Вейвлет - Wavelet

Вейвлет является волна -как колебания с амплитудой , которая начинается в нуле, увеличивается, а затем уменьшается до нуля. Обычно это можно визуализировать как «кратковременное колебание», подобное тому, которое регистрирует сейсмограф или кардиомонитор . Как правило, вейвлеты намеренно создаются с особыми свойствами, которые делают их полезными для обработки сигналов .

Сейсмический вейвлет

Например, может быть создан вейвлет с частотой средней до и короткой продолжительностью примерно в одну десятую секунды. Если этот вейвлет должен быть свернут с сигналом, созданным из записи мелодии, то результирующий сигнал будет полезен для определения того, когда в песне играется средняя нота C. Математически вейвлет будет коррелировать с сигналом, если неизвестный сигнал содержит информацию аналогичной частоты. Эта концепция корреляции лежит в основе многих практических приложений теории всплесков.

В качестве математического инструмента вейвлеты могут использоваться для извлечения информации из множества различных типов данных, включая, помимо прочего, аудиосигналы и изображения. Наборы вейвлетов обычно необходимы для полного анализа данных. Набор «дополнительных» вейвлетов будет разлагать данные без пропусков или перекрытий, так что процесс разложения будет математически обратимым. Таким образом, наборы дополнительных вейвлетов полезны в алгоритмах сжатия / декомпрессии на основе вейвлетов, где желательно восстановить исходную информацию с минимальными потерями.

С формальной точки зрения, это представление является вейвлет - серии представление интегрируемым квадратом функции по отношению либо к полному , ортонормированному набор базисных функций , или сверхполного набор или кадра векторного пространства , для гильбертова пространства квадратично интегрируемых функций. Это достигается за счет когерентных состояний .

В классической физике явление дифракции описывается принципом Гюйгенса – Френеля, который рассматривает каждую точку распространяющегося волнового фронта как набор отдельных сферических всплесков . Характерная картина изгиба наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (такого как лазер) встречает щель / апертуру, размер которой сопоставим с ее длиной волны , как показано на вставленном изображении. Это происходит из-за добавления или интерференции разных точек на волновом фронте (или, что то же самое, каждого вейвлета), которые проходят пути разной длины к регистрирующей поверхности. Если имеется несколько близко расположенных отверстий (например, дифракционная решетка ), может получиться сложный узор различной интенсивности.

Этимология

Слово вейвлет десятилетиями использовалось в цифровой обработке сигналов и в геофизике разведки. Эквивалентное французское слово ondelette, означающее «маленькая волна», использовалось Морле и Гроссманном в начале 1980-х годов.

Теория вейвлетов

Теория вейвлетов применима к нескольким предметам. Все вейвлет-преобразования могут рассматриваться как формы частотно-временного представления для (аналоговых) сигналов с непрерывным временем и, таким образом, связаны с гармоническим анализом . Дискретное вейвлет-преобразование (непрерывное во времени) дискретного (дискретизированного) сигнала с использованием дискретных наборов фильтров диадической (октавной полосы) конфигурации является вейвлет-приближением этого сигнала. Коэффициенты такого банка фильтров называются коэффициентами сдвига и масштабирования в номенклатуре вейвлетов. Эти наборы фильтров могут содержать фильтры с конечной импульсной характеристикой (FIR) или с бесконечной импульсной характеристикой (IIR). Вейвлеты, образующие непрерывное вейвлет-преобразование (CWT), подчиняются принципу неопределенности соответствующей теории выборки анализа Фурье: учитывая сигнал с некоторым событием в нем, нельзя одновременно присвоить этому событию точную шкалу времени и частотной характеристики. Произведение неопределенностей шкалы времени и частотной характеристики имеет нижнюю границу. Таким образом, на шкалеограмме непрерывного вейвлет-преобразования этого сигнала такое событие отмечает всю область в плоскости шкалы времени, а не только одну точку. Кроме того, дискретные вейвлет-основы можно рассматривать в контексте других форм принципа неопределенности.

Вейвлет-преобразования в общих чертах делятся на три класса: непрерывные, дискретные и основанные на множественном разрешении.

Непрерывные вейвлет-преобразования (параметры непрерывного сдвига и масштабирования)

В непрерывных вейвлет - преобразований , данный сигнал конечной энергии проецируется на непрерывное семейство частотных диапазонов (или аналогичных подпространств L р функции пространства L 2 ( R )). Например, сигнал может быть представлен на каждой полосе частот в форме [ f , 2 f ] для всех положительных частот f > 0. Затем исходный сигнал может быть восстановлен путем подходящего интегрирования по всем результирующим частотным компонентам.

