Вычитание - Subtraction

« 5 - 2 = 3» (устно «пять минус два равно трем»)
Плакат у магазина в Бордо с вычетом рекламы 20% от цены второго купленного парфюма.

Вычитание - это арифметическая операция , представляющая операцию удаления объектов из коллекции. Вычитание обозначается знаком минус , - . Так , например, в соседнем изображении, есть 5 - 2 персиков-5 означает персики с 2 отняты, в результате чего в общей сложности 3 персиков. Следовательно, разница 5 и 2 равна 3; то есть 5-2 = 3 . Вычитание, в основном связанное с натуральными числами в арифметике , также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных типов объектов, включая отрицательные числа , дроби , иррациональные числа , векторы , десятичные дроби, функции и матрицы.

Вычитание следует нескольким важным схемам. Он является антикоммутативным , что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Он также не ассоциативен , что означает, что при вычитании более двух чисел порядок, в котором выполняется вычитание, имеет значение. Поскольку 0 - это аддитивная идентичность , его вычитание не меняет числа. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам относительно связанных операций, таких как сложение и умножение . Все эти правила можно доказать , начиная с вычитания целых чисел и обобщая до действительных чисел и далее. Общие бинарные операции , следующие этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре .

Вычитание натуральных чисел - одна из простейших числовых задач. Маленьким детям доступно вычитание очень маленьких чисел. В начальной школе , например, студенты учат вычитать числа в десятичной системе, начиная с однозначными цифрами и постепенно решать более сложные проблемы.

В продвинутой алгебре и компьютерной алгебре выражение, включающее вычитание, такое как A - B , обычно рассматривается как сокращенное обозначение для сложения A + (- B ) . Таким образом, - Б содержит два члена, а именно : A и - B . Это позволяет упростить использование ассоциативности и коммутативности .

Обозначения и терминология

Вычитание чисел 0–10. Метки линий = уменьшение. Ось X = вычитание. Ось Y = разница.

Вычитание обычно записывается со знаком минус «-» между членами; то есть в инфиксной записи . Результат обозначается знаком равенства . Например,

(произносится как «два минус один равно одному»)
(произносится как «четыре минус два равно два»)
(произносится как «шесть минус три равно трем»)
(произносится как «четыре минус шесть равняется двум минусам»)

Также существуют ситуации, когда вычитание «понимается», даже если символ не появляется:

  • Столбец из двух чисел, нижнее число которого выделено красным, обычно указывает на то, что меньшее число в столбце должно быть вычтено, а разница, указанная ниже, под линией. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.

Формально вычитаемое число называется вычитаемым , а число, из которого оно вычитается, является уменьшаемым . Результат - разница .

Вся эта терминология происходит от латыни . « Вычитание » является английским слово происходит от латинского глагола subtrahere , который , в свою очередь , представляет собой соединение из подразделов «из - под» и trahere « чтобы вытащить». Таким образом, вычитать - значит рисовать снизу или убирать . Использование герундивного суффикса -nd приводит к «вычитаем», «вещь, которую нужно вычесть». Точно так же от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает «вещь, которая должна уменьшаться».

Целых и действительных чисел

Целые числа

Отрезок строки jaredwf.svg

Представьте себе отрезок линии из длины Ь с левым концом меченого и правый конец меченого гр . Начиная с точки a , нужно сделать b шагов вправо, чтобы добраться до точки c . Это движение вправо математически моделируется сложением :

а + Ь = с .

От c нужно b шагов влево, чтобы вернуться к a . Это движение влево моделируется вычитанием:

с - Ь = а .
Вычитание отрезка прямой .svg

Теперь сегмент линии, помеченный числами 1 , 2 и 3 . Из позиции 3 не нужно делать никаких шагов влево, чтобы оставаться в позиции 3, поэтому 3-0 = 3 . Чтобы попасть в позицию 1, нужно сделать 2 шага влево, поэтому 3–2 = 1 . Этот рисунок неадекватен для описания того, что произойдет после перехода на 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую ​​операцию, линию необходимо удлинить.

Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , нужно начать со строки, содержащей каждое натуральное число (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3–3 = 0 . Но 3–4 по-прежнему недействительны, так как снова выходит за пределы линии. Натуральные числа не подходят для вычитания.

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть целочисленную строку (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, чтобы добраться до −1, нужно сделать 4 шага влево от 3:

3-4 = -1 .

Натуральные числа

Вычитание натуральных чисел не закрывается : разность не является натуральным числом, если минус не больше или не равен вычитаемому. Например, 26 нельзя вычесть из 11, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:

  1. Сделайте вывод, что 26 нельзя вычесть из 11; вычитание становится частичной функцией .
  2. Дайте ответ в виде целого числа, представляющего отрицательное число , поэтому результат вычитания 26 из 11 будет -15.

Действительные числа

Поле действительных чисел может быть определенно с указанием только две бинарных операций, сложения и умножения, вместе с одинарными операциями , дающих аддитивные и мультипликативные инверсиями. Затем вычитание действительного числа (вычитаемое) из другого (уменьшаемого) может быть определено как сложение уменьшаемого числа и аддитивная инверсия вычитаемого. Например, 3 - π = 3 + (- π ) . В качестве альтернативы, вместо того, чтобы требовать этих унарных операций, бинарные операции вычитания и деления могут быть взяты как базовые.

Характеристики

Антикоммутативность

Вычитание является антикоммутативным , что означает, что, если кто-то перевернет члены разности слева направо, результат будет отрицательным по сравнению с исходным результатом. Символически, если a и b - любые два числа, то

а - б = - ( б - а) .

Неассоциативность

Вычитание неассоциативно , что возникает, когда кто-то пытается определить повторное вычитание. В общем, выражение

" а - б - в "

можно определить как ( a - b ) - c или a - ( b - c ), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, необходимо установить порядок действий , при котором разные порядки дают разные результаты.

