Композиционная серия - Composition series

В абстрактной алгебре , A серия композиции обеспечивает способ разбивать алгебраическую структуру , такие как группа или модуль , на простые куски. Необходимость рассмотрения ряда состава в контексте модулей вытекает из того факта , что многие природные модули не являются полупростом , следовательно , не может быть разложены в прямую сумму из простых модулей . Композиция серия модуля M является конечным увеличением фильтрации из M с помощью подмодулей таким образом, что последовательные факторы являются простыми и служит в качестве замены прямого разложения суммы из М в его простые составные части.

Серии композиций могут не существовать, а когда они существуют, они не обязательно должны быть уникальными. Тем не менее группа результатов, известная под общим названием теорема Жордана – Гёльдера, утверждает, что всякий раз, когда существуют композиционные ряды, классы изоморфизма простых частей (хотя, возможно, не их положение в рассматриваемых композиционных рядах) и их кратности определяются однозначно. Таким образом, композиционные ряды могут использоваться для определения инвариантов конечных групп и артиновых модулей .

Связанное, но отличное понятие - это главный ряд : композиционный ряд - это максимальный субнормальный ряд , а главный ряд - это максимальный нормальный ряд .

Для групп

Если группа G имеет нормальную подгруппу N , то фактор - группа G / Н может быть сформирована, и некоторые аспекты исследования структуры G может быть разбиты путем изучения «меньше» группы G / N и N . Если G не имеет нормальную подгруппы, которая отличается от G и от тривиальной группы, то G является простой группой . В противном случае естественно возникает вопрос, можно ли свести G к простым «частям», и если да, то есть ли какие-то уникальные особенности того, как это можно сделать?

Более формально, А состав серия из группы G является субнормальными сериями конечной длины

${\ Displaystyle 1 = Н_ {0} \ треугольник слева Н_ {1} \ треугольник слева \ cdots \ треугольник слева Н_ {п} = G,}$

со строгими включениями, такими, что каждая H _i является максимальной собственной нормальной подгруппой в H _{i +1} . Эквивалентно, серия композиции представляет собой ряд субнормального таким образом, что каждый фактор - группу Н _{я + 1} / Н _я является простым . Факторные группы называются композиционными факторами .

Субнормальный ряд является композиционным тогда и только тогда, когда он имеет максимальную длину. То есть нет дополнительных подгрупп, которые можно «вставить» в композиционный ряд. Длина серии n называется длиной композиции .

Если композиционный ряд существует для группы G , то любой субнормальный ряд группы G может быть уточнен до композиционного ряда, неформально, путем вставки подгрупп в ряд до максимума. Каждая конечная группа имеет композиционную серию, но не каждая бесконечная группа имеет ее. Например, не имеет композиционной серии. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Единственность: теорема Жордана – Гёльдера.

В группе может быть несколько композиционных серий. Однако теорема Жордана – Гёльдера (названная в честь Камиллы Джордан и Отто Гёльдера ) утверждает, что любые две композиционные серии данной группы эквивалентны. То есть они имеют одинаковую композиционную длину и одинаковые композиционные факторы с точностью до перестановки и изоморфизма . Эта теорема может быть доказана с помощью уточняющей теоремы Шрайера . Теорема Жордана – Гёльдера также верна для трансфинитных восходящих композиционных рядов, но не для трансфинитных нисходящих композиционных рядов ( Birkhoff, 1934 ). Баумслаг (2006) дает краткое доказательство теоремы Жордана – Гёльдера, пересекая члены одной субнормальной серии с членами другой серии.

Пример

Для циклической группы порядка n композиционные ряды соответствуют упорядоченным разложениям числа n на простые множители и фактически дают доказательство основной теоремы арифметики .

