Инвариантность домена - Invariance of domain

Инвариантность области является теорема топологии о гомеоморфных подмножеств в евклидовом пространстве . Говорится: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Если это открытое подмножество из и является инъективны непрерывное отображение , то открыто в и является гомеоморфизмом между и .${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle V: = е (U)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Теорема и ее доказательство принадлежат Л. Дж. Брауэру , опубликованному в 1912 году. Доказательство использует инструменты алгебраической топологии , в частности теорему Брауэра о неподвижной точке .

Заметки

Заключение теоремы можно эквивалентно сформулировать так: « есть открытая карта ». ${\ displaystyle f}$

Обычно, чтобы проверить, что это гомеоморфизм, нужно проверить, что оба элемента и его обратная функция непрерывны; теорема гласит, что если область является открытым подмножеством и изображение также находится в, то непрерывность является автоматической. Кроме того, теорема утверждает, что если два подмножества и из гомеоморфны и открыты, то они также должны быть открытыми. (Обратите внимание, что это открыто как подмножество, а не только в топологии подпространства. Открытость в топологии подпространства является автоматической.) Оба эти утверждения совсем не очевидны и обычно неверны, если кто-то покидает евклидово пространство. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle V}$

Отображение, не являющееся гомеоморфизмом своего образа: с${\ displaystyle g: (- 1.1,1) \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle g (t) = \ left (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t \ right).}$

Крайне важно , чтобы обе области и изображения из содержатся в евклидовом пространстве той же размерности . Рассмотрим, например, карту, определенную с помощью. Эта карта является инъективной и непрерывной, область является открытым подмножеством , но изображение не открыто в . Более крайним примером является карта, определенная с помощью, потому что здесь является инъективной и непрерывной, но даже не дает гомеоморфизм на его образ. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle f: (0,1) \ к \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle f (t) = (t, 0).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$${\ displaystyle g: (- 1.1,1) \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle г (т) = \ влево (т ^ {2} -1, т ^ {3} -т \ вправо)}$${\ displaystyle g}$

Теорема также обычно неверна в бесконечных измерениях. Рассмотрим, например, банахово lp-пространство всех ограниченных вещественных последовательностей . Определить как сдвиг Then является инъективным и непрерывным, область в нем открыта , а изображение - нет. ${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle f: \ ell ^ {\ infty} \ to \ ell ^ {\ infty}}$${\ displaystyle f \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right) = \ left (0, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

Последствия

Важным следствием теоремы об инвариантности области является то, что она не может быть гомеоморфна if. Действительно, никакое непустое открытое подмножество не может быть гомеоморфно какому-либо открытому подмножеству в этом случае. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle m \ neq n.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Обобщения

Теорема об инвариантности области может быть обобщена на многообразия : если и являются топологическими n -многообразиями без границы и являются непрерывным отображением, которое локально взаимно однозначно (это означает, что каждая точка в имеет такую окрестность , которая ограничена этой окрестностью, инъективна) , то это открытое отображение (то есть открытое во всех случаях, когда является открытым подмножеством ) и локальный гомеоморфизм . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f: M \ to N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$

Существуют также обобщения некоторых типов непрерывных отображений из банахова пространства в себя.

Смотрите также

• Теорема об открытом отображении для других условий, обеспечивающих открытость данной непрерывной карты.

Рекомендации

Внешние ссылки

• Милл, Дж. Ван (2001) [1994], "Доменная инвариантность" , Энциклопедия математики , EMS Press