Полосы частот или подпространство (поддиапазоны) масштабируется версия подпространства в масштабе 1. Этого подпространство , в свою очередь, в большинстве ситуаций , порожденных сдвигами одного генерирующей функции ф в L 2 ( R ), с материнским вейвлетом . Для примера масштабирования одной полосы частот [1, 2] эта функция

с (нормализованной) функцией sinc . Это, Мейер и два других примера материнских вейвлетов:

Подпространство масштаба a или полосы частот [1 / a , 2 / a ] генерируется функциями (иногда называемыми дочерними вейвлетами )

где a положительно и определяет масштаб, а b - любое действительное число и определяет сдвиг. Пара ( , б ) определяет точку в правой полуплоскости R + × R .

Тогда проекция функции x на подпространство масштаба a имеет вид

с вейвлет-коэффициентами

Для анализа сигнала x можно собрать вейвлет-коэффициенты в масштабную диаграмму сигнала.

См. Список некоторых непрерывных вейвлетов .

Дискретные вейвлет-преобразования (дискретные параметры сдвига и масштабирования, непрерывные во времени)

С вычислительной точки зрения невозможно проанализировать сигнал с использованием всех вейвлет-коэффициентов, поэтому можно задаться вопросом, достаточно ли выбрать дискретное подмножество верхней полуплоскости, чтобы иметь возможность восстановить сигнал из соответствующих вейвлет-коэффициентов. Одной из таких систем является аффинная система для некоторых реальных параметров > 1, б > 0. Соответствующее дискретное подмножество полуплоскости состоит из всех точек ( в м , на м б ) с т , п в Z . Соответствующие дочерние вейвлеты теперь представлены как

Достаточное условие восстановления любого сигнала x конечной энергии по формуле

является то , что функции образуют ортогональный базис в L 2 ( R ).

Дискретные вейвлет-преобразования на основе множественного разрешения (непрерывные во времени)

Вейвлет D4

В любом дискретизированном вейвлет-преобразовании существует только конечное число вейвлет-коэффициентов для каждой ограниченной прямоугольной области в верхней полуплоскости. Тем не менее, каждый коэффициент требует вычисления интеграла. В особых ситуациях этой числовой сложности можно избежать, если масштабированные и сдвинутые вейвлеты образуют анализ с множественным разрешением . Это означает , что должен существовать вспомогательную функцию , то отец вейвлет φ в L 2 ( R ), и что представляет собой целое число. Типичный выбор - a = 2 и b = 1. Самая известная пара вейвлетов отца и матери - вейвлет Добеши с 4 отводами. Обратите внимание, что не каждый ортонормированный дискретный вейвлет-базис может быть связан с анализом с множественным разрешением; например, вейвлет Журна не допускает анализа с множественным разрешением.

Из вейвлетов матери и отца строятся подпространства

Отцовский вейвлет сохраняет свойства временной области, а материнский вейвлет сохраняет свойства частотной области.

Из них требуется, чтобы последовательность

образует кратномасштабную анализ из L 2 , и что подпространства являются ортогональным «различием» из приведенной выше последовательности, то есть, W т является ортогональным дополнением V м внутри подпространства V м -1 ,

По аналогии с теоремой дискретизации можно сделать вывод, что пространство V m с расстоянием дискретизации 2 м более или менее покрывает полосу частот модулирующих сигналов от 0 до 2 - m -1 . В качестве ортогонального дополнения W m примерно покрывает полосу [2 - m −1 , 2 - m ].

Из этих включений и соотношений ортогональности, особенно , следует существованию последовательностей и которые удовлетворяют идентичности

так что и
так что

Вторая идентичность первой пары является уточняющим уравнением для отцовского вейвлета φ. Обе пары идентичностей составляют основу алгоритма быстрого вейвлет-преобразования .

Из анализа кратномасштабного происходит ортогональное разложение пространства L 2 , как

Для любого сигнала или функции это дает представление в базисных функциях соответствующих подпространств как

где коэффициенты

а также

Материнский вейвлет

Для практических приложений и из соображений эффективности предпочтение отдается непрерывно дифференцируемым функциям с компактной опорой в качестве материнского (прототипа) вейвлета (функций). Однако, чтобы удовлетворить аналитические требования (в непрерывном WT) и в целом по теоретическим причинам, каждый выбирает вейвлет-функции из подпространства пространства. Это пространство измеримых по Лебегу функций, которые являются как абсолютно интегрируемыми, так и интегрируемыми с квадратом в том смысле, что

а также

Пребывание в этом пространстве гарантирует, что можно сформулировать условия нулевого среднего и квадратичной нормы единица:

- условие нулевого среднего, а
- условие квадратичной нормы, равной единице.

