Теорема Зейферта – Ван Кампена - Seifert–Van Kampen theorem

В математике , то теорема Зайферт-Ван Кампна из алгебраической топологии ( по имени Герберта Зайферт и Эгберт ван Кампен ), иногда просто называется теоремой Ван Кампена , выражает структуру фундаментальной группы в виде топологического пространства в терминах фундаментальных групп двух открытых , линейно связные подпространства, покрывающие . Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп

Пусть X - топологическое пространство, которое представляет собой объединение двух открытых и линейно связанных подпространств U ₁ , U ₂ . Предположим, что U ₁ ∩ U ₂ линейно связно и непусто, и пусть x ₀ - точка в U ₁ ∩ U _2, которая будет использоваться в качестве базы всех фундаментальных групп. Отображения включения U ₁ и U ₂ в X индуцируют гомоморфизмы групп и . Тогда X соединяется путями и образует коммутативную выталкивающую диаграмму: ${\ displaystyle j_ {1}: \ pi _ {1} (U_ {1}, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$ ${\ displaystyle j_ {2}: \ pi _ {1} (U_ {2}, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$ ${\ displaystyle j_ {1}}$ ${\ displaystyle j_ {2}}$

Естественный морфизм k является изоморфизмом. То есть фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U ₁ и U ₂ с объединением . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2}, x_ {0})}$

Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не инъективны, и более точная версия утверждения выражается в терминах выталкивания групп.

Теорема Ван Кампена для фундаментальных группоидов

К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу окружности, которая является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии. Причина в том, что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связным пересечением. Эту проблему можно решить, работая с фундаментальным группоидом на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$

Это группоид состоит из гомотопических классов относительно конечных точек путей в Й присоединении точек A ∩ X . В частности, если X - стягиваемое пространство и A состоит из двух различных точек X , то легко видеть, что он изоморфен группоиду, часто записываемому с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп. Группоид также допускает для группоидов понятие гомотопии: это объект с единичным интервалом в категории группоидов. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

Связное объединение двух несвязных пространств с множеством базовых точек

Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.

Теорема. Пусть топологическое пространство X покрыто внутренностями двух подпространств X ₁ , X _2, и пусть A будет набором, который встречает каждую компоненту пути X ₁ , X ₂ и X ₀ = X ₁ ∩ X ₂ . Тогда A встречает каждую компоненту пути X и диаграмму P морфизмов, индуцированных включением

представляет собой выталкивающую диаграмму в категории группоидов.

Эта теорема дает переход от топологии к алгебре, полностью определяя фундаментальный группоид ; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику, чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$

Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы увидеть его полезность, можно легко найти случаи, когда X соединен, но представляет собой объединение внутренних частей двух подпространств, каждое из которых содержит, скажем, 402 компонента пути и пересечение которых имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как вычислительного инструмента для «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов». Эта теорема подразумевает вычисление фундаментальной группы круга как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида путем отождествления в категории группоидов двух его вершин. ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

Существует версия последней теоремы, когда X покрывается объединением внутренностей семейства подмножеств. ${\ displaystyle \ {U _ {\ lambda}: \ lambda \ in \ Lambda \}}$

Вывод состоит в том, что если A встречает каждую компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств , то A встречает все компоненты пути X и диаграммы ${\ displaystyle U _ {\ lambda}}$

{\ displaystyle \ bigsqcup _ {(\ lambda, \ mu) \ in \ Lambda ^ {2}} \ pi _ {1} (U _ {\ lambda} \ cap U _ {\ mu}, A) \ rightrightarrows \ bigsqcup _ {\ lambda \ in \ Lambda} \ pi _ {1} (U _ {\ lambda}, A) \ rightarrow \ pi _ {1} (X, A)}

морфизмов, индуцированных включениями, является соуравнителем в категории группоидов.

