Гомотопия - Homotopy

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет одну возможную гомотопию.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопическими (от греческого ὁμός homós «тот же, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна может быть «непрерывно деформирована» в другую, например деформация называется гомотопией между двумя функциями. Заметное использование гомотопии - определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии .

На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно порожденными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение

Гомотопия между двумя вложениями в торе в R ³ : как «поверхность бублика» и как «поверхность кружка кофе». Это тоже пример изотопии .

Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y, такое что и для все . ${\ Displaystyle H: X \ раз [0,1] \ до Y}$${\ Displaystyle Н (х, 0) = е (х)}$${\ Displaystyle Н (х, 1) = г (х)}$${\ displaystyle x \ in X}$

Если мы считаем , что второй параметр из H в качестве времени , то Н описывает непрерывную деформацию из F в г : в момент времени 0 мы имеем функцию F , и в момент времени 1 мы имеем функцию г . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g, когда ползунок перемещается от 0 до 1 и наоборот.

Альтернативное обозначение - сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями - это семейство непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно из в . Две версии совпадают по настройке . Недостаточно требовать, чтобы каждая карта была непрерывной. ${\ displaystyle f, g: X \ to Y}$${\ displaystyle h_ {t}: от X \ до Y}$${\ Displaystyle т \ в [0,1]}$${\ displaystyle h_ {0} = f}$${\ displaystyle h_ {1} = g}$ ${\ Displaystyle (х, т) \ mapsto h_ {т} (х)}$${\ Displaystyle X \ раз [0,1]}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle h_ {t} (x) = H (x, t)}$${\ displaystyle h_ {t} (x)}$

Анимация, которая зацикливается наверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями , f и g , тора в R ³ . X - тор, Y - R ³ , f - некоторая непрерывная функция от тора до R ^3, которая переводит тор во вложенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g - некоторая непрерывная функция, которая переводит тор во вложенную форму поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h _t ( x ) как функцию параметра t , где t изменяется со временем от 0 до 1 в течение каждого цикла цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t изменяется обратно от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.

Характеристики

Непрерывные функции f и g называются гомотопическими тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Будучи гомотопными является отношением эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y . Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f ₁ , g ₁  : X → Y гомотопны и f ₂ , g ₂  : Y → Z гомотопны, то их композиции f ₂  ∘  f ₁ и g ₂  ∘  g ₁  : X → Z также гомотопны.

Примеры

• Если заданы как и , то отображение, данное как, является гомотопией между ними.${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle е (х): = \ влево (х, х ^ {3} \ вправо)}$${\ Displaystyle г (х) = \ влево (х, е ^ {х} \ вправо)}$${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} \ times [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle Н (х, т) = \ влево (х, (1-т) х ^ {3} + тэ ^ {х} \ вправо)}$
• В более общем смысле , если является выпуклое подмножество евклидова пространства и имеют дорожки с теми же концами, то есть линейный Гомотопический (или прямой линии Гомотопический ) задается ${\ Displaystyle С \ substeq \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle f, g: [0,1] \ к C}$

  ${\ Displaystyle {\ begin {align} H: [0,1] & \ times [0,1] \ longrightarrow C \\ (s, t) \ longmapsto (1 & -t) f (s) + tg (s) . \ end {выровнено}}}$

• Позвольте быть тождественной функцией на единице n - диска ; т.е. набор . Позвольте быть постоянной функцией, которая отправляет каждую точку в начало координат . Тогда между ними существует гомотопия: ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {B ^ {n}}: B ^ {n} \ to B ^ {n}}$${\ displaystyle B ^ {n}: = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | \ leq 1 \ right \}}$${\ displaystyle c _ {\ vec {0}}: B ^ {n} \ to B ^ {n}}$ ${\ Displaystyle с _ {\ vec {0}} (х): = {\ vec {0}}}$

  ${\ displaystyle {\ begin {align} H: B ^ {n} & \ times [0,1] \ longrightarrow B ^ {n} \\ (x, t) & \ longmapsto (1-t) x. \ end {выровнено}}}$

