Обозначение Кнута со стрелкой вверх - Knuth's up-arrow notation

В математике нотация Кнута со стрелкой вверх - это метод записи очень больших целых чисел , введенный Дональдом Кнутом в 1976 году.

В своей статье 1947 года Р.Л. Гудстайн ввел конкретную последовательность операций, которые теперь называются гипероперациями . Гудштейн также предложил греческие названия тетрация , пентация и т. Д. Для расширенных операций за пределами возведения в степень . Запускается последовательность с одноместной операцией (далее функция правопреемником с п = 0), и продолжает с бинарными операциями в дополнение ( п = 1), умножение ( п = 2), возведение в степень ( п = 3), тетрация ( п = 4 ), пентации ( n = 5) и т. д.

Для представления гиперопераций использовались различные обозначения . Одно из таких обозначений . Другая нотация - это инфиксная нотация, удобная для ASCII . Обозначение известно как «обозначение квадратных скобок». ${\ Displaystyle H_ {п} (а, б)}$${\ displaystyle a [n] b}$${\ displaystyle a [n] b}$

Обозначение Кнута со стрелкой вверх является альтернативным обозначением. Он получается заменой в квадратных скобках обозначений на стрелки. ${\ displaystyle \ uparrow}$${\ Displaystyle [п]}$${\ displaystyle n-2}$

Например:

• единственная стрелка представляет возведение в степень (повторное умножение)${\ displaystyle \ uparrow}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 \ times (2 \ times (2 \ times 2)) = 2 ^ {4} = 16}$

• двойная стрелка представляет собой тетрацию (повторное возведение в степень)${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}$

• тройная стрелка представляет пентацию (повторное тетрирование)${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ вверх 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 4) \\ & = \ underbrace { 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow \ dots))} \\ & 2 \ uparrow \ uparrow 4 {\ mbox {копии}} 2 \\\ конец {выровнены}}}$

Общее определение обозначения стрелки вверх следующее (для ): ${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}$

Здесь обозначено n стрелок, например, ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 2 \ uparrow ^ {4} 3}$.

Вступление

В гипероператор естественно расширить арифметические операции из того и умножения следующим образом .

Добавление с помощью натурального числа определяются как итерированное приращение:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = & a + \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ & b {\ mbox {копии из}} 1 \ end {matrix}}}$

Умножение на натуральное число определяется как повторное сложение :

${\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a \ times b = & \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ & b {\ mbox {копирует of}} a \ end {matrix}}}$

Например,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ times 4 & = & \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} & = & 12 \\ && 4 {\ mbox {копии}} 3 \ end {matrix}}}$

Возведение в степень для естественной степени определяется как повторное умножение, которое Кнут обозначил одной стрелкой вверх: ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = & \ underbrace {a \ times a \ times \ dots \ times a} \\ & b {\ mbox {копии}} a \ end {matrix}}}$

Например,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow 3 = 4 ^ {3} = & \ underbrace {4 \ times 4 \ times 4} & = & 64 \\ & 3 {\ mbox {копии}} 4 \ end { матрица}}}$

Тетрация определяется как повторное возведение в степень, которое Кнут обозначил «двойной стрелкой»:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = & \ underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {a}}}}}}} & = & \ underbrace {a \ uparrow (a \ uparrow (\ dots \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {копии }} a && b {\ mbox {копии}} a \ end {matrix}}}$

Например,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow \ uparrow 3 = & \ underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} & = & \ underbrace {4 \ uparrow (4 \ uparrow 4)} & = & 4 ^ {256} & \ приблизительно & 1.34078079 \ times 10 ^ {154} & \\ & 3 {\ mbox {копии}} 4 && 3 {\ mbox {копии}} 4 \ end {matrix}}}$

Выражения оцениваются справа налево, поскольку операторы определены как правоассоциативные .

Согласно этому определению,

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} \ приблизительно 1,2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } \ приблизительно 3 ^ {1.2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}}$

и т.п.

Это уже приводит к некоторым довольно большим числам, но последовательность гипероператоров на этом не заканчивается.

Пентация , определяемая как повторная тетрация, представлена ​​«тройной стрелкой»:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {копии}} a \ end {matrix}}}$

Гексация , определяемая как повторная пентация, представлена ​​«четверной стрелкой»:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow \ uparrow ( a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {копии}} a \ end {matrix}}}$

и так далее. Общее правило состоит в том, что оператор -стрелка расширяется до правоассоциативной серии операторов ( ) -стрелки. Символично, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n} \ b = \ underbrace {a \ \ underbrace {\ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ (\ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1 } \ (\ dots \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ a))} _ {b {\ text {копии}} a } \ end {matrix}}}$

Примеры:

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7,625,597,484,987}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow \ uparrow 3) = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow 3 \ uparrow 3) = & \ underbrace {3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & 3 \ uparrow 3 \ uparrow 3 {\ mbox {копии}} 3 \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = & \ underbrace { 3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & {\ mbox {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = & \ underbrace {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3}}}}}}}} \\ & {\ mbox {7 625 597 484 987 копий 3}} \ end {matrix} }}$