Например, циклическая группа имеет и как три различные композиционные ряды. Последовательности композиционных факторов, полученные в соответствующих случаях, равны и${\ displaystyle C_ {12}}$${\ displaystyle C_ {1} \ треугольникleft C_ {2} \ треугольникleft C_ {6} \ треугольникleft C_ {12}, \ \, C_ {1} \ треугольникleft C_ {2} \ треугольникleft C_ {4} \ треугольникleft C_ {12 },}$${\ Displaystyle C_ {1} \ треугольникleft C_ {3} \ треугольникleft C_ {6} \ треугольникleft C_ {12}}$${\ Displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {2}, \ \, C_ {2}, C_ {2}, C_ {3},}$${\ displaystyle C_ {3}, C_ {2}, C_ {2}.}$

Для модулей

Определение композиционных рядов для модулей ограничивает все внимание подмодулями, игнорируя все аддитивные подгруппы, которые не являются подмодулями. Для кольца R и R -модуля M композиционная серия для M - это серия подмодулей

${\ Displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} = M}$

где все включения строгие, а J _k - максимальный подмодуль в J _{k +1} для каждого k . Что касается групп, если M вообще имеет композиционный ряд, то любой конечный строго возрастающий ряд подмодулей M может быть уточнен до композиционного ряда, и любые два композиционных ряда для M эквивалентны. В этом случае (простой) фактор - модули J _{K + 1} / J _K известны как композиционные факторы на М, и Жордан-Гёльдер теорема, гарантируя , что число появлений каждого типа изоморфизма простой R - модуль как фактор композиции не зависит от выбора серии композиций.

Хорошо известно, что модуль имеет конечный композиционный ряд тогда и только тогда, когда он является одновременно артиновым и нётеровым модулем . Если R - артиново кольцо , то каждый конечно порожденный R -модуль является артиновым и нётеровым, а значит, имеет конечный композиционный ряд. В частности, для любого поля K любой конечномерный модуль конечномерной алгебры над K имеет композиционный ряд, единственный с точностью до эквивалентности.

Обобщение

Группы с набором операторов обобщают групповые действия и групповые действия в группе. Можно следовать единому подходу как к группам, так и к модулям, как в ( Bourbaki 1974 , Ch. 1) или ( Isaacs 1994 , Ch. 10), что упрощает некоторые изложения. Группа G рассматривается как действующая элементами (операторами) из множества Ω . Внимание целиком ограничивается подгруппами, инвариантными относительно действия элементов из Ω , называемыми Ω -подгруппами. Таким образом, Ω- составные ряды должны использовать только Ω- подгруппы, а Ω- составные факторы должны быть только Ω-простыми. Стандартные результаты, приведенные выше, такие как теорема Жордана – Гёльдера, устанавливаются с почти идентичными доказательствами.

Восстановленные частные случаи включают, когда Ω = G, так что G действует на самой себе. Важный пример этого - когда элементы группы G действуют сопряжением, так что набор операторов состоит из внутренних автоморфизмов . Сочинительный сериал по этому действию - это как раз и главный сериал . Модульные структуры - это случай Ω-действий, где Ω - кольцо и выполняются некоторые дополнительные аксиомы.

Для объектов абелевой категории

Композиционный ряд из объекта А в качестве абелевой категории представляет собой последовательность подобъектов

${\ Displaystyle A = X_ {0} \ supsetneq X_ {1} \ supsetneq \ dots \ supsetneq X_ {n} = 0}$

такой, что каждый фактор-объект X _i  / X _{i  + 1} является простым (для 0 ≤ i < n ). Если имеет композиционный ряд, то число п зависит только от А и называется длиной от A .

Смотрите также

• Теория Крона – Родса , полугрупповой аналог.
• Теорема Шрайера об уточнении , любые два эквивалентных субнормальных ряда имеют эквивалентные уточнения композиционных рядов.
• Лемма Цассенхауза , используемая для доказательства теоремы Шрайера об уточнении

Примечания

использованная литература

• Биркгоф, Гарретт (1934), "Трансфинитные серии подгрупп" , Бюллетень Американского математического общества , 40 (12): 847–850, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1934-05982-2
• Баумслаг, Бенджамин (2006), «Простой способ доказательства теоремы Джордана-Гёльдера-Шрайера», American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307 / 27642092
• Бурбаки, Н. (1974), Алгебра , Герман, Париж; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• Айзекс, И. Мартин (1994), Алгебра: последипломный курс , Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Категории и связки