Гомотопическая эквивалентность

Принимая во внимание два топологических пространства X и Y , A гомотопическая эквивалентность между Й и Y представляет собой пару непрерывных отображений F  : X → Y и г  : Y → X , такие , что г  ∘  е гомотопен тождественное отображение идентификатор _Х и е  ∘  г гомотопный ид _Y . Если такая пара существует, то говорят , что X и Y гомотопически эквивалентны или относятся к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если они могут быть преобразованы друг в друга с помощью операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма

Гомеоморфизм представляет собой частный случай гомотопической эквивалентности, в котором г  ∘  е равно тождественное отображение идентификатора _X (не только гомотопный к нему), а е  ∘  г равно ид _Y . Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:

• Твердый диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете деформировать диск по радиальным линиям непрерывно до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно - бесконечное множество, а другое - конечное).
• Мёбиус и раскручивается (закрытые) полосы гомотопически эквивалентны, так как вы можете деформировать обе полосы непрерывно по кругу. Но они не гомеоморфны.

Примеры

• Первый пример гомотопической эквивалентности - точка, обозначенная . Часть, которая должна быть проверена, - это наличие гомотопии между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п} \ simeq \ {0 \}}$${\ displaystyle H: I \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$${\ displaystyle p_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle Ч (т, \ cdot) = т \ cdot p_ {0} + (1-т) \ cdot \ OperatorName {id} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$
• Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сферой ) и . ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} - \ {0 \}}$
  • В более общем плане .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \} \ simeq S ^ {n-1}}$
• Любое расслоение со слоями, гомотопически эквивалентными точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальное и базовое пространства. Это обобщает предыдущие два примера, поскольку представляет собой пучок волокон с волокном .${\ displaystyle \ pi: E \ to B}$${\ displaystyle F_ {b}}$${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \} \ to S ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$
• Каждое векторное расслоение является расслоением со слоистой гомотопией, эквивалентной точке.
• Для любого , написав as и применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.${\ Displaystyle 0 \ Leq к <п}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ mathbb {R} ^ {k} \ simeq S ^ {nk-1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k} \ times \ mathbb {R} ^ {nk}}$
• Если подкомплекс из комплекса CW стягивается, то фактор - пространство гомотопически эквивалентно .${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X / A}$${\ displaystyle X}$
• Деформационная ретракция гомотопическая эквивалентность.

Нуль-гомотопия

Функция f называется гомотопной нулю. если он гомотопен постоянной функции. (Гомотопию от f к постоянной функции тогда иногда называют нулевой гомотопией .) Например, отображение f из единичной окружности S ¹ в любое пространство X является нулевым гомотопным именно тогда, когда оно может быть непрерывно расширено до отображения из единичный диск D ² в X , совпадающее с F на границе.

Из этих определений следует, что пространство X стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из X в себя - которое всегда является гомотопической эквивалентностью - гомотопно нулю.

Инвариантность

Гомотопическая эквивалентность важна, потому что в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть они уважают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:

• Х является линейно связным тогда и только тогда , когда Y представляет.
• X является односвязной тогда и только тогда , когда Y есть.
• В (сингулярные) гомологии и когомологий из X и Y являются изоморфными .
• Если Х и Y являются линейно связным, то фундаментальные группы из X и Y изоморфны, и поэтому высшие гомотопические группы . (Без предположения линейной связности π ₁ ( X ,  x ₀ ) изоморфна π ₁ ( Y ,  f ( x ₀ )), где f  : X → Y - гомотопическая эквивалентность и x ₀ ∈ X. )

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не является гомотопически-инвариантной).

Варианты

Относительная гомотопия

Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, в которых элементы подпространства остаются фиксированными. Формально: если е и г непрерывные отображения из X в Y и K представляет собой подмножество из X , то мы говорим , что е и г гомотопны относительно K , если существует гомотопия H  : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того , если г является отвод из X в К и е тождественное отображение, это известно , как сильной деформации ретракта из X в K . Когда K является точкой, используется термин заостренная гомотопия .

Изотопия

Тривиальный узел не эквивалентен трилистник , так как никто не может быть деформирован в другую через непрерывный путь гомеоморфизмов окружающего пространства. Таким образом, они не являются окружающими изотопами.

