Подключенное пространство - Connected space

Связанные и отключенные подпространства R ²

Сверху вниз: красное пространство A , розовое пространство B , желтое пространство C и оранжевое пространство D - все подключенные пространства , тогда как зеленое пространство E (состоящее из подмножеств E1, E ₂ , E ₃ и E ₄ ) отключено . Кроме того, A и B также односвязны ( род 0), в то время как C и D нет: C имеет род 1, а D имеет род 4.

В топологии и смежных отраслей математики , А связное пространство является топологическим пространством , которое не может быть представлено в виде объединения двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств . Связность - одно из основных топологических свойств , которые используются для различения топологических пространств.

Подмножество топологического пространства X является связным множеством , если это связное пространство , когда рассматриваются как подпространство в X .

Некоторые связанные, но более сильные условия - это линейно связанные , односвязные и n-связанные условия . Другое родственное понятие - это локально связное понятие , которое не подразумевает и не следует из связности.

Формальное определение

Топологическое пространство X называется отсоединен , если он является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случае X называется связным . Подмножество топологического пространства называется связным , если он подключен под его подпространством топологии. Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но эта статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

X связно, то есть его нельзя разделить на два непересекающихся открытых множества.
X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
Единственные подмножества X, которые одновременно открыты и закрыты ( закрытые множества ), - это X и пустое множество.
Единственные подмножества X с пустой границей - это X и пустое множество.
X не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств (наборов, каждое из которых не пересекается с замыканием другого).
Все непрерывные функции от X до постоянны, где - двухточечное пространство с дискретной топологией. ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения X на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у Н. Дж. Леннеса, Фриджеса Рисса и Феликса Хаусдорфа в начале 20 века. См. Подробности.

Подключенные компоненты

В максимальных связных подмножеств (заказанные включения ) из непустого топологического пространства называются компоненты связности пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение на X : они не пересекаются , не пусто, и их объединение есть все пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности множества рациональных чисел являются одноточечными множествами ( синглетонами ), которые не являются открытыми. Доказательство: любые два различных рациональных числа находятся в разных компонентах. Возьмите иррациональное число , а затем установите и . Затем происходит разделение , и , . Таким образом, каждый компонент представляет собой одноточечный набор. ${\ displaystyle q_ {1} <q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {1} <r <q_ {2}}$ ${\ displaystyle A = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q <r \}}$ ${\ displaystyle B = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q> r \}}$ ${\ Displaystyle (А, В)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle q_ {1} \ in A}$ ${\ displaystyle q_ {2} \ in B}$

Пусть связная компонента х в топологическом пространстве X , а пересечение всех замкнутых множеств , содержащих х ( так называемые квази-компонент из х .) Тогда , где имеет место равенство , если X компактно Хаусдорфово или локально подключен. ${\ displaystyle \ Gamma _ {x}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {x} '}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {x} \ subset \ Gamma '_ {x}}$

Отключенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью несвязным . В связи с этим свойством, пространство Х называется полностью отделены , если для любых двух различных элементов х и у из X , существуют непересекающиеся открытые множества U , содержащее х и V , содержащие у , такие , что X является объединением U и V . Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью отключено, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и определите их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф , и условие полной отделенности строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Примеры