Чтобы ψ было вейвлетом для непрерывного вейвлет-преобразования (см. Там точную формулировку), материнский вейвлет должен удовлетворять критерию допустимости (грубо говоря, разновидности полудифференцируемости), чтобы получить стабильно обратимое преобразование.

Для дискретного вейвлет - преобразование , необходимо по крайней мере , при условии , что вейвлет - серии является представлением единицы в пространство L 2 ( R ). Большинство конструкций дискретного WT используют анализ с множественным разрешением , который определяет вейвлет с помощью функции масштабирования. Эта функция масштабирования сама по себе является решением функционального уравнения.

В большинстве ситуаций полезно ограничить ψ как непрерывную функцию с большим числом M исчезающих моментов, т. Е. Для всех целых m < M

Материнский вейвлет масштабируется (или расширяется) с коэффициентом a и переводится (или смещается) с коэффициентом b, чтобы дать (согласно исходной формулировке Морле):

Для непрерывного ВП пара ( a , b ) изменяется во всей полуплоскости R + × R ; для дискретного WT эта пара меняется на его дискретном подмножестве, которое также называется аффинной группой .

Эти функции часто неправильно называют базисными функциями (непрерывного) преобразования. Фактически, как и в случае непрерывного преобразования Фурье, в непрерывном вейвлет-преобразовании нет основы. Частотно-временная интерпретация использует несколько иную формулировку (по Дельпрату).

Ограничение :

  1. когда a1 = a и b1 = b,
  2. имеет конечный интервал времени

Сравнение с преобразованием Фурье (непрерывное время)

Вейвлет-преобразование часто сравнивают с преобразованием Фурье , в котором сигналы представлены в виде суммы синусоид. Фактически, преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай непрерывного вейвлет-преобразования с выбором материнского вейвлета . Основное отличие в целом состоит в том, что вейвлеты локализованы как по времени, так и по частоте, тогда как стандартное преобразование Фурье локализовано только по частоте . Кратковременное преобразование Фурье (КК) похож на вейвлет - преобразования, в том , что это также время и частота локализованы, но есть проблемы с частотой / разрешением по времени компромисс.

В частности, предполагая прямоугольную область окна, можно думать о STFT как о преобразовании с немного другим ядром.

где часто можно записать как , где и u соответственно обозначают длину и временное смещение оконной функции. Используя теорему Парсеваля , можно определить энергию вейвлета как

Отсюда квадрат временной поддержки окна, смещенного по времени u , определяется выражением

и квадрат спектральной опоры окна, действующего на частоту

Умножение с прямоугольным окном во временной области соответствует свертке с функцией в частотной области, что приводит к ложным артефактам звонка для коротких / локализованных временных окон. С преобразованием Фурье с непрерывным временем, и эта свертка выполняется с дельта-функцией в пространстве Фурье, что приводит к истинному преобразованию Фурье сигнала . Оконной функцией может быть какой-то другой аподизирующий фильтр , например гауссовский . Выбор оконной функции повлияет на ошибку аппроксимации относительно истинного преобразования Фурье.

С помощью STFT нельзя превышать произведение времени и ширины ячейки с заданным разрешением. Все базовые элементы STFT поддерживают равномерную спектральную и временную поддержку для всех временных сдвигов или смещений, тем самым достигая одинакового разрешения во времени для низких и высоких частот. Разрешение определяется исключительно шириной выборки.

В противоположность этому , вейвлет - преобразование'S multiresolutional свойства обеспечивают большие временные опоры для более низких частот, сохраняя при этом короткие временные ширины для более высоких частот с помощью масштабных свойств вейвлет - преобразования. Это свойство расширяет традиционный частотно-временной анализ до масштабного анализа.

Атомы времени-частоты STFT (слева) и атомы шкалы времени DWT (справа). Атомы время-частота - это четыре различные базисные функции, используемые для STFT (т. Е. Требуются четыре отдельных преобразования Фурье ). Атомы шкалы времени DWT достигают небольшой временной ширины для высоких частот и хорошей временной ширины для низких частот с одним базисным набором преобразования.