Предшественник

В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a - 1) является наибольшим целым числом меньше a , также известным как предшественник a .

Меры измерения

При вычитании двух чисел с такими единицами измерения, как килограммы или фунты , они должны иметь одну и ту же единицу. В большинстве случаев разница будет в той же единице, что и исходные числа.

Проценты

Изменения в процентах могут быть представлены по крайней мере в двух формах, процентное изменение и процентный пункт изменения. Изменение в процентах представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, а изменение в процентных пунктах - это просто число, полученное путем вычитания двух процентов.

В качестве примера предположим, что 30% виджетов, изготовленных на заводе, неисправны. Через полгода неисправны 20% виджетов. Процентное изменение20% - 30%/30% = -1/3= -33+1/3%, а изменение в процентных пунктах составляет -10 процентных пунктов.

В вычислениях

Метод комплементов является методом , используемым для вычитания одного числа из другого источника, используя только сложение положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .

Двоичная
цифра
Ones'
дополнение
0 1
1 0

Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (уменьшаемое), дополнение единиц y добавляется к x, а единица прибавляется к сумме. Затем первая цифра "1" результата отбрасывается.

Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение единиц очень легко получить инвертированием каждого бита (изменением «0» на «1» и наоборот). И добавление 1 для получения двух дополнений может быть выполнено путем имитации переноса в младший бит. Например:

  01100100  (x, equals decimal 100)
- 00010110  (y, equals decimal 22)

становится суммой:

  01100100  (x)
+ 11101001  (ones' complement of y)
+        1  (to get the two's complement)
——————————
 101001110

Если отбросить начальную единицу, получим ответ: 01001110 (равно 78 в десятичной системе).

Обучение вычитанию в школах

Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе, различаются от страны к стране, и внутри страны разные методы применяются в разное время. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика , в конце 1-го года (или в течение 2-го года) студентов обучают определенному процессу для использования с многозначными целыми числами, и он расширяется либо на четвертом, либо на четвертом курсе. пятый класс, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.

В Америке

Почти во всех американских школах в настоящее время преподается метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и система маркировки, называемая костылями. Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли полезны для учащихся, использующих этот метод. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.

В Европе

Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка для улучшения памяти), которые различаются в зависимости от страны.

Сравнение двух основных методов

Оба эти метода разделяют вычитание как процесс вычитания одной цифры по разряду. Начиная с наименее значащей цифры, вычитание вычитаемого:

s j s j −1 ... s 1

от минимума

м к м к −1 ... м 1 ,

где каждый s i и m i является цифрой, выполняется запись m 1 - s 1 , m 2 - s 2 и так далее, пока s i не превышает m i . В противном случае m i увеличивается на 10, а другая цифра изменяется, чтобы скорректировать это увеличение. Американский метод исправляет, пытаясь уменьшить уменьшаемую цифру m i +1 на единицу (или продолжая заимствование влево до тех пор, пока не будет отличная от нуля цифра, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s i +1 на единицу.

Пример: 704-512.

Уменьшаемое - 704, вычитаемое - 512. Уменьшаемые цифры: m 3 = 7 , m 2 = 0 и m 1 = 4 . Вычитаемые цифры: s 3 = 5 , s 2 = 1 и s 1 = 2 . Начиная с места, 4 не меньше 2, поэтому разница 2 записывается на место результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, то есть 9, записывается в разряде десятков. Американский метод исправляет увеличение десяти, уменьшая цифру в разряде сотен уменьшаемого числа на единицу. То есть 7 вычеркивается и заменяется на 6. Затем вычитание продолжается в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Готово, результат 192.

Австрийский метод не уменьшает 7 до 6. Он увеличивает вычитаемую сотню на единицу. Рядом с этой цифрой или под ней делается небольшая отметка (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число при увеличении на 1, и 5 прибавляется к нему, дает 7. Ответ - 1, и записывается в разряде сотен результата.

Есть дополнительная тонкость в том, что в американском методе ученик всегда использует мысленную таблицу вычитания. Австрийский метод часто побуждает ученика мысленно использовать таблицу сложения в обратном порядке. В приведенном выше примере, вместо того, чтобы прибавлять 1 к 5, получать 6 и вычитать это из 7, ученика просят подумать, какое число при увеличении на 1 и добавлении 5 дает 7.

Вычитание вручную

Австрийский метод

Пример:

Вычитание слева направо

Пример:

Американский метод

В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы вычесть из него нижнее число, мы добавляем к нему 10; эта 10 "заимствована" из верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будет вычтена каждая цифра. Пример:

Торговля в первую очередь

Вариант американского метода, при котором все заимствования производятся до вычитания.

Пример:

Частичные отличия

Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания, потому что не происходит заимствования или переноса. Вместо них ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, меньше или больше уменьшаемое, чем вычитаемое. Сумма частичных разностей и есть общая разница.

Пример:

Невертикальные методы

Подсчет

Вместо того, чтобы находить разность цифр за цифрой, можно подсчитать числа между вычитаемым и уменьшаемым.

Пример: 1234 - 567 = можно найти, выполнив следующие действия:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

Сложите значение каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Прерывание вычитания

Другой метод, который полезен для ментальной арифметики, - это разделение вычитания на небольшие шаги.

Пример: 1234 - 567 = можно решить следующим образом:

  • Тысяча двести тридцать-четыре - 500 = 734
  • 734 - 60 = 674
  • 674 - 7 = 667

То же изменение

Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответ. Просто добавляем сумму, необходимую для получения нулей при вычитании.

Пример:

«1234 - 567 =» можно решить следующим образом:

  • 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Библиография

внешние ссылки