[...] люди по-прежнему упорно настаивают при вычислениях с фундаментальными группами в фиксации единственной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, который инвариантен относительно симметрий ситуации, которые, таким образом, теряются в пути. В определенных ситуациях (например, теоремы спуска для фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно, даже необходимо для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]

- Александр Гротендик , программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод )

Эквивалентные составы

На языке комбинаторной теории групп if - топологическое пространство; и являются открытыми, линейно связанными подпространствами в ; непусто и линейно связно; и ; то есть свободное произведение с объединенной подгруппой из и , по отношению к (не обязательно инъективным) гомоморфизмам и . Данные групповые презентации : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ cap V}$ ${\ displaystyle w \ in U \ cap V}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, ш)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (U, w)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (V, w)}$ ${\ Displaystyle I: \ pi _ {1} (U \ cap V, w) \ to \ pi _ {1} (U, w)}$ ${\ Displaystyle J: \ pi _ {1} (U \ cap V, w) \ to \ pi _ {1} (V, w)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} (U, w) & = \ langle u_ {1}, \ cdots, u_ {k} \ mid \ alpha _ {1}, \ cdots, \ alpha _ {l} \ rangle \\\ pi _ {1} (V, w) & = \ langle v_ {1}, \ cdots, v_ {m} \ mid \ beta _ {1}, \ cdots, \ beta _ {n} \ rangle \\\ pi _ {1} (U \ cap V, w) & = \ langle w_ {1}, \ cdots, w_ {p} \ mid \ gamma _ {1}, \ cdots, \ гамма _ {д} \ рангл \ конец {выровнено}}}

объединение можно представить как

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, w) = \ left \ langle u_ {1}, \ cdots, u_ {k}, v_ {1}, \ cdots, v_ {m} \ left | \ alpha _ {1}, \ cdots, \ alpha _ {l}, \ beta _ {1}, \ cdots, \ beta _ {n}, I (w_ {1}) J (w_ {1}) ^ {- 1} , \ cdots, I (w_ {p}) J (w_ {p}) ^ {- 1} \ right. \ right \ rangle.}

В теории категорий , является Кодекартов Квадрат , в категории групп, диаграммы: ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, ш)}$

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (U, w) \ получает \ pi _ {1} (U \ cap V, w) \ to \ pi _ {1} (V, w).}

Примеры

2-сфера

Можно использовать теорему Ван Кампена для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу . Выберите открытые множества и где п и s обозначают северные и южные полюса соответственно. Тогда мы обладаем тем свойством, что A , B и A ∩ B являются связными множествами с открытыми путями. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма, включающая A ∩ B в A и B, а затем еще одно включение из A и B в, и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle А = S ^ {2} \ setminus \ {п \}}$ ${\ Displaystyle В = S ^ {2} \ setminus \ {s \}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {2}) = \ pi _ {1} (A) \ cdot \ pi _ {1} (B) / \ ker (\ Phi).}

Однако A и B оба гомеоморфны R ^2, который односвязен, поэтому и A, и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что фундаментальная группа группы тривиальна. ${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Сумма пробелов клина

Учитывая два заостренных пространство и мы можем сформировать их клиновидную сумму , путь профакторизовав путем определения их два базисных точек. ${\ Displaystyle (Х, х)}$ ${\ displaystyle (Y, y)}$ ${\ displaystyle (X \ vee Y, p)}$ ${\ Displaystyle X \ coprod Y}$

Если допускает стягиваемую открытую окрестность и стягиваемую открытую окрестность (что имеет место, например, если и являются комплексами CW ), то мы можем применить теорему Ван Кампена к , взяв и в качестве двух открытых множеств, и мы заключаем, что фундаментальная группа клина - это свободное произведение фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали: ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ Displaystyle V \ подмножество Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X \ vee Y}$ ${\ displaystyle X \ vee V}$ ${\ displaystyle U \ vee Y}$

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ vee Y, p) \ cong \ pi _ {1} (X, x) * \ pi _ {1} (Y, y)}

.