Дискретное вейвлет-преобразование менее сложно в вычислительном отношении , занимая время O ( N ) по сравнению с O ( N  log  N ) для быстрого преобразования Фурье . Это вычислительное преимущество не присуще преобразованию, но отражает выбор логарифмического деления частоты, в отличие от равномерного частотного деления БПФ (быстрое преобразование Фурье), которое использует те же базовые функции, что и ДПФ (дискретное преобразование Фурье). . Также важно отметить, что эта сложность применима только тогда, когда размер фильтра не имеет отношения к размеру сигнала. Вейвлет без компактной опоры, такой как вейвлет Шеннона , потребует O ( N 2 ). (Например, логарифмическое преобразование Фурье также существует со сложностью O ( N ), но исходный сигнал должен быть дискретизирован логарифмически по времени, что полезно только для определенных типов сигналов.)

Определение вейвлета

Существует несколько способов определения вейвлета (или семейства вейвлетов).

Масштабирующий фильтр

Ортогональный вейвлет полностью определяется масштабирующим фильтром - фильтром нижних частот с конечной импульсной характеристикой (КИХ) длиной 2 N и суммой 1. В биортогональных вейвлетах определены отдельные фильтры разложения и восстановления.

Для анализа с помощью ортогональных вейвлетов фильтр верхних частот вычисляется как квадратурный зеркальный фильтр нижних частот, а фильтры восстановления являются обратными по времени фильтрами разложения.

Вейвлеты Добеши и Симлета могут быть определены с помощью масштабирующего фильтра.

Функция масштабирования

Вейвлеты определяются функцией вейвлета ψ ( t ) (то есть материнским вейвлетом) и функцией масштабирования φ ( t ) (также называемой отцовским вейвлетом) во временной области.

Вейвлет-функция фактически является полосовым фильтром, масштабирование которого для каждого уровня уменьшает его полосу пропускания вдвое. Это создает проблему, заключающуюся в том, что для покрытия всего спектра потребуется бесконечное количество уровней. Функция масштабирования фильтрует самый низкий уровень преобразования и обеспечивает охват всего спектра. См. Подробное объяснение.

Для вейвлета с компактной опорой φ ( t ) может считаться конечной по длине и эквивалентен масштабному фильтру g .

Вейвлеты Мейера могут быть определены с помощью функций масштабирования

Вейвлет-функция

Вейвлет имеет представление только во временной области как вейвлет-функция ψ ( t ).

Например, вейвлеты в мексиканской шляпе могут быть определены с помощью вейвлет-функции. См. Список из нескольких непрерывных вейвлетов .

История

Развитие вейвлетов можно связать с несколькими отдельными направлениями мысли, начиная с работ Хаара в начале 20 века. Более поздняя работа Денниса Габора привела к появлению атомов Габора (1946), которые построены аналогично вейвлетам и применяются для аналогичных целей.

С тех пор значительный вклад в теорию вейвлетов можно отнести к открытию Цвейгом непрерывного вейвлет-преобразования (CWT) в 1975 году (первоначально называвшемуся кохлеарным преобразованием и обнаруженного при изучении реакции уха на звук), Пьером Гупийо, Гроссманом и Морле. формулировка того, что сейчас известно как CWT (1982), ранняя работа Ян-Олова Стрёмберга по дискретным вейвлетам (1983), вейвлет LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3, разработанный Дидье Ле Галлом и Али Дж. Табатабаи ( 1988), Добеши 'ортогональные вейвлеты с компактным носителем (1988), Mallat ' рамки с кратномасштабной (1989), Али Аканзу «s Бином СУК (1990), частотно-временной интерпретации Nathalie Delprat по НВП (1991), Ньюленд в гармонический вейвлет transform (1993) и установление разделения в иерархических деревьях (SPIHT), разработанное Амиром Саидом и Уильямом А. Перлманом в 1996 году.

Стандарт JPEG 2000 был разработан с 1997 по 2000 год комитетом Joint Photographic Experts Group (JPEG) под председательством Тураджа Эбрахими (впоследствии президента JPEG). В отличие от алгоритма DCT, используемого в исходном формате JPEG , JPEG 2000 вместо этого использует алгоритмы дискретного вейвлет-преобразования (DWT). Он использует вейвлет-преобразование CDF 9/7 (разработанное Ингрид Добешис в 1992 году) для своего алгоритма сжатия с потерями и вейвлет-преобразование ЛеГалла-Табатабаи (LGT) 5/3 (разработанное Дидье Ле Галлом и Али Дж. Табатабаи в 1988 году). за его алгоритм сжатия без потерь . Технология JPEG 2000 , которая включает расширение Motion JPEG 2000 , была выбрана в качестве стандарта кодирования видео для цифрового кино в 2004 году.

Лента новостей

Вейвлет-преобразования

Вейвлет - это математическая функция, используемая для разделения заданной функции или сигнала непрерывного времени на различные компоненты масштаба. Обычно каждому компоненту шкалы можно присвоить частотный диапазон. Затем каждый компонент шкалы может быть изучен с разрешением, которое соответствует его масштабу. Вейвлет-преобразование - это представление функции вейвлетами. Вейвлеты представляют собой масштабированные и транслируемые копии (известные как «дочерние вейвлеты») конечной длины или быстро затухающей осциллирующей формы волны (известной как «материнский вейвлет»). Вейвлет-преобразования имеют преимущества перед традиционными преобразованиями Фурье для представления функций, которые имеют разрывы и острые пики, а также для точного деконструирования и восстановления конечных, непериодических и / или нестационарных сигналов.

Вейвлет-преобразования подразделяются на дискретные вейвлет-преобразования (DWT) и непрерывные вейвлет-преобразования (CWT). Обратите внимание, что и DWT, и CWT являются преобразованиями с непрерывным временем (аналоговыми). Их можно использовать для представления непрерывных (аналоговых) сигналов. CWT работают со всеми возможными масштабами и перемещениями, тогда как DWT используют определенное подмножество значений масштаба и перемещения или сетки представления.

Существует большое количество вейвлет-преобразований, каждое из которых подходит для разных приложений. Полный список см. В списке преобразований, связанных с вейвлетами, но наиболее распространенные из них перечислены ниже:

Обобщенные преобразования

Существует ряд обобщенных преобразований, частным случаем которых является вейвлет-преобразование. Например, Йосеф Джозеф Сегман ввел масштаб в группу Гейзенберга , создав пространство непрерывного преобразования, которое является функцией времени, масштаба и частоты. CWT - это двумерный срез полученного трехмерного объема в масштабе времени и частоте.

Другим примером обобщенного преобразования является преобразование chirplet, в котором CWT также является двумерным срезом через преобразование chirplet.

Важной областью применения обобщенных преобразований являются системы, в которых решающее значение имеет высокое разрешение по частоте. Например, электронно-оптические преобразования темного поля, промежуточные между прямым и обратным пространством , широко используются в гармоническом анализе кластеризации атомов, то есть при исследовании кристаллов и дефектов кристаллов . Теперь, когда просвечивающие электронные микроскопы способны предоставлять цифровые изображения с пикометровой информацией об атомной периодичности в наноструктурах всех видов, расширяется диапазон приложений распознавания образов и деформации / метрологии для промежуточных преобразований с высоким частотным разрешением (например, кистей и риджлетов). быстро.

Дробное вейвлет-преобразование (FRWT) является обобщением классического вейвлет-преобразования в областях дробного преобразования Фурье. Это преобразование позволяет одновременно предоставлять информацию во временной и дробной областях и представлять сигналы в плоскости дробно-временной области.

Приложения вейвлет-преобразования

Обычно приближение к DWT используется для сжатия данных, если сигнал уже дискретизирован, и CWT для анализа сигнала . Таким образом, приближение DWT обычно используется в инженерии и информатике, а CWT - в научных исследованиях.

Как и некоторые другие преобразования, вейвлет-преобразования могут использоваться для преобразования данных, а затем для кодирования преобразованных данных, что приводит к эффективному сжатию. Например, JPEG 2000 - это стандарт сжатия изображений, в котором используются биортогональные вейвлеты. Это означает, что, хотя кадр является переполненным, это плотный кадр (см. Типы кадров векторного пространства ), и те же функции кадра (за исключением сопряжения в случае сложных вейвлетов) используются как для анализа, так и для синтеза, т. Е. , как в прямом, так и в обратном преобразовании. Подробнее см. Сжатие вейвлетов .

Связанное использование предназначено для сглаживания / уменьшения шума данных на основе порогового значения вейвлет-коэффициента, также называемого сжатием вейвлета. Посредством адаптивного определения порога вейвлет-коэффициентов, которые соответствуют нежелательным частотным компонентам, могут выполняться операции сглаживания и / или удаления шума.

Вейвлет-преобразования также начинают использоваться в коммуникационных приложениях. Wavelet OFDM - это основная схема модуляции, используемая в HD-PLC ( технология связи по линиям электропередач, разработанная Panasonic ), и в одном из дополнительных режимов, включенных в стандарт IEEE 1901 . Вейвлет OFDM может достигать более глубоких отметок, чем традиционный FFT OFDM, а вейвлетный OFDM не требует защитного интервала (который обычно представляет собой значительные накладные расходы в системах FFT OFDM).

Как представление сигнала

Часто сигналы могут быть хорошо представлены в виде суммы синусоид. Однако рассмотрим прерывистый сигнал с резким разрывом; этот сигнал все еще может быть представлен как сумма синусоид, но требует бесконечного числа, что является наблюдением, известным как феномен Гиббса . Таким образом, для этого требуется бесконечное количество коэффициентов Фурье, что непрактично для многих приложений, таких как сжатие. Вейвлеты более полезны для описания этих сигналов с разрывами из-за их локализованного во времени поведения (как преобразования Фурье, так и вейвлет-преобразования локализованы по частоте, но вейвлеты обладают дополнительным свойством локализации во времени). Из-за этого на практике многие типы сигналов могут быть не разреженными в области Фурье, но очень разреженными в области вейвлетов. Это особенно полезно при реконструкции сигнала, особенно в недавно популярной области сжатого зондирования . (Обратите внимание, что кратковременное преобразование Фурье (STFT) также локализовано по времени и частоте, но часто возникают проблемы с компромиссом частотно-временного разрешения. Вейвлеты лучше представляют сигнал из-за анализа с множественным разрешением .)

Это мотивирует то, почему вейвлет-преобразования теперь применяются для огромного числа приложений, часто заменяя обычное преобразование Фурье . Этот сдвиг парадигмы произошел во многих областях физики, включая молекулярную динамику , теорию хаоса , ab initio вычисления, астрофизику , анализ переходных данных гравитационных волн , локализацию матрицы плотности , сейсмологию , оптику , турбулентность и квантовую механику . Это изменение также коснулось обработки изображений , ЭЭГ , ЭМГ , анализа ЭКГ , ритмов мозга , анализа ДНК, анализа белков , климатологии , анализа сексуальной реакции человека, общей обработки сигналов , распознавания речи , акустики, вибрационных сигналов, компьютерной графики , мультифрактального анализа , и разреженное кодирование . В компьютерном зрении и обработке изображений понятие представления масштабного пространства и операторов производной Гаусса рассматривается как каноническое многомасштабное представление.

Вейвлет шумоподавление

Шумоподавление сигнала с помощью порогового значения вейвлет-преобразования

Предположим, мы измеряем зашумленный сигнал . Предположим, что s имеет разреженное представление в определенных базисах вейвлетов, и

Итак .

Большинство элементов в p равны 0 или близки к 0, и

Поскольку W ортогонален, задача оценки сводится к восстановлению сигнала в iid гауссовском шуме . Поскольку p является разреженным, одним из методов является применение модели смеси Гаусса для p.

Предположим априор , - это дисперсия «значимых» коэффициентов, а - дисперсия «незначительных» коэффициентов.

Затем , называется усадкой коэффициент, который зависит от предыдущих дисперсий и . Эффект коэффициента усадки заключается в том, что малые коэффициенты заранее устанавливаются на 0, а большие коэффициенты не меняются.

Маленькие коэффициенты - это в основном шумы, а большие коэффициенты содержат фактический сигнал.

Наконец, примените обратное вейвлет-преобразование, чтобы получить

Вейвлет-нейронная сеть (WNN)

WNN - это модель глубокого обучения. Его главная особенность заключается в том, что WNN может уменьшить шум или избыточные данные для повышения точности. В этом случае WNN широко используется в различных областях, включая обработку сигналов, инженерию, компьютерное зрение и финансы.

Вступление

Нелинейные сети очень полезны для моделирования и идентификации систем. Например, этот приближенный метод можно использовать для распознавания черных ящиков нелинейных систем. Недавно нейронные сети были созданы как общий инструмент аппроксимации для подбора нелинейных моделей на основе входных / выходных данных. Работы Г. Цибенко, Кэролла и Дикинсона установили универсальные аппроксимационные свойства таких сетей. С другой стороны, недавно представленное вейвлет-разложение стало новым мощным инструментом аппроксимации. Факты доказали, что структура этой приблизительной структуры очень похожа на структуру, реализованную нейронной сетью уровня (1 + $). В частности, недавние разработки показали существование ортогональных вейвлет-базисов, из которых может быть получена скорость сходимости сетевого приближения, основанного на вейвлетах. Эта статья, вдохновленная нейронными сетями с прямой связью и вейвлет-декомпозицией, предлагает новый тип сети, называемой вейвлет-сетью. Предложен алгоритм обратного распространения сигнала и приведены экспериментальные результаты.

Структура и параметризация

Форма сетевой структуры, в которой вводятся дополнительные (и избыточные) параметры g, чтобы помочь справиться с функциями ненулевого среднего над конечными полями. Обратите внимание, что, поскольку расширение и перевод настраиваются, эта форма эквивалентна форме с точностью до постоянного g. Кроме того, чтобы компенсировать избирательность направления расширения, мы комбинируем вращение с каждым аффинным преобразованием, чтобы сделать сеть более гибкой.

