Единичный интервал - Unit interval

Единичный интервал в качестве подмножества из реальной линии

В математике , то единичный интервал является отрезок [0,1] , то есть множество всех действительных чисел , которые больше или равно 0 и меньше или равно 1. Это часто обозначается I (заглавная буква I ). В дополнение к его роли в реальном анализе , единичный интервал используется для изучения теории гомотопии в области топологии .

В литературе термин «единичный интервал» иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: (0,1] , [0,1) и (0,1) . Однако обозначение I чаще всего зарезервировано для закрытого интервала [0,1] .

Характеристики

Единичный интервал является полным метрическим пространством , гомеоморфно к расширенной линии действительного числа . Как топологическое пространство , это компактное , стягиваемое , линейно связное и локально линейное связное пространство . Гильберт куб получаются взятие топологического произведения счетного числа копий единичного интервала.

В математическом анализе единичный интервал - это одномерное аналитическое многообразие , граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация изменяется от 0 до 1.

Единичный интервал - это полностью упорядоченное множество и полная решетка (каждое подмножество единичного интервала имеет верхнюю и нижнюю границу ).

Мощность

Размер или количество элементов множества есть число элементов , которые он содержит.

Промежуток блока представляет собой подмножество из действительных чисел . Однако он имеет тот же размер, что и все множество: мощность континуума . Поскольку действительные числа могут использоваться для представления точек на бесконечно длинной линии , это означает, что отрезок линии длиной 1, который является частью этой линии, имеет такое же количество точек