В случае, если две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно спросить, могут ли они быть связаны «посредством вложений». Это приводит к концепции изотопии , которая является Гомотопический, Н , в обозначениях использовали до этого , таким образом, что при каждом фиксированном т , Н ( х ,  т ) дает вложение.

Родственная, но другая концепция - это концепция окружающей изотопии .

Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение из интервала [−1, 1] в действительные числа, определенные как f ( x ) = - x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до идентичности должна была бы поменять конечные точки, что означало бы, что они должны будут «проходить» друг через друга. Более того, f изменило ориентацию интервала, а g - нет, что невозможно при изотопии. Однако карты гомотопны; одна гомотопия из f в тождество - это H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная H ( x ,  y ) = 2 yx  -  x .

Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, согласованные на границе, можно показать, что они изотопны, используя уловку Александера . По этой причине, карта единичного круга в R ² , определяемой F ( х ,  у ) = (- х , - у ) изотопно на 180 градусов поворота вокруг начала координат, и поэтому тождественное отображение и е изотопны потому что они могут быть соединены вращениями.

В геометрической топологии - например, в теории узлов - идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда следует считать два узла одним и тем же? Берем два узла, K ₁ и K ₂ , в трехмерном мерном пространстве. Узел - это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее изображением в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, состоит в том, что можно деформировать одно вложение в другое с помощью пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся с t  = 0, дающая вложение K ₁ , заканчивающаяся в t  = 1, дающая вложение K ₂ , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучали в этом контексте является Изотопией большего пространства, рассматриваемой в свете его действий на встроенном подмногообразия. Узлы K ₁ и K ₂ считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещает K ₁ в K ₂ . Это подходящее определение в топологической категории.

Подобный язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где есть более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями - это гладкая изотопия .

Времениподобная гомотопия

На лоренцевом многообразии определенные кривые различаются как времениподобные (представляющие то, что движется только вперед, а не назад во времени в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная Гомотопический между двумя кривыми времениподобных является гомотопической таким образом, что кривая остатки времениподобных во время непрерывного перехода от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времениподобная кривая (СТК) на лоренцевом многообразии не является времяподобной гомотопной точке (то есть нулевой времяподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть односвязным (любым типом кривой) и все же быть времениподобным многосвязным .

Характеристики

Подъемно-раздвижные свойства

Если у нас есть гомотопия H  : X × [0,1] → Y и покрытие p  : Y → Y, и нам дано отображение h ₀  : X → Y такое, что H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ называется подъема из ч ₀ ), то мы можем поднять все H на карте H  : X × [0, 1] → Y такое , что р ○ H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .

Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, - это свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями от подмножества некоторого набора до самого набора. Это полезно при работе с кофибрациями .

Группы

Так как отношение двух функций гомотопности относительно подпространства является отношением эквивалентности, мы можем смотреть на классы эквивалентности отображений между фиксированным X и Y . Если мы зафиксируем , единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и мы возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначенную , где находится в образе подпространства . ${\ displaystyle f, g \ двоеточие от X \ до Y}$${\ Displaystyle X = [0,1] ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ partial ([0,1] ^ {п})}$${\ displaystyle \ pi _ {n} (Y, y_ {0})}$${\ displaystyle y_ {0}}$${\ Displaystyle \ partial ([0,1] ^ {п})}$

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В этом случае ее еще называют фундаментальной группой . ${\ displaystyle n = 1}$

Гомотопическая категория

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория является категорией, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмами гомотопические классы эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если он может быть выражен как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальным гомотопическим инвариантом: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H _n ( f ) = H _n ( g ): H _n ( X ) → H _n ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно линейно связаны и гомотопия между f и g указана, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также одинаковы: π _n ( f ) = π _n ( ж ): π _n ( X ) → π _n ( Y ).

Приложения

На основе концепции гомотопности, методы расчета для алгебраических и дифференциальных уравнений были разработаны. Методы для алгебраических уравнений включают метод продолжения гомотопии и метод продолжения (см. Численное продолжение ). К методам построения дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .

Смотрите также

• Волоконно-гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
• Гомеотопия
• Теория гомотопического типа
• Группа классов сопоставления
• Гипотеза Пуанкаре
• Регулярная гомотопия

использованная литература

Источники

• Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
• "Гомотопия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Изотопия (в топологии)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.