Диадический рациональный - Dyadic rational

Диадические рациональные числа в интервале от 0 до 1

В математике двоичное рациональное или двоичное рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде дроби , знаменатель которой равен степени двойки . Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются диадическими рациональными числами, а 1/3 - нет. Эти числа важны в информатике, потому что только они имеют конечное двоичное представление . Диадические рациональные числа также находят применение в мерах и весах, музыкальных размерах и в начальном математическом образовании. Они могут точно аппроксимировать любое действительное число .

Сумма, разность или произведение любых двух двоичных рациональных чисел - это еще одно двоичное рациональное число, заданное простой формулой. Однако деление одного диадического рационального числа на другое не всегда дает диадический рациональный результат. Математически это означает , что двоичны рациональные числа образуют кольцо , лежащим между кольцом целых чисел и полями из рациональных чисел . Это кольцо можно обозначить . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ tfrac {1} {2}}]}$

В продвинутой математике диадические рациональные числа играют центральную роль в построении диадического соленоида , функции вопросительного знака Минковского , всплесков Добеши , группы Томпсона , 2-группы Прюфера , сюрреалистических чисел и плавких чисел . Эти числа изоморфны по порядку рациональным числам; они образуют подсистему 2-адических чисел, а также действительных чисел и могут представлять дробные части 2-адических чисел. Функции от натуральных чисел до диадических рациональных чисел использовались для формализации математического анализа в обратной математике .

Приложения

В измерении

Кухонные гири, измеряющие двоичные доли фунта от 2 фунтов до 1/64 фунта (1/4 унции)

Многие традиционные системы мер и весов основаны на идее повторного деления пополам, что дает диадические рациональные числа при измерении дробных количеств единиц. Дюйма принято подразделить на двоично - рациональных , а не использовать десятичную подразделение. Обычное деление галлона на полгаллоны, кварты , пинты и чашки также является диадическим. Древние египтяне использовали диадические рациональные числа для измерения со знаменателями до 64. Точно так же системы весов цивилизации долины Инда по большей части основаны на повторяющемся делении пополам; антрополог Хизер М.-Л. Миллер пишет, что «деление пополам - это относительно простая операция с балансировочными балками, поэтому, вероятно, поэтому так много весовых систем того времени использовали двоичные системы».

В вычислениях

Диадические рациональные числа занимают центральное место в информатике как тип дробного числа, которым многие компьютеры могут напрямую манипулировать. В частности, как тип данных, используемый компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительную или отрицательную степень двойки. Числа, которые могут быть представлены точно в формате с плавающей запятой, такие как типы данных с плавающей запятой IEEE , называются их представимыми числами. Для большинства представлений с плавающей запятой представимые числа являются подмножеством диадических рациональных чисел. То же самое верно и для типов данных с фиксированной точкой , которые также неявно используют степень двойки в большинстве случаев. Из-за простоты вычислений с диадическими рациональными числами они также используются для точных реальных вычислений с использованием интервальной арифметики и являются центральными в некоторых теоретических моделях вычислимых чисел .

Генерация случайной величины из случайных битов за фиксированный промежуток времени возможна только в том случае, если переменная имеет конечное число результатов, все вероятности которых являются диадическими рациональными числами. Для случайных величин, вероятности которых не являются диадическими, необходимо либо аппроксимировать их вероятности диадическими рациональными числами, либо использовать случайный процесс генерации, время которого само является случайным и неограниченным.

В музыке

Пять тактов из оперы Игоря Стравинского « Весна священная » с часовыми
размерами³
₁₆, ²
₁₆, ³
₁₆, а также ²
₈

Размеры в западной нотной записи традиционно записываются в форме, напоминающей дроби (например:²
₂, ⁴
₄, или ⁶
₈), хотя горизонтальная линия нотоносца, разделяющая верхний и нижний номер, обычно опускается при написании подписи отдельно от нотоносца. Как дроби они обычно диадические, хотя также использовались недиадические размеры . Числовое значение подписи, интерпретируемое как дробь, описывает длину такта как долю от целого примечания . Его числитель описывает количество долей в такте, а знаменатель описывает длину каждой доли.

В математическом образовании

В теориях детского развития концепции дроби, основанной на работах Жана Пиаже , дробные числа, возникающие в результате деления пополам и повторного деления пополам, являются одними из самых ранних форм дробей, которые нужно развить. Этот этап развития концепции дробей получил название «алгоритмическое деление пополам». Сложение и вычитание этих чисел можно выполнять по шагам, которые включают только удвоение, уменьшение вдвое, сложение и вычитание целых чисел. Напротив, сложение и вычитание более общих дробей включает в себя целочисленное умножение и факторизацию для достижения общего знаменателя. Таким образом, студентам легче вычислить двоичные дроби, чем более общие дроби.

