Тип заказа - Order type

В математике , особенно в теории множеств , говорят , что два упорядоченных множества X и Y имеют один и тот же тип порядка, если они изоморфны по порядку , то есть если существует биекция (каждый элемент соответствует точно одному в другом наборе) , так что оба е и его обратный являются монотонными (сохраняющими порядками элементов). В частном случае , когда X является упорядоченным , монотонность е вытекает монотонность его обратного.

Например, набор из целых чисел и множество четных чисел имеют одинаковый тип заказа, потому что отображение взаимно однозначное соответствие , сохраняющее порядок. Но набор целых чисел и набор рациональных чисел (со стандартным порядком упорядочения) не имеют одного и того же типа порядка, потому что даже несмотря на то, что наборы имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), не существует сохраняющего порядок биективного отображение между ними. К этим двум типам порядка мы можем добавить еще два: набор положительных целых чисел (который имеет наименьший элемент) и набор отрицательных целых чисел (который имеет наибольший элемент). Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел по порядку изоморфен рациональным числам (так как, например, это строго возрастающая биекция от первого ко второму); рациональные числа, содержащиеся в полузакрытых интервалах [0,1) и (0,1], а также в отрезке [0,1], являются тремя дополнительными примерами типа порядка.

Поскольку порядок-эквивалентность является отношением эквивалентности , он разбивает на класс всех упорядоченных множеств в классы эквивалентности .

Тип заказа скважин

Три хорошо упорядоченности на множестве натуральных чисел с различными типами заказов ( сверху вниз ): , и .

Каждый упорядоченный набор по определению эквивалентен порядку ровно одному порядковому номеру . Порядковые числа считаются каноническими представителями своих классов, поэтому тип упорядоченного набора обычно идентифицируется с соответствующим порядковым номером. Например, порядковый тип множества натуральных чисел - ω .

Порядковый тип хорошо упорядоченного множества V иногда выражается как ord ( V ) .

Например, рассмотрим множество V из четных порядковых меньше , чем со ⋅ 2 + 7 :

Тип его заказа:

потому что есть 2 отдельных списка подсчета и 4 последовательных в конце.

Рациональное число

Любое счетное полностью упорядоченное множество можно инъективно отобразить в рациональные числа с сохранением порядка. Любое плотное счетное полностью упорядоченное множество без старшего и без младшего элемента может быть биективно отображено на рациональные числа с сохранением порядка.

Обозначение

Обычно обозначается порядок следования рациональных чисел . Если множество S имеет порядковый тип , обозначается порядок двойственного к S (обратный порядок) .

Смотрите также

Внешние ссылки

  • Вайсштейн, Эрик В. «Тип заказа» . MathWorld .

Рекомендации