куда

  • Дополнительный параметр 9 введен для того, чтобы упростить аппроксимацию функций с ненулевым средним, поскольку вейвлет a (x) является нулевым средним;
  • Матрицы растяжения D, являются диагональными матрицами, построенными из векторов растяжения, в то время как R, являются матрицами вращения.

Анализ

Предлагается и обсуждается структура вейвлет-сети. Сети вейвлетов обычно имеют форму трехуровневой сети. Нижний слой представляет входной уровень, средний слой представляет скрытый слой, а верхний слой представляет выходной слой. В нашей реализации используется многомерная вейвлет-сеть с линейной связью между вейвлетом и выходом. Кроме того, существует прямое соединение от входного уровня к выходному, что помогает сети хорошо работать в линейных приложениях.

Кроме того, также обсуждаются этап инициализации, этап обучения и условия остановки. Инициализация параметров очень важна в вейвлет-сетях, поскольку она может значительно сократить время обучения. Разработанный метод инициализации извлекает полезную информацию из вейвлет-анализа. Самый простой метод - эвристический. Более сложные методы (такие как выбор на основе остатков, выбор посредством ортогонализации и обратное исключение) могут использоваться для эффективной инициализации. Результаты нашего анализа показывают, что обратное исключение значительно лучше, чем другие методы. Результаты двух случаев моделирования показывают, что при использовании метода обратного исключения вейвлет-сеть обеспечивает аппроксимацию, очень близкую к реальной базисной функции. Однако в вычислительном отношении он дороже других методов. Для обучения сети используется метод обратного распространения ошибки. Итеративно обновляйте веса сети в соответствии с правилами инкрементного обучения, где используются скорость обучения и импульс. Обучите веса сети, чтобы минимизировать среднюю квадратичную функцию стоимости. Обучение будет продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено одно из условий остановки.


Расследование потенциальной проблемы авторского права

Обратите внимание, это касается текста этой статьи в Википедии; не следует думать о предмете данной статьи.

Не восстанавливайте и не редактируйте пустое содержимое на этой странице, пока проблема не будет решена администратором , клерком по авторским правам или агентом OTRS .

Если вы только что отметили эту страницу как потенциальную проблему с авторскими правами, следуйте инструкциям по заполнению в нижней части поля.

Предыдущее содержимое этой страницы или раздела было определено как представляющее потенциальную проблему авторского права , как копию или модификацию текста из источника (источников) ниже, и теперь указано в разделе Проблемы авторского права ( список ) :

Если статус авторских прав на текст этой страницы или раздела не прояснен и не определен как совместимый с лицензией на содержание Википедии, проблемный текст и исправления или вся страница могут быть удалены через неделю после того, как они были внесены в список (т.е. после 16:29 , 24 октября 2021 г. (UTC)).

Временно исходная публикация все еще доступна для просмотра в истории страницы .

Можете ли вы помочь решить эту проблему?
Если у вас есть авторские права на этот текст, вы можете лицензировать его таким образом, чтобы разрешить его использование в Википедии. Нажмите «Показать», чтобы увидеть, как это сделать.
  1. Вы должны разрешить использование своих материалов в соответствии с условиями Непортированной лицензии Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 (CC BY-SA 3.0) и Лицензии свободной документации GNU (GFDL) (без версий, без неизменяемых разделов, текстов на лицевой обложке, или текст на задней обложке).
  2. Объясните свое намерение лицензировать контент на странице обсуждения этой статьи .
  3. Чтобы подтвердить свое разрешение, вы можете либо разместить уведомление об этом на сайте исходной публикации, либо отправить электронное письмо с адреса, связанного с исходной публикацией, на permissions-en @wikimedia.org или почтовое письмо в Фонд Викимедиа . Эти сообщения должны явно разрешать использование в соответствии с CC BY-SA и GFDL. См. Википедию: Пожертвование материалов, защищенных авторским правом .
  4. Обратите внимание, что статьи в Википедии должны быть написаны с нейтральной точки зрения и должны быть проверены в опубликованных сторонних источниках; подумайте, не говоря уже об авторских правах, ваш текст подходит для включения в Википедию.
Вы можете продемонстрировать, что этот текст находится в общественном достоянии или уже находится под лицензией, подходящей для Википедии. Нажмите «Показать», чтобы увидеть, как это сделать.
Объясните это на странице обсуждения этой статьи со ссылкой на доказательства. Википедия: общественное достояние и Википедия: совместимые лицензии могут помочь в определении статуса.
В противном случае вы можете переписать эту страницу без материалов, нарушающих авторские права. Нажмите «Показать», чтобы узнать, где и как.

