для заказов менее 100000)

Холл (1972) перечисляет 56 нециклических простых групп порядка меньше миллиона.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки