Реальная проективная плоскость - Real projective plane

Фундаментальный многоугольник проективной плоскости.	Мёбиусово полоса с одним краем, может быть закрыта в проективную плоскость путем склеивания противоположно открытые краев друга с другом.	Для сравнения, бутылка Клейна представляет собой ленту Мебиуса, замкнутую в цилиндр.

В математике , то реальная проективная плоскость является примером компактной не- ориентируемого двумерного многообразия ; другими словами, односторонняя поверхность . Он не может быть встроен в стандартное трехмерное пространство, не пересекаясь. Он имеет основные приложения к геометрии , поскольку обычная конструкция реальной проективной плоскости - это пространство прямых в R ^3, проходящих через начало координат.

Плоскость также часто описывают топологически, в терминах конструкции, основанной на ленте Мёбиуса : если бы можно было приклеить (единственный) край ленты Мёбиуса к самому себе в правильном направлении, можно было бы получить проективную плоскость. (Это невозможно сделать в трехмерном пространстве, если поверхность не пересекает сама себя.) Эквивалентно, приклеивание диска вдоль границы ленты Мёбиуса дает проективную плоскость. Топологически он имеет эйлерову характеристику 1, следовательно, полуигенус (неориентируемый род, род Эйлера) равен 1.

Поскольку ленту Мёбиуса, в свою очередь, можно построить из квадрата , склеив две его стороны вместе, реальная проективная плоскость может быть представлена в виде единичного квадрата (то есть [0, 1] × [0,1]) стороны которого идентифицируются следующими отношениями эквивалентности :

(0, y ) ~ (1, 1 - y ) для 0 ≤ y ≤ 1

а также

( x , 0) ~ (1 - x , 1) для 0 ≤ x ≤ 1,

как на крайней левой диаграмме, показанной здесь.

Примеры

Проективная геометрия не обязательно связана с кривизной, и реальная проективная плоскость может быть скручена и помещена в евклидову плоскость или 3-пространство разными способами. Некоторые из наиболее важных примеров описаны ниже.

Проективная плоскость не может быть вложена (то есть без пересечения) в трехмерное евклидово пространство . Доказательство того, что проективная плоскость не вложена в трехмерное евклидово пространство, выглядит следующим образом: если предположить, что она действительно вложена, она ограничит компактную область в трехмерном евклидовом пространстве по обобщенной теореме о жордановой кривой . Тогда направленное наружу единичное нормальное векторное поле даст ориентацию граничного многообразия, но граничное многообразие будет проективной плоскостью , которая не ориентируется. Это противоречие, и поэтому наше предположение, что оно действительно встраивается, должно быть ложным.

Проективная сфера

Рассмотрим сферу , и пусть большие круги сферы будут «прямыми», а пары противоположных точек будут «точками». Легко проверить, что эта система подчиняется аксиомам, требуемым от проективной плоскости :

любая пара различных больших окружностей пересекается в паре противоположных точек; а также
любые две различные пары противоположных точек лежат на одной большой окружности.

Если мы отождествим каждую точку на сфере с ее противоположной точкой, то мы получим представление реальной проективной плоскости, в котором «точки» проективной плоскости действительно являются точками. Это означает, что проективная плоскость - это фактор-пространство сферы, полученное разбиением сферы на классы эквивалентности по отношению эквивалентности ~, где x ~ y, если y = x или y = −x. Это фактор-пространство сферы гомеоморфно совокупности всех прямых, проходящих через начало координат в R ³ .

Факторное отображение сферы на действительную проективную плоскость на самом деле представляет собой двулистное (то есть, взаимно однозначное) накрывающее отображение . Отсюда следует, что фундаментальной группой вещественной проективной плоскости является циклическая группа порядка 2; т.е. целые числа по модулю 2. В качестве генератора можно взять цикл AB из рисунка выше.

Проективное полушарие

Поскольку сфера дважды покрывает реальную проективную плоскость, плоскость может быть представлена как замкнутая полусфера, на краю которой аналогично определены противоположные точки.

Поверхность мальчика - погружение

Проективная плоскость может быть погружена (локальные окрестности исходного пространства не имеют самопересечений) в 3-мерное пространство. Поверхность мальчика - пример погружения.

Примеры многогранников должны иметь не менее девяти граней.

Римская поверхность

Анимация римской поверхности

Римская поверхность Штейнера - это более вырожденное отображение проективной плоскости в 3-мерное пространство, содержащее крест-накрест .

Тетрагемигексаэдр является многогранным представлением вещественной проективной плоскости.

Многогранное представление является тетрагемигексаэдром , который имеет ту же общую форму , как римская поверхность Штайнера, как показано здесь.

Геми-многогранники

Если смотреть в противоположном направлении, некоторые абстрактные правильные многогранники - полукуб , полудодекаэдр и полуикосаэдр - могут быть построены как правильные фигуры на проективной плоскости; см. также проективные многогранники .

Плоские проекции

Описаны различные плоские (плоские) проекции или отображения проективной плоскости. В 1874 году Кляйн описал отображение:

{\ Displaystyle к (х, у) = \ влево (1 + х ^ {2} + у ^ {2} \ вправо) ^ {\ гидроразрыва {1} {2}} {\ begin {pmatrix} х \\ у \ end {pmatrix}}}

Центральная проекция проективного полушария на плоскость дает обычную бесконечную проективную плоскость, описанную ниже.

Диск с крестообразным колпачком

Закрытая поверхность получается приклеиванием диска к крестовине . Эта поверхность может быть представлена параметрически следующими уравнениями:

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} Икс (и, v) & = г \, (1+ \ соз v) \, \ соз и, \\ Y (и, v) & = г \, (1+ \ cos v) \, \ sin u, \\ Z (u, v) & = - \ operatorname {tanh} \ left (u- \ pi \ right) \, r \, \ sin v, \ end {выровнено}} }

где u и v находятся в диапазоне от 0 до 2 π .

Эти уравнения аналогичны уравнениям тора . На рис. 1 показан закрытый диск с перемычкой.

Рис. 1. Два вида диска с крестообразным колпачком.

Диск с перекрестным колпачком имеет плоскость симметрии, которая проходит через его линейный сегмент, состоящий из двойных точек. На рисунке 1 диск с перекрестной крышкой виден сверху в его плоскости симметрии z = 0, но он будет выглядеть так же, если смотреть снизу.

Диск с перекрестным колпачком можно разрезать вдоль его плоскости симметрии, следя за тем, чтобы не разрезать ни одну из его двойных точек. Результат показан на рисунке 2.

Рис. 2. Два вида разрезанного диска с крестообразным колпачком.

Как только это исключение будет сделано, будет видно, что разрезанный диск с перекрестной крышкой гомеоморфен самопересекающемуся диску, как показано на рисунке 3.

Рис. 3. Два альтернативных вида самопересекающегося диска.

Самопересекающийся диск гомеоморфен обычному диску. Параметрические уравнения самопересекающегося диска:

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} Икс (и, v) & = р \, v \, \ соз 2u, \\ Y (u, v) & = r \, v \, \ sin 2u, \\ Z (u, v) & = r \, v \, \ cos u, \ end {align}}}

где u составляет от 0 до 2 π, а v - от 0 до 1.

Если спроецировать самопересекающийся диск на плоскость симметрии ( z = 0 в параметризации, приведенной ранее), которая проходит только через двойные точки, в результате получается обычный диск, который повторяется (удваивается сам на себя).

Плоскость z = 0 разрезает самопересекающийся диск на пару дисков, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Диски имеют центры в начале координат .

Теперь рассмотрим обода дисков (при v = 1). Точки на ободе самопересекающегося диска попарно совпадают, и они являются отражениями друг друга относительно плоскости z = 0.

Диск с перекрестным колпачком формируется путем идентификации этих пар точек, что делает их эквивалентными друг другу. Это означает, что точка с параметрами ( u , 1) и координатами отождествляется с точкой ( u + π, 1), координаты которой равны . Но это означает, что пары противоположных точек на ободе (эквивалентного) обычного диска отождествляются друг с другом; так из диска формируется реальная проективная плоскость. Следовательно, поверхность, показанная на рисунке 1 (крестовина с диском), топологически эквивалентна реальной проективной плоскости RP ² . ${\ Displaystyle (г \, \ соз 2u, г \, \ грех 2u, г \, \ соз и)}$ ${\ Displaystyle (г \, \ соз 2u, г \, \ грех 2u, -r \, \ соз и)}$

Однородные координаты

Точки на плоскости можно представить однородными координатами . Точка имеет однородные координаты [ x : y : z ], где координаты [ x : y : z ] и [ tx : ty : tz ] считаются представляющими одну и ту же точку для всех ненулевых значений t . Точки с координатами [ x : y : 1] являются обычной реальной плоскостью , называемой конечной частью проективной плоскости, а точки с координатами [ x : y : 0], называемые точками на бесконечности или идеальными точками , составляют линию, называемую линия на бесконечности . (Однородные координаты [0: 0: 0] не представляют никакой точки.)

Линии на плоскости также могут быть представлены однородными координатами. Проективная прямая, соответствующая плоскости ax + by + cz = 0 в R ^3, имеет однородные координаты ( a : b : c ). Таким образом, эти координаты имеют отношение эквивалентности ( a : b : c ) = ( da : db : dc ) для всех ненулевых значений d . Следовательно, другое уравнение той же прямой dax + dby + dcz = 0 дает те же однородные координаты. Точка [ x : y : z ] лежит на прямой ( a : b : c ), если ax + by + cz = 0. Следовательно, линии с координатами ( a : b : c ), где a , b не равны 0, соответствуют к линиям на обычной реальной плоскости , потому что они содержат точки, которые не находятся на бесконечности. Линия с координатами (0: 0: 1) - это линия на бесконечности, поскольку единственные точки на ней - это точки с z = 0.

Точки, линии и плоскости

Линия в P ² может быть представлена уравнением ax + как + cz = 0. Если мы будем рассматривать a , b и c как вектор-столбец ℓ, а x , y , z как вектор-столбец x, то приведенное выше уравнение может быть записывается в матричной форме как:

x ^Tℓ = 0 или ℓ ^Tx = 0.

Используя векторные обозначения, мы можем вместо этого записать x ⋅ ℓ = 0 или ℓ ⋅ x = 0.

Уравнение k ( x ^Tℓ ) = 0 (где k является ненулевым скаляром) заметает плоскость, которая проходит через нуль в R ^3, а k ( x ) выметает линию, снова проходя через нуль. Плоскость и прямая - линейные подпространства в R ³ , которые всегда проходят через нуль.

Идеальные точки

В P ² уравнение прямой имеет вид ax + by + cz = 0, и это уравнение может представлять прямую на любой плоскости, параллельной плоскости x , y, путем умножения уравнения на k .

Если z = 1, мы имеем нормированную однородную координату. Все точки с z = 1 создают плоскость. Давайте представим, что мы смотрим на эту плоскость (из позиции дальше по оси z и смотрим назад в сторону начала координат), и на ней нарисованы две параллельные линии. С того места, где мы стоим (учитывая наши визуальные возможности), мы можем видеть только определенную часть плоскости, которую мы представляем как область, обведенную красным на схеме. Если мы отойдем от плоскости по оси z (все еще глядя назад в сторону начала координат), мы сможем увидеть большую часть плоскости. В нашем поле зрения сместились исходные точки. Мы можем отразить это движение, разделив однородную координату на константу. На соседнем изображении мы разделили на 2, поэтому теперь значение z становится равным 0,5. Если мы отойдем достаточно далеко, то, на что мы смотрим, станет точкой вдали. Уходя, мы видим все больше и больше параллельных линий. Линии пересекаются на бесконечности (линия, проходящая через ноль на плоскости при z = 0 ). Линии на плоскости при z = 0 - идеальные точки. Плоскость в точке z = 0 - это линия на бесконечности.

Однородная точка (0, 0, 0) - это то место, куда идут все реальные точки, когда вы смотрите на плоскость с бесконечного расстояния, линия на плоскости z = 0 - это место пересечения параллельных линий.

Двойственность

В уравнении x ^Tℓ = 0 есть два вектора-столбца . Вы можете оставить одно постоянным и изменять другое. Если мы сохраняем точку x постоянной и меняем коэффициенты ℓ, мы создаем новые линии, проходящие через точку. Если мы сохраним коэффициенты постоянными и изменим точки, удовлетворяющие уравнению, мы создадим линию. Мы рассматриваем x как точку, потому что мы используем оси x , y и z . Если бы мы вместо этого построили коэффициенты с использованием осей, отмеченных a , b , c, точки стали бы линиями, а линии стали бы точками. Если вы что-то доказываете с помощью данных, нанесенных на оси, отмеченные x , y и z, тот же аргумент можно использовать для данных, нанесенных на оси, отмеченные a , b и c . Это двойственность.

Линии, соединяющие точки и пересечение линий (с использованием двойственности)

Уравнение x ^Tℓ = 0 вычисляет скалярное произведение двух векторов-столбцов. Внутреннее произведение двух векторов равно нулю, если векторы ортогональны . В P ² линия между точками x ₁ и x ₂ может быть представлена как вектор-столбец ℓ, который удовлетворяет уравнениям x ₁^Tℓ = 0 и x ₂^Tℓ = 0 , или, другими словами, вектор-столбец ℓ, который является ортогональные x ₁ и x ₂ . Перекрестное произведение будет найти такой вектор: линия , соединяющая две точки имеет однородные координаты , заданной уравнением х ₁ × х ₂ . Пересечение двух прямых может быть найдено таким же образом, используя двойственность, как перекрестное произведение векторов, представляющих прямые, ℓ ₁ × ℓ ₂ .

Вложение в 4-мерное пространство

Проективная плоскость вкладывается в 4-мерное евклидово пространство. Вещественная проективная плоскость P ² ( R ) - это фактор двумерной сферы

S ² = {( x , y , z ) ∈ R ³ : x ² + y ² + z ² = 1}.

антиподальным отношением ( x , y , z ) ~ (- x , - y , - z ) . Рассмотрим функцию R ³ → R ^4, заданную формулой ( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y ² - z ² , 2 yz ) . Эта карта ограничивает к карте которой домен S ² , и, поскольку каждый компонент представляет собой однородный многочлен четной степени, он принимает то же значение в R ^- на каждом из любых двух диаметрально противоположных точек на S ² . Это дает отображение P ² ( R ) → R ⁴ . Более того, это отображение является вложением. Обратите внимание, что это вложение допускает проекцию в R ^3, которая является римской поверхностью .

Высшие неориентируемые поверхности

Последовательно склеивая проективные плоскости, мы получаем неориентируемые поверхности высшего полукруга . Процесс склейки состоит из вырезания небольшого диска с каждой поверхности и обозначения ( склеивания ) их граничных окружностей. Склеивание двух проективных плоскостей создает бутылку Клейна .

Статья о фундаментальном многоугольнике описывает высшие неориентируемые поверхности.

Languages

In other projects