Ваш ревизионный документ должен быть размещен на этой странице, где администратор или клерк смогут просмотреть его в конце периода листинга. Перейдите по этой ссылке, чтобы создать временную подстраницу .

  • Простого изменения текста, защищенного авторским правом, недостаточно, чтобы избежать нарушения авторских прав - если исходное нарушение авторских прав не может быть полностью удалено или статья вернулась к предыдущей версии, лучше всего написать статью с нуля. (См. Википедию: полный перефраз .)
  • Для соответствия лицензии любой контент, использованный из исходной статьи, должен иметь соответствующую атрибуцию; если вы используете контент из оригинала, пожалуйста, оставьте примечание в верхней части переписанного текста, в котором говорится об этом. Вы можете дублировать текст, не нарушающий авторских прав, который вы написали сами.
  • При переписывании всегда рекомендуется определить точку, где защищенный авторским правом контент был импортирован в Википедию, и убедиться, что автор не добавил контент, импортированный из других источников. При закрытии расследования клерки и администраторы могут обнаружить другие проблемы с авторскими правами, кроме выявленных. Если этот материал находится в предлагаемой перезаписи и не может быть легко удален, перезапись может оказаться непригодной для использования.
Укажите, что вы создали перезапись на странице обсуждения этой статьи .
Об импорте текста в Википедию
  • Размещение материалов, защищенных авторским правом, без явного разрешения правообладателя считается нарушением авторских прав , что является незаконным и противоречит политике Википедии .
  • Если у вас есть явное разрешение, это должно быть подтверждено либо явным сообщением у источника, либо по электронной почте или письмом в Фонд Викимедиа. См. Википедию: Заявление о согласии на все запросы .
  • Политика требует, чтобы мы блокировали тех, кто неоднократно публикует материалы, защищенные авторским правом, без явного разрешения.
Инструкции по подаче

Если вы отметили статью для расследования, выполните следующие действия:

Список вейвлетов

Дискретные вейвлеты

Непрерывные вейвлеты

С реальной ценностью

Комплекснозначный

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Хаар А., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme , Mathematische Annalen, 69 , стр. 331–371, 1910.
  • Ингрид Добешис , Десять лекций по вейвлетам , Общество промышленной и прикладной математики, 1992, ISBN  0-89871-274-2
  • Али Акансу и Ричард Хаддад, Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны, вейвлеты , Academic Press, 1992, ISBN  0-12-047140-X
  • П.П. Вайдьянатан , Многоскоростные системы и банки фильтров , Prentice Hall, 1993, ISBN  0-13-605718-7
  • Джеральд Кайзер, Дружественный справочник по вейвлетам , Birkhauser, 1994, ISBN  0-8176-3711-7
  • Младен Виктор Викерхаузер, Адаптированный вейвлет-анализ от теории к программному обеспечению , AK Peters Ltd, 1994, ISBN  1-56881-041-5
  • Мартин Веттерли и Елена Ковачевич, "Вейвлеты и кодирование поддиапазонов", Prentice Hall, 1995, ISBN  0-13-097080-8
  • Барбара Берк Хаббард, «Мир согласно вейвлетам: история создания математической техники», AK Peters Ltd, 1998, ISBN  1-56881-072-5 , ISBN  978-1-56881-072-0
  • Стефан Малла , "Вейвлет-тур по обработке сигналов", 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
  • Дональд Б. Персиваль и Эндрю Т. Уолден, Вейвлет-методы для анализа временных рядов , Cambridge University Press, 2000, ISBN  0-521-68508-7
  • Рамазан Генчай, Фарук Сельчук и Брэндон Уитчер, Введение в вейвлеты и другие методы фильтрации в финансах и экономике , Academic Press, 2001, ISBN  0-12-279670-5
  • Пол С. Аддисон, Справочник по иллюстрированному вейвлет-преобразованию , Институт физики , 2002, ISBN  0-7503-0692-0
  • Б. Боашаш, редактор, "Анализ и обработка частотно-временных сигналов - исчерпывающий справочник", Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN  0-08-044335-4 .
  • Тони Ф. Чан и «Джеки (Цзяньхун) Шен» , Обработка и анализ изображений - вариационные, PDE, вейвлет и стохастические методы , Общество прикладной математики, ISBN  0-89871-589-X (2005)
  • Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.10. Вейвлет-преобразования» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN. 978-0-521-88068-8

внешние ссылки