Ориентируемые поверхности рода g

Более сложным примером является вычисление фундаментальной группы ориентируемой поверхности S рода n , также известной как поверхностная группа рода n . Можно построить S, используя его стандартный фундаментальный многоугольник . Для первого открытого набора A выберите диск в центре многоугольника. Pick B , чтобы быть дополнением в S центральной точки A . Тогда пересечение A и B является кольцом, которое, как известно, гомотопически эквивалентно окружности (и поэтому имеет ту же фундаментальную группу, что и). Тогда , это целые числа, и . Таким образом, включение into переводит любой генератор в тривиальный элемент. Однако включение into нетривиально. Чтобы понять это, сначала нужно посчитать . Это легко сделать, так как можно деформировать ретракт B (который является S с удаленной одной точкой) на ребра, помеченные ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (A \ cap B) = \ pi _ {1} (S ^ {1})}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (A) = \ pi _ {1} (D ^ {2}) = {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (A \ cap B)}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (А)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (A \ cap B)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (B)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (B)}$

{\ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1}.}

Это пространство, как известно, представляет собой сумму клина из 2 n окружностей (также называемую букетом окружностей ), фундаментальная группа которой, как известно, изоморфна свободной группе с 2 n образующими, которые в этом случае могут быть представлены ребрами сами: . Теперь у нас достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы - это петли ( A односвязна, поэтому она не вносит никаких генераторов), и существует ровно одно отношение: ${\ Displaystyle \ {A_ {1}, B_ {1}, \ cdots, A_ {n}, B_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle \ {A_ {1}, B_ {1}, \ cdots, A_ {n}, B_ {n} \}}$

{\ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} = 1.}

Используя образующие и соотношения, эта группа обозначается

{\ displaystyle \ left \ langle A_ {1}, B_ {1}, \ cdots, A_ {n}, B_ {n} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} \ right. \ Right \ rangle.}

Простая связность

Если X - это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязных множеств U и V, где U ∩ V непусто и линейно связно , то X односвязно.

Обобщения

Как объяснялось выше, эта теорема была распространена Рональдом Брауном на несвязный случай с помощью фундаментального группоида на множестве A базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением, что A пересекает все трехмерные пересечения множеств покрытия, приведена в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха. Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых методов группоидов, также приведены в книге Дж. Питера Мэя . Версия , которая позволяет более двух перекрывающихся наборов , но с A одноэлементно также приводится в Аллен Хэтчер книге «s ниже, теорема 1.20. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$

Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к теореме Жордана о кривой , покрывающим пространствам и пространствам орбит приведены в книге Рональда Брауна. В случае пространств орбит удобно взять A, чтобы включить все неподвижные точки действия. Примером может служить действие сопряжения на круге.

Ссылки на многомерные версии теоремы, которые дают некоторую информацию о гомотопических типах, даны в статье о многомерных теориях групп и группоидах. Таким образом, двумерная теорема Ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была дана Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом. Полный отчет и расширения на все измерения даны Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой, в то время как расширение на n -кубы пространств дано Рональдом Брауном и Жан-Луи Лоде .

Фундаментальные группы также появляются в алгебраической геометрии и являются основной темой первой Séminaire de géométrie algébrique Александра Гротендика (SGA1). Там появляется версия теоремы Ван Кампена, которая доказывается совершенно иначе, чем в алгебраической топологии, а именно теорией спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Cambridge University Press, Кембридж, xii + 544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (раздел 2.7 дает теоретико-категориальное представление теоремы как копредел в категории группоидов) .
Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
Обсуждение Mathoverflow по многим базовым моментам
Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8
Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85–88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, которые пересекают каждую компоненту пути каждого 1-2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
П. Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971), Ван Ностранд Рейнхольд
Рональд Браун, Теория многомерных групп (2007) (дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс , Серия лекций по математике, 58 , Бенджамин / Каммингс, ISBN 0805335579
Зайферт, Х., Конструкция drei Dimensaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Акад. Лейпциг, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
ER van Kampen. О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, вып. 55 (1933), стр. 261–267.
Браун Р., Хиггинс П. Дж. О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств , Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
Браун Р., Хиггинс П. Дж. И Сивера Р. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды ; (В первой из трех частей обсуждаются применения 1- и 2-мерных версий теоремы Зейферта – ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и фактически гомотопические 2-типы. Вторая часть применяется теорема Ван Кампена о высшей гомотопии для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
"Результат теоремы Ван Кампена" . PlanetMath .
Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства II: теорема Ван Кампена », Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
Дилан Г. Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема Ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы Ван Кампена, примененные к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, "Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств", Топология 26 (1987) 311–334.

Эта статья включает материал из теоремы Ван Кампена о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

внешние ссылки

СМИ, связанные с теоремой Зейферта – Ван Кампена на Викискладе?

Languages

In other projects