Союз (теория множеств) - Union (set theory)
В теории множеств , то объединение (обозначается ∪) из набора множеств является множество всех элементов в коллекции. Это одна из основных операций, с помощью которой наборы могут быть объединены и связаны друг с другом. А нулевое объединение относится к объединениюнаборовzero ()и по определению равнопустому набору.
Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблице математических символов .
Союз двух наборов
Объединение двух множеств A и B представляет собой совокупность элементов , которые находятся в A , в B , или в обоих A и B . В символах
- .
Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):
- A = { x - четное целое число больше 1}
- B = { x - нечетное целое число больше 1}
В качестве другого примера, число 9 не содержится в объединении набора простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набора четных чисел {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, потому что 9 не простое и не четное число.
Наборы не могут иметь повторяющихся элементов, поэтому объединение наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Наличие нескольких одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.
Алгебраические свойства
Бинарное объединение - это ассоциативная операция; то есть, для любых множеств , B и C ,
Таким образом , круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: либо из вышеперечисленных может быть записана в виде ∪ B ∪ C . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому наборы можно записывать в любом порядке. Пустое множество является единичным элементом для операции объединения. То есть, ∪ ∅ = , для любого множества A. Кроме того , операция объединения идемпотентна: ∪ = . Все эти свойства вытекают из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .
Пересечение распределяет по союзу
и союз распределяет по пересечению
Набор мощности множества U , вместе с операциями , данных объединения, пересечения и комплементации , является Булева алгебра . В этой булевой алгебре объединение может быть выражено в терминах пересечения и дополнения формулой
где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве U .
Конечные союзы
Можно взять объединение нескольких наборов одновременно. Например, объединение трех наборов A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C , и ничего больше. Таким образом, х является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда , когда х является , по меньшей мере , один из A , B , и C .
Конечное объединение является объединением конечного числа множеств; фраза не означает, что объединенное множество является конечным множеством .
Произвольные союзы
Наиболее общее понятие - это объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если М представляет собой набор или класс , элементы которого является множеством, то х является элементом объединения M тогда и только тогда , когда существует по меньшей мере , один элемент , из М такое , что х является элементом A . В символах:
Эта идея включает предыдущие разделы - например, A ∪ B ∪ C - это объединение набора { A , B , C }. Кроме того, если M - пустой набор, то объединение M - это пустое множество.
Обозначения
Обозначения для общей концепции могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для любых союзов включают , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I - это индексный набор, а это набор для каждого . В случае, когда индексное множество I является множеством натуральных чисел , используется запись , аналогичная обозначению бесконечных сумм в ряду.
Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.
Кодировка обозначений
В Юникоде объединение представлено символом U + 222A ∪ UNION . В TeX , визуализируется из \ чашки.
Смотрите также
- Алгебра множеств
- Чередование (теория формального языка) , объединение множеств строк
- Аксиома союза
- Несвязный союз
- Пересечение (теория множеств)
- Итерированная бинарная операция
- Список установленных идентичностей и отношений
- Наивная теория множеств
- Симметричная разница
Заметки
Внешние ссылки
- "Союз множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана формально доказаны на основе аксиом теории множеств.