Определения и арифметика

Двоичные числа - это рациональные числа , полученные в результате деления целого числа на степень двойки . Проще говоря, рациональное число является диадическим рациональным числом, когда оно является степенью двойки. Другой эквивалентный способ определения диадических рациональных чисел состоит в том, что они являются действительными числами , имеющими завершающее двоичное представление . ${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle q}$

Сложение , вычитание и умножение любых двух диадических рациональных чисел дает другое двоичное рациональное число в соответствии со следующими формулами:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {a} {2 ^ {b}}} + {\ frac {c} {2 ^ {d}}} & = {\ frac {2 ^ {d- \ min (b, d)} a + 2 ^ {b- \ min (b, d)} c} {2 ^ {\ max (b, d)}}} \\ [6px] {\ frac {a} { 2 ^ {b}}} - {\ frac {c} {2 ^ {d}}} & = {\ frac {2 ^ {d- \ min (b, d)} a-2 ^ {b- \ min (b, d)} c} {2 ^ {\ max (b, d)}}} \\ [6px] {\ frac {a} {2 ^ {b}}} \ cdot {\ frac {c} { 2 ^ {d}}} & = {\ frac {ac} {2 ^ {b + d}}} \ end {выровнено}}}$

Однако результат деления одного диадического рационального на другое не обязательно является диадическим рациональным. Например, 1 и 3 являются двоичными рациональными числами, а 1/3 - нет.

Дополнительные свойства

Диадические рациональные приближения к квадратному корню из 2 ( ), найденные округлением до ближайшего меньшего целого числа, кратного для . Высота розовой области над каждым приближением является его ошибкой.${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1,4142}$${\ displaystyle 1/2 ^ {i}}$${\ Displaystyle я = 0,1,2, \ точки}$

Действительные числа без необычно точных диадических рациональных приближений. Красные круги окружают номера, которые аппроксимируются в пределах погрешности с помощью . Для чисел во фрактальном канторовом множестве за пределами кругов все двоичные рациональные приближения имеют большие ошибки.${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {6}} / 2 ^ {я}}$${\ Displaystyle п / 2 ^ {я}}$

Каждое целое число и каждое полуцелое число является диадическим рациональным числом . Оба они соответствуют определению целого числа, деленного на степень двойки: каждое целое число - это целое число, деленное на единицу (нулевая степень двойки), а каждое полуцелое число - это целое число, деленное на два.

Каждое действительное число может быть сколь угодно точно аппроксимировано диадическими рациональными числами. В частности, для действительного числа рассмотрим диадические рациональные числа в форме , где может быть любое целое число и обозначает нижнюю функцию, которая округляет свой аргумент до целого числа. Эти числа аппроксимируются снизу с точностью до ошибки , которая может быть сделана сколь угодно малой, выбрав ее произвольно большой. Для фрактального подмножества действительных чисел эта граница ошибки находится в пределах постоянного оптимального коэффициента: для этих чисел не существует аппроксимации с ошибкой, меньшей, чем постоянное время . Существование точных диадических приближений можно выразить, сказав, что множество всех диадических рациональных чисел является плотным в реальной линии . Более того, это множество равномерно плотно в том смысле, что диадические рациональные числа со знаменателем равномерно расположены на действительной прямой. ${\ displaystyle x}$${\ textstyle \ lfloor 2 ^ {i} x \ rfloor / 2 ^ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ lfloor \ dots \ rfloor}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1/2 ^ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle п / 2 ^ {я}}$${\ displaystyle 1/2 ^ {i}}$${\ Displaystyle 2 ^ {я}}$

Диадические рациональные числа - это как раз те числа, которые имеют конечные двоичные разложения . Их двоичные расширения не уникальны; есть одно конечное и одно бесконечное представление каждого диадического рационального, кроме 0 (без учета конечных нулей). Например, 0,11 ₂ = 0,10111 ... ₂ , что дает два разных представления для 3/4. Диадические рациональные числа - единственные числа, двоичные разложения которых не уникальны.

