Ранг (дифференциальная топология) - Rank (differential topology)

В математике , то ранг из дифференцируемого отображения между дифференцируемыми многообразиями в точке является рангом от производной от в . Напомним, что производная at является линейным отображением${\ displaystyle f: M \ to N}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle d_ {p} f: T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N \,}$

из касательного пространства в точке p к касательному пространству в точке f ( p ). В качестве линейного отображения между векторными пространствами он имеет четко определенный ранг, который является только измерением от изображения в Т _{е ( р )} N :

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (f) _ {p} = \ dim (\ operatorname {im} (d_ {p} f)).}$

Карты постоянного ранга

Дифференцируемое отображение F  : М → Н , как говорят, постоянный ранг , если ранг F является одинаковым для всех р в М . Карты постоянного ранга обладают рядом хороших свойств и являются важным понятием в дифференциальной топологии .

Имеются три частных случая отображений постоянного ранга. Отображение постоянного ранга f  : M → N является

• погружение , если ранг F = тусклого M (т.е. производная всюду инъективная ),
• погружение в воду , если ранг F = тусклый N (то есть производная всюду сюръективны ),
• локальный диффеоморфизм , если ранг F = тусклые М = тусклый Н (т.е. производная всюду биективна ).

Само отображение f не обязательно должно быть инъективным, сюръективным или биективным, чтобы выполнялись эти условия, важно только поведение производной. Например, есть инъективные карты, которые не являются погружениями, и погружения, которые не являются инъекциями. Однако если f  : M → N - гладкое отображение постоянного ранга, то

• если f инъективен, это погружение,
• если f сюръективен, это субмерсия,
• если f биективен, это диффеоморфизм .

Карты постоянного ранга имеют хорошее описание в терминах локальных координат . Предположим, что M и N - гладкие многообразия размерностей m и n соответственно, а f  : M → N - гладкое отображение с постоянным рангом k . Тогда для всех p в M существуют координаты ( x ¹ , ..., x ^m ) с центром в p и координаты ( y ¹ , ..., y ⁿ ) с центром в f ( p ) такие, что f задается формулой

${\ displaystyle f (x ^ {1}, \ ldots, x ^ {m}) = (x ^ {1}, \ ldots, x ^ {k}, 0, \ ldots, 0) \,}$

в этих координатах.

Примеры

Блокировка кардана происходит из-за того, что карта T ³ → RP ³ не имеет ранга 3 во всех точках. На этой анимации показан набор из трех подвесов, установленных вместе, чтобы обеспечить три степени свободы в целом (ранг 3 в обычных точках). Когда все три кардана выровнены (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех - она ​​имеет ранг 2 в такой особой точке - и находится в блокировке кардана . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Карты, ранг которых в общем случае максимален, но падает в некоторых особых точках, часто встречаются в системах координат . Например, в сферической системе координат , ранг отображения из двух углов до точки на сфере (формально, отображение Т ² → S ² от тора к сфере) 2 в регулярных точках, но только 1 на северный и южный полюса ( зенит и надир ).

Более тонкий пример можно найти в диаграммах SO (3) , группы вращения . Эта группа широко используется в инженерии, поскольку трехмерные вращения широко используются в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO (3) является реальным проективным пространством RP ³ , и часто желательно представлять повороты набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), как потому, что это концептуально просто, так и потому, что можно Создайте комбинацию из трех подвесов для вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T ³ трех углов в реальное проективное пространство вращений RP ³ , но это отображение не имеет ранга 3 во всех точках (формально потому, что оно не может быть покрывающим отображением , поскольку единственное (Нетривиальное) покрывающее пространство - это гиперсфера S ³ ), а явление понижения ранга до 2 в определенных точках называется в технике блокировкой кардана .

Ссылки

• Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике 218 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95495-0.