Отрезок в стандартной топологии подпространства связен; хотя его можно, например, записать как объединение, а второй набор не открыт в выбранной топологии ${\ displaystyle [0,2)}$ ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle [1,2),}$ ${\ displaystyle [0,2).}$
Объединение и отключено; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве ${\ displaystyle [0,1)}$ ${\ displaystyle (1,2]}$ ${\ Displaystyle [0,1) \ чашка (1,2].}$
${\ Displaystyle (0,1) \ чашка \ {3 \}}$ отключен.
Выпуклое подмножество из R ^п соединен; на самом деле это просто связано .
Евклидовой плоскости , исключая начало координат, связано, но не просто подключен. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связано и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связано. ${\ displaystyle (0,0),}$
Евклидова плоскость с удаленной прямой не соединена, так как состоит из двух полуплоскостей.
R , Пространство действительных чисел с обычной топологией, связно.
Линия Соргенфри отключена.
Если из R удалить хотя бы одну точку , остальная часть отключается. Однако, если убрать даже счетную бесконечность точек, с которой связан остаток. Если $n$ $\geq 3$ , то остается односвязным после удаления счетного числа точек. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle п \ geq 2,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
Любое топологическое векторное пространство , например, любое гильбертово пространство или банахово пространство над связным полем (например, или ), односвязно. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$
Каждое дискретное топологическое пространство, содержащее по крайней мере два элемента, отключено, фактически такое пространство полностью отключено . Самый простой пример - дискретное двухточечное пространство .
С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретной оценки состоит из двух точек и связан. Это пример пространства Серпинского .
Набор Кантора полностью отключен; поскольку набор содержит несчетное количество точек, он имеет несчетное количество компонентов.
Если пространство X является гомотопической эквивалент в связное пространство, то X само по себе связано.
В синусоидальной кривой тополога в пример набора , который подсоединен , но не является ни пути , ни подключен локально подключен.
Линейная группа (то есть, группа п матрицы с размерностью п действительной, обратимые матриц) состоит из двух соединенных между собой компонентов: один с матрицами положительного определителя , а других отрицательного определителя. В частности, это не связано. Напротив, связано. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно. ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {C})}$
Спектры коммутативного локального кольца и областей целостности связаны. В более общем плане следующие эквиваленты
1. Спектр коммутативного кольца R связен
2. Каждый конечно порожденный проективный модуль над R имеет постоянный ранг.
3. R не имеет идемпотента (т. Е. R не является произведением двух колец нетривиальным образом). ${\ displaystyle \ neq 0,1}$

Пример несвязанного пространства - это плоскость с удаленной из нее бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (то есть несвязных пространств) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этого абзаца имеют топологию подпространства, индуцированную двумерным евклидовым пространством. Космос.

Связность путей

Это подпространство R ² линейно связно, так как путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

Линейно связное пространство является более сильным понятием связности, требующим структуру пути. Пути от точки х до точки у в топологическом пространстве X является непрерывной функцией ƒ от единичного интервала [0,1] к X с ƒ (0) = х и ƒ (1) = у . Путь-компонент из X представляет собой класс эквивалентности из X под отношением эквивалентности , что делает й эквивалентно у , если существует путь от й до у . Пространство Х называется линейно связным (или потраекторных подключен или 0-подключенное ) , если существует ровно один путь-компонента, то есть , если существует путь , соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое пространство (обратите внимание, однако, что по этому определению пустое пространство не линейно связно, потому что оно имеет нулевые компоненты пути; существует уникальное отношение эквивалентности на пустом множестве, которое имеет нулевые классы эквивалентности).

Каждое линейно связное пространство связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны между собой, включают удлиненную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога .

Подмножества реальной линии R связаны тогда и только тогда, когда они связаны по путям; эти подмножества являются интервалами из R . Кроме того, открытые подмножества R ⁿ или C ⁿ связаны тогда и только тогда, когда они линейно связаны. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Связность дуги

Пространство X называется дугово -связным или линейно связным, если любые две различные точки могут быть соединены дугой , которая по определению является путем, который также является топологическим вложением . Явно путь называется дугой, если сюръективное отображение является гомеоморфизмом , где его образ наделен топологией подпространства, индуцированной на нем ${\ displaystyle f: [0,1] \ к X}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ к X}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ operatorname {Im} f}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Im} f: = f ([0,1])}$ ${\ displaystyle X.}$