Обозначение

В таких выражениях, как обозначение возведения в степень, обычно пишется показатель степени как надстрочный индекс к основному числу . Но многие среды, такие как языки программирования и электронная почта с обычным текстом , не поддерживают надстрочный набор. Люди приняли линейные обозначения для таких сред; стрелка вверх предлагает «возвести в степень». Если набор символов не содержит стрелки вверх, вместо нее используется каретка (^). ${\ displaystyle a ^ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ uparrow b}$

Обозначение надстрочного индекса плохо поддается обобщению, что объясняет, почему Кнут предпочел работать с встроенной нотацией . ${\ displaystyle a ^ {b}}$${\ displaystyle a \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$это более короткое альтернативное обозначение n вверх. Итак . ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {4} b = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Стрелы Кнута стали довольно популярными, возможно, потому, что это более сильный логотип, чем например . ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$${\ Displaystyle [п]}$

Написание нотации со стрелкой вверх в терминах степеней

Попытка написать, используя знакомую нотацию надстрочного индекса, дает башню силы. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}$

Например: ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow (a \ uparrow (a \ uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}}$

Если b - переменная (или слишком большая), башня мощности может быть написана точками и примечанием, указывающим высоту башни.

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {b}}$

Продолжая эти обозначения, можно было бы записать стопку таких энергетических башен, каждая из которых описывает размер той, что находится над ней. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow a)) = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {. {. {. a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ { . {a}}}}}} _ {a}}}}$

Опять же, если b - переменная или слишком большая, стек может быть записан с использованием точек и примечания, указывающего его высоту.

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ { . ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Кроме того, можно было бы записать с использованием нескольких столбцов таких стеков башен власти, каждый столбец описывает количество башен власти в стеке слева от него: ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow a)) = \ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} а}$

И вообще:

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {\ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ cdots \ right \} a} _ {b}}$

Это может выполняться бесконечно, чтобы представить как повторное возведение в степень повторного возведения в степень для любых a , n и b (хотя это явно становится довольно громоздким). ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$

Использование тетрации

Тетрация нотация позволяет нам сделать эти диаграммы немного проще в том же время используя геометрическое представление (мы могли бы назвать эту тетрацию башню ). ${\ displaystyle ^ {b} а}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = {} ^ {b} a}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Наконец, в качестве примера четвертое число Аккермана можно представить как: ${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {4} 4}$

${\ displaystyle \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.}.}. } 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = \ underbrace {^ {^ {^ {^ { ^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4 } 4} 4} 4}}}$

Обобщения

Некоторые числа настолько велики, что несколько стрелок в нотации Кнута, направленной вверх, становятся слишком громоздкими; тогда полезен оператор n -стрелки (а также для описаний с переменным количеством стрелок) или, что эквивалентно, гипероператоры . ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

Некоторые числа настолько велики, что даже этих обозначений недостаточно. Обозначения конвея затем могут быть использованы: цепочка из трех элементов эквивалентна с другими обозначениями, но цепь из четырех или более является еще более мощным.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow ^ {n} b & = & a [n + 2] b & = & a \ to b \ to n \\ {\ mbox {(Knuth)}} && {\ mbox {( гипероперация)}} && {\ mbox {(Конвей)}} \ end {matrix}}}$

${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$= , Так как = = , Таким образом, результат выходит с${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}$${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {46,656}}}$${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}}} _ {4}}$

${\ displaystyle 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow 15) +3)}$= или (Петиллион) ${\ displaystyle \ underbrace {100000 ... 000} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {15}}}}$${\ displaystyle 10 ^ {3 \ times 10 ^ {3 \ times 10 ^ {15}} + 3}}$

Примечание: Phi = = =${\ displaystyle \ leftarrow 1 [1]}$${\ displaystyle \ leftarrow 1}$${\ displaystyle \ phi}$

Определение

Без ссылки на гипероперацию операторы стрелки вверх могут быть формально определены следующим образом:

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a ^ {b}, & {\ text {if}} n = 1; \\ 1, & {\ text {if}} n> 1 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {в противном случае}} \ end {case }}}$

для всех целых чисел с . ${\ displaystyle a, b, n}$${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 1, б \ geq 0}$

Это определение использует возведение в степень как базовый случай, а тетрацию как повторное возведение в степень. Это эквивалентно последовательности гиперопераций, за исключением того, что в ней пропущены еще три основные операции: последовательность , сложение и умножение . ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {1} b = a \ uparrow b = a ^ {b})}$ ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {2} b = a \ uparrow \ uparrow b)}$

В качестве альтернативы можно выбрать умножение в качестве базового случая и выполнять итерацию оттуда. Тогда возведение в степень становится повторным умножением. Формальное определение будет ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {0} b = a \ times b)}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a \ times b, & {\ text {if}} n = 0; \\ 1, & {\ text {if}} n> 0 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {в противном случае}} \ end {case} }}$

для всех целых чисел с . ${\ displaystyle a, b, n}$${\ Displaystyle а \ geq 0, п \ geq 0, б \ geq 0}$