По высшей математике

Алгебраическая структура

Поскольку они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, диадические рациональные числа являются кольцом, а не полем . Кольцо диадических рациональных чисел может быть обозначено , что означает, что оно может быть сгенерировано путем вычисления многочленов с целыми коэффициентами при аргументе 1/2. Как кольцо, диадические рациональные числа являются подкольцом рациональных чисел и верхним кольцом целых чисел. Алгебраически это кольцо является локализацией целых чисел по отношению к множеству степеней двойки . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ tfrac {1} {2}}]}$

Помимо формирования подкольца действительных чисел , диадические рациональные числа образуют подкольцо 2-адических чисел , систему чисел, которая может быть определена из двоичных представлений, конечных справа от двоичной точки, но может продолжаться бесконечно. далеко налево. 2-адические числа включают все рациональные числа, а не только диадические рациональные числа. Встраивание диадических рациональных чисел в 2-адические числа не меняет арифметику диадических рациональных чисел, но дает им другую топологическую структуру, чем у подкольца действительных чисел. Как и в вещественных числах, диадические рациональные числа образуют плотное подмножество 2-адических чисел и представляют собой набор 2-адических чисел с конечными двоичными расширениями. Каждое 2-адическое число можно разложить на сумму 2-адического целого и диадического рационального числа; в этом смысле диадические рациональные числа могут представлять дробные части 2-адических чисел, но это разложение не единственно.

Добавление диадических рациональных чисел по модулю 1 ( фактор-группа диадических рациональных чисел по целым числам) образует 2-группу Прюфера . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ tfrac {1} {2}}] / \ mathbb {Z}}$

Диадический соленоид

Рассмотрение только операций сложения и вычитания диадических рациональных чисел дает им структуру аддитивной абелевой группы . Двойственность Понтрягина - это метод понимания абелевых групп путем построения двойственных групп, элементы которых являются характерами исходной группы, групповыми гомоморфизмами мультипликативной группе комплексных чисел с поточечным умножением как двойственной групповой операцией. Построенная таким образом дуальная группа аддитивных диадических рациональных чисел также может рассматриваться как топологическая группа . Это называется двоичным соленоид, и изоморфен топологическое произведение действительных чисел и 2-адических чисел, quotiented по диагонали вложения из двоично - рациональных в этот продукт. Это пример проторуса , соленоида и неразложимого континуума .

Функции с диадическими рациональными числами в качестве выделенных точек

Функция вопросительного знака Минковского отображает рациональные числа в диадические рациональные числа

A Вейвлеты Добеши , показывающий точки негладкости в двоично - рациональных

Поскольку они представляют собой плотное подмножество действительных чисел, диадические рациональные числа с их числовым порядком образуют плотный порядок . Как и в случае любых двух неограниченных счетных плотных линейных порядков, по теореме Кантора об изоморфизме диадические рациональные числа изоморфны по порядку рациональным числам. В этом случае функция знака вопроса Минковского обеспечивает сохраняющую порядок биекцию между множеством всех рациональных чисел и множеством диадических рациональных чисел.

Диадические рациональные числа играют ключевую роль в анализе вейвлетов Добеши как набор точек, в которых функция масштабирования этих вейвлетов негладкая. Точно так же диадические рациональные числа параметризуют разрывы на границе между устойчивыми и неустойчивыми точками в пространстве параметров отображения Энона .

Множество кусочно-линейных гомеоморфизмов от единичного интервала к самому себе, которые имеют наклон степени двойки и двоично-рациональные точки излома, образуют группу при операции композиции функций . Это группа Томпсона , первый известный пример бесконечной, но конечно представленной простой группы . Та же самая группа может быть представлена ​​действием над корневыми бинарными деревьями или действием над диадическими рациональными числами в единичном интервале.

Другие родственные конструкции

В обратной математике один из способов построения действительных чисел состоит в том, чтобы представить их как функции от унарных чисел до диадических рациональных чисел, где значение одной из этих функций для аргумента является диадическим рациональным числом со знаменателем, которое приближает данное действительное число. Определение действительных чисел таким образом позволяет доказать многие из основных результатов математического анализа в рамках ограниченной теории арифметики второго порядка, называемой «допустимым анализом» (BTFA). ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle 2 ^ {я}}$

В сюрреалистические числа генерируются итерированного принцип строительства , который начинается, генерируя все конечные двоично рациональные, а затем идет на создание новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел. Эта система счисления лежит в основе комбинаторной теории игр , и диадические рациональные числа естественным образом возникают в этой теории как набор значений некоторых комбинаторных игр.

Эти плавкие числа представляют собой подмножество двоичны рациональных чисел, то замыкание множества относительно операции , ограничен пары с . Они хорошо упорядочены , с типом заказа, равным эпсилон-числу . Для каждого целого числа наименьшее плавкое число, которое больше, чем имеет форму . Существование для каждого не может быть доказано в арифметике Пеано и растет так быстро в зависимости от этого, поскольку оно (в нотации Кнута, направленной вверх для больших чисел) уже больше, чем . ${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle х, у \ mapsto (х + у + 1) / 2}$${\ displaystyle x, y}$${\ Displaystyle | ху | <1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п + 1/2 ^ {к}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 3}$${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {9} 16}$

использованная литература