Погружение (математика) - Submersion (mathematics)

В математике , погружение является дифференцируемое отображение между дифференцируемые многообразия которых дифференциал всюду сюръективно . Это основная концепция дифференциальной топологии . Понятие погружения двойственно понятию погружения .

Определение

Пусть M и N будут дифференцируемые многообразия и быть дифференцируемое отображение между ними. Отображение f является погружением в точку, если его дифференциал${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$ ${\ displaystyle p \ in M}$

${\ displaystyle Df_ {p} \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}$

является сюръективным линейным отображением . В этом случае р называется регулярной точкой отображения F , в противном случае, р является критической точкой . Точка является регулярным значением из F , если все точки р в прообразе являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение f , являющееся субмерсией в каждой точке , называется субмерсией . Эквивалентно, F является погружение в воду , если ее дифференциал имеет постоянный ранг , равный размерности N . ${\ displaystyle q \ in N}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (q)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle Df_ {p}}$

Слово предупреждения: некоторые авторы используют термин критическую точку для описания точки , где ранг из матрицы Якоби из е в р не является максимальным. В самом деле, это более полезное понятие в теории особенностей . Если размерность M больше или равна размерности N, то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность M меньше размерности N , все точки являются критическими в соответствии с приведенным выше определением (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана может быть максимальным (если он равен dim M ). Приведенное выше определение используется чаще; например, в формулировке теоремы Сарда .

Теорема о погружении

Учитывая субмерсию между гладким многообразием размерности и , для каждого есть сюръективные графики по всему , и по всему , таким образом, что ограничивается до погружения в воду , которые, когда выраженная в координатах , как , становится обычной ортогональной проекция . В качестве приложения для каждого обозначенного соответствующего слоя , можно снабдить структурой гладкого подмногообразия , размерность которого равна разности размеров и . ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ displaystyle \ phi: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ psi: V \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ двоеточие от U \ до V}$${\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ phi ^ {- 1}: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle p \ in N}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle M_ {p} = е ^ {- 1} (\ {p \})}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$

Например, рассмотрим задается матрица якобиан ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}.}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} и {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4x ^ {3} & 4y ^ {3} & 4z ^ {3} \ end {bmatrix}}.}$

Он имеет максимальный ранг во всех точках, кроме . Также волокна ${\ displaystyle (0,0,0)}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {t \}) ​​= \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4 } + c ^ {4} = t \ right \}}$

являются опорожнить для и равна в момент , когда . Следовательно, у нас есть только гладкая субмерсия, а подмножества являются двумерными гладкими многообразиями для . ${\ displaystyle t <0}$${\ displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {(0,0,0) \} \ to \ mathbb {R} _ {> 0},}$${\ displaystyle M_ {t} = \ left \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = t \верно\}}$${\ displaystyle t> 0}$

Примеры

• Любая проекция ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {m + n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {m + n}}$
• Локальные диффеоморфизмы
• Римановы погружения
• Проекция в гладком векторном расслоении или более общем гладком расслоении . Сюръективность дифференциала - необходимое условие существования локальной тривиализации .

Карты между сферами

Один большой класс примеров погружений - это погружения между сферами более высокого измерения, такими как

${\ displaystyle f: S ^ {n + k} \ к S ^ {k}}$

волокна которого имеют размер . Это связано с тем, что слои (прообразы элементов ) представляют собой гладкие многообразия размерности . Тогда, если мы пойдем по пути ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p \ in S ^ {k}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ gamma: I \ to S ^ {k}}$

и возьми откат

${\ displaystyle {\ begin {matrix} M_ {I} & \ to & S ^ {n + k} \\\ downarrow && \ downarrow f \\ I & \ xrightarrow {\ gamma} & S ^ {k} \ end {matrix} }}$

мы получаем пример особого вида бордизма , называемого рамочным бордизмом . Фактически, группы оснащенных кобордизмов тесно связаны со стабильными гомотопическими группами . ${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {fr}}$

Семейства алгебраических многообразий

Другой большой класс субмерсий - это семейства алгебраических многообразий , слои которых являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим многообразия, лежащие в основе этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семейство Weierstauss из эллиптических кривых является широко изученным погружением в воду , потому что она включает в себя множество технических сложностей , используемых для демонстрации более сложной теории, такие как пересечение гомология и извращенных пучки . Эту семью дает${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {X}} \ to S}$${\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {W}} \ to \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ {(t, x, y) \ in \ mathbb {A} ^ {1} \ times \ mathbb {A} ^ {2}: y ^ {2} = x (x-1) (xt) \}}$

где - аффинная линия, - аффинная плоскость. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, это эквивалентно пространства комплексной прямой и комплексной плоскости. Обратите внимание, что на самом деле мы должны удалить точки, потому что есть особенности (поскольку есть двойной корень). ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}, \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle t = 0,1}$

Местная нормальная форма

Если F : М → Н является погружение в воду на р и ф ( р ) = д ∈ N , то существует открытая окрестность U из р в М , открытая окрестность V из д в N , и локальные координаты ( х ₁ , ... , x _m ) в p и ( x ₁ ,…, x _n ) в q, такие что f ( U ) = V , и отображение f в этих локальных координатах является стандартной проекцией

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ ldots, x_ {m}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}$

Отсюда следует, что полный прообраз f ⁻¹ ( q ) в M регулярного значения q в N при дифференцируемом отображении f : M → N либо пуст, либо является дифференцируемым многообразием размерности dim M - dim N , возможно, несвязным . Это содержание теоремы о регулярном значении (также известной как теорема о погружении ). В частности, заключение верно для всех q в N, если отображение f является субмерсией.

Топологические многообразия субмерсий

Субмерсии также хорошо определены для общих топологических многообразий . Субмерсия топологического многообразия - это непрерывная сюръекция f  : M → N такая, что для всех p в M для некоторых непрерывных карт ψ в p и φ в f (p) отображение ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ равно проекции отображение из R ^m в R ⁿ , где m = dim ( M ) ≥ n = dim ( N ) .

Смотрите также

• Теорема Эресмана о расслоении

Заметки

Рекомендации

• Арнольд, Владимир И .; Гусейн-Заде, Сабир М .; Варченко, Александр Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
• Брюс, Джеймс У .; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42999-4. Руководство по ремонту  0774048 .
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-38753-1. Руководство по ремонту  1481707 .
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Штернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.