Обратите внимание, однако, что Кнут не определил «стрелку на ноль» ( ). Можно было бы расширить обозначение на отрицательные индексы (n ≥ -2) таким образом, чтобы согласовать со всей последовательностью гиперопераций, за исключением запаздывания в индексации: ${\ displaystyle \ uparrow ^ {0}}$

${\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a \ uparrow ^ {n-2} b {\ text {for}} n \ geq 0.}$

Операция со стрелкой вверх является правоассоциативной операцией , то есть понимается как вместо . Если двусмысленность не является проблемой, скобки иногда опускаются. ${\ displaystyle a \ uparrow b \ uparrow c}$${\ Displaystyle а \ вверх (б \ вверх с)}$${\ displaystyle (a \ uparrow b) \ uparrow c}$

Таблицы значений

Вычисление 0 ↑ ⁿ  b

Вычисление результатов в ${\ displaystyle 0 \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$

0, когда n = 0 

1, когда n = 1 и b = 0  

0, когда n = 1 и b > 0  

1, когда n > 1 и b четно (включая 0)

0, когда n > 1 и b нечетно

Вычисление 2 ↑ ⁿ  b

Вычисления можно переформулировать в терминах бесконечной таблицы. Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 2. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle 2 ^ {b}}$

Значения = = = 2 → b → n${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$${\ Displaystyle 2 [п + 2] б}$

б ⁿ	1	2	3	4	5	6	формула
1	2	4	8	16	32	64	${\ displaystyle 2 ^ {b}}$
2	2	4	16	65536	${\ displaystyle 2 ^ {65 \, 536} \ приблизительно 2,0 \ times 10 ^ {19 \, 728}}$	${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {65 \, 536}} \ приблизительно 10 ^ {6.0 \ times 10 ^ {19 \, 727}}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b}$
3	2	4	65536	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {копии}} 2 \ end {matrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {копии}} 2 \ конец {матрица}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ подкладка {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ подкладка {2 _ {} ^ {2 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {копии}} 2 \ end {matrix}}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	2	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {копии}} 2 \ end {matrix}}}$				${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Таблица такая же, как у функции Аккермана , за исключением сдвига и и добавления 3 ко всем значениям. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

Вычисление 3 ↑ ⁿ  b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 3. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 3 ^ {b}}$

Значения = = = 3 → b → n${\ displaystyle 3 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$${\ Displaystyle 3 [п + 2] Ь}$

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	3	9	27	81 год	243	${\ displaystyle 3 ^ {b}}$
2	3	27	7 625 597 484 987	${\ displaystyle 3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}$	${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$	${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow b}$
3	3	7 625 597 484 987	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {копии}} 3 \ end {matrix}}}$			${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	3	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {копии}} 3 \ end {matrix}}}$				${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Вычисление 4 ↑ ⁿ  b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 4. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 4 ^ {b}}$

Значения = = = 4 → b → n${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$${\ Displaystyle 4 [п + 2] Ь}$

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	4	16	64	256	1024	${\ displaystyle 4 ^ {b}}$
2	4	256	${\ displaystyle 1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}$	${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle 4 ^ {4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}}$	${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow b}$
3	4	${\ displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}} {\ mbox {копии}} 4 \ end {matrix}}}$			${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\\ подкладка {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154} } {\ mbox {копии}} 4 \ end {matrix}}}$				${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Вычисление 10 ↑ ⁿ  b

Мы помещаем числа в верхнюю строку и заполняем левый столбец значениями 10. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите требуемое число в предыдущей строке в позиции, заданной номер только что взят. ${\ displaystyle 10 ^ {b}}$

Значения = = = 10 → b → n${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$${\ displaystyle 10 [n + 2] b}$

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	10	100	1,000	10 000	100 000	${\ displaystyle 10 ^ {b}}$
2	10	10 000 000 000	${\ displaystyle 10 ^ {10,000,000,000}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}}$	${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow b}$
3	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {копии}} 10 \ end {matrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {копии}} 10 \ конец {матрица}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ подгузник {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ подгузник {10 _ {} ^ {10 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {копии}} 10 \ end {matrix}}}$		${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {копии}} 10 \ end {matrix }}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10 }.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {копии}} 10 \ end {matrix}}}$			${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Для 2 ≤ b ≤ 9 числовой порядок чисел является лексикографическим порядком, где n является наиболее значимым числом, поэтому для номеров этих 8 столбцов числовой порядок просто построчный. То же самое относится к числам в 97 столбцах с 3 ≤ b ≤ 99, и если мы начнем с n = 1, даже для 3 ≤ b ≤ 9,999,999,999. ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$

Смотрите также

• Примитивная рекурсия
• Гипероперация
• Занятый бобер
• Обозначение бара Катлера
• Тетрация
• Пентация
• Функция Аккермана
• Число Грэма
• Обозначения Штейнгауза – Мозера

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Нотация Кнута, направленная вверх" . MathWorld .
• Роберт Мунафо, Большие числа: высшие гипероператоры