Полный набор инвариантов - Complete set of invariants

В математике полный набор инвариантов для задачи классификации представляет собой набор отображений

${\ displaystyle f_ {i}: от X \ до Y_ {i}}$

(где - это совокупность классифицируемых объектов с точностью до отношения эквивалентности , а - некоторые множества), так что тогда и только тогда, когда для всех . На словах, такие, что два объекта эквивалентны тогда и только тогда, когда все инварианты равны. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ Displaystyle х \ сим х '}$${\ Displaystyle е_ {я} (х) = е_ {я} (х ')}$${\ displaystyle i}$

Символически полный набор инвариантов - это набор карт, таких что

${\ displaystyle \ left (\ prod f_ {i} \ right) :( X / \ sim) \ to \ left (\ prod Y_ {i} \ right)}$

является инъективным .

Поскольку инварианты по определению равны на эквивалентных объектах, равенство инвариантов является необходимым условием эквивалентности; полный набор инвариантов является такое множество, что равенство из них является также достаточным для эквивалентности. В контексте действия группы это можно сформулировать так: инварианты - это функции коинвариантов (классы эквивалентности, орбиты), а полный набор инвариантов характеризует коинварианты (представляет собой набор определяющих уравнений для коинвариантов).

Примеры

• В классификации двумерных замкнутых многообразий , эйлерова характеристика (или род ) и ориентируемость представляют собой полный набор инвариантов.
• Жорданова нормальная форма матрицы является полным инвариантом для матриц с точностью до сопряжения, а собственные значения (с кратностями) - нет.

Реализуемость инвариантов

Полный набор инвариантов не сразу дает классификационную теорему : не все комбинации инвариантов могут быть реализованы. Символически необходимо также определить образ

${\ displaystyle \ prod f_ {i}: X \ to \ prod Y_ {i}.}$

Ссылки