Любое линейно связное хаусдорфово пространство также является дуговым. Пример пространства, линейно связно , но не дуговой подключен обеспечивается путем добавления второго экземпляра из к неотрицательным действительным числам Один жертвует этот набор с частичным порядком , указав , что для любого положительного числа , но оставляя и несравнимы. Затем наделяют этот набор топологией порядка . То есть за основу топологии принимаются открытые интервалы и полуоткрытые интервалы . Полученное пространство является пространством T _1, но не хаусдорфовым . Точки и могут быть соединены путем, но не дугой в этом пространстве. ${\ displaystyle 0 ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle [0, \ infty).}$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ prime} <а}$ ${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle (a, b) = \ left \ {x: a <x <b \ right \}}$ ${\ Displaystyle [0, а) = \ влево \ {х: 0 \ Leq х <а \ вправо \},}$ ${\ displaystyle [0 ^ {\ prime}, a) = \ left \ {x: 0 ^ {\ prime} \ leq x <a \ right \}}$ ${\ displaystyle 0 ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle 0}$

Локальная связанность

Топологическое пространство называется локально связным в точке x, если каждая окрестность точки x содержит связную открытую окрестность. Он локально связан, если имеет базу связанных множеств. Можно показать, что пространство X локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества X открыта.

Аналогично топологическое пространство называется локально линейно связно, если у него есть база линейно связанных множеств. Открытое подмножество локально линейно связанного пространства связано тогда и только тогда, когда оно линейно связано. Это обобщает предыдущее утверждение оRⁿ иCⁿ , каждое из которых локально линейно связано. Вообще говоря, любоетопологическое многообразиелокально линейно связно.

Синусоидальная кривая тополога связана, но не связана локально

Локальное соединение не подразумевает соединения, а локальное соединение по пути не подразумевает соединение по пути. Простым примером локально связанного (и локально линейно связанного) пространства, которое не связано (или линейно связано), является объединение двух разделенных интервалов в , например . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle (0,1) \ чашка (2,3)}$

Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоидальная кривая тополога , определяемая как , с евклидовой топологией, индуцированной включением в . ${\ Displaystyle T = \ {(0,0) \} \ чашка \ left \ {\ left (x, \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right) \ right): x \ in (0,1] \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Установить операции

Примеры объединений и пересечений связных множеств

Пересечение связных множеств не обязательно связано.

Объединение связных множеств не обязательно связано, как можно видеть, рассматривая . ${\ Displaystyle X = (0,1) \ чашка (1,2)}$

Каждый эллипс является связным множеством, но объединение не связано, так как оно может быть разбито на два непересекающихся открытых множества и . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$

Это означает, что, если объединение разъединено, то коллекция может быть разделена на две суб-коллекции, так что объединения суб-коллекций не пересекаются и открываются (см. Рисунок). Это означает , что в ряде случаев, объединение связных множеств является обязательно связано. Особенно: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \}}$ ${\ displaystyle X}$

Если общее пересечение всех множеств не пусто ( ), то, очевидно, они не могут быть разбиты на коллекции с непересекающимися объединениями . Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно . ${\ textstyle \ bigcap X_ {i} \ neq \ emptyset}$
Если пересечение каждой пары наборов не пусто ( ), то снова они не могут быть разделены на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связано. ${\ displaystyle \ forall i, j: X_ {i} \ cap X_ {j} \ neq \ emptyset}$
Если наборы можно упорядочить как «связанную цепочку», то есть проиндексировать целочисленными индексами и , то снова их объединение должно быть связано. ${\ displaystyle \ forall i: X_ {i} \ cap X_ {i + 1} \ neq \ emptyset}$
Если множества попарно не пересекаются и фактор-пространство связно, то $X$ должно быть связным. В противном случае, если является разделением $X,$ то является разделением фактор-пространства (поскольку они не пересекаются и открыты в фактор-пространстве). ${\ Displaystyle X / \ {X_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle U \ чашка V}$ ${\ Displaystyle q (U) \ чашка q (V)}$ ${\ Displaystyle q (U), q (V)}$

Установленная разница подключенных наборов не обязательно связана. Однако, если и их различие не связано (и, таким образом, может быть записано как объединение двух открытых множеств и ), то объединение с каждым таким компонентом связано (т.е. связано для всех ). ${\ Displaystyle X \ supseteq Y}$ ${\ Displaystyle X \ setminus Y}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Y \ чашка X_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$

Доказательство -

От противного, предположим , не связано. Таким образом, это может быть записано как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например . Поскольку он связан, он должен полностью содержаться, скажем , в одном из этих компонентов , а значит, и в . Теперь мы знаем, что: ${\ Displaystyle Y \ чашка X_ {1}}$ ${\ Displaystyle Y \ чашка X_ {1} = Z_ {1} \ чашка Z_ {2}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$

{\ Displaystyle X = \ влево (Y \ чашка X_ {1} \ right) \ чашка X_ {2} = \ left (Z_ {1} \ чашка Z_ {2} \ right) \ чашка X_ {2} = \ left (Z_ {1} \ cup X_ {2} \ right) \ cup \ left (Z_ {2} \ cap X_ {1} \ right)}

Два множества в последнем объединении не пересекаются и открыты , поэтому существует разделение , что противоречит тому факту, что они связаны.

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

Два связанных набора, разность которых не связана

Теоремы

Основная теорема о связности : пусть X и Y - топологические пространства, а ƒ : X → Y - непрерывная функция. Если X (линейно) связно, то образ ƒ ( X ) является (линейно) связным. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении .
Каждое линейно связное пространство связано.
Каждое локально линейно связное пространство локально связно.
Пространство, связанное локально, линейно связно тогда и только тогда, когда оно связано.
Замыкание связной подгруппы связано. Более того, любое подмножество между подключенным подмножеством и его замыканием связано.
Подключенные компоненты всегда закрыты (но, как правило, не открыты)
Связные компоненты локально связного пространства также открыты.
Компоненты связности пространства являются непересекающимися объединениями компонент линейной связности (которые в общем случае не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
Каждый фактор связного (соответственно, локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связан (соответственно, локально связан, линейно связан, локально линейно связан).
Каждое произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально линейно связного) пространства локально связно (соответственно локально линейно связно).
Каждое многообразие локально линейно связно.
Связанное по дуге пространство соединено по пути, но связанное по дуге пространство не может быть соединено по дуге
Непрерывный образ дугообразно связного множества дугообразно связан.

Графики

Графы имеют подмножества, соединенные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь из ребер, соединяющих их. Но не всегда можно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует одни и те же связные множества. Граф с 5 циклами (и любой n -цикл с нечетным n > 3) является одним из таких примеров.

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы - это те функции, которые отображают связанные множества в связанные множества ( Muscat & Buhagiar 2006 ). Топологические пространства и графы являются частными случаями связных пространств; действительно, конечные связные пространства - это в точности конечные графы.

Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки и ребра как копии единичного интервала (см. Теорию топологических графов # Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графа) тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.

Более сильные формы связи

Существуют более сильные формы связности для топологических пространств , например:

Если не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств в топологическом пространстве, X , X должны быть связными, и, следовательно, гиперсвязные пространства также связаны.
Поскольку односвязное пространство по определению также должно быть связано путями, любое односвязное пространство также связано. Однако обратите внимание, что если требование «связности пути» исключено из определения простой связности, односвязное пространство в подключении не требуется.
Еще более сильные версии связности включают понятие сжимаемого пространства . Каждое стягиваемое пространство связано путями и, следовательно, также связано.

В общем, обратите внимание, что любое пространство, связанное по пути, должно быть связано, но существуют связанные пространства, которые не связаны по пути. Удаляется расческой пространство дает такой пример, как это делает упомянутой выше синусоидальной кривой тополога в .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание . Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
Вайсштейн, Эрик В. «Подключенный набор» . MathWorld .
В. И. Малыхин (2001) [1994], «Связанное пространство» , Энциклопедия математики , EMS Press
Маскат, Дж; Бухагиар, Д. (2006). «Соединительные пространства» (PDF) . Mem. Фак. Sci. Англ. Shimane Univ., Series B: Math. Sc . 39 : 1–13. Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 17 мая 2010 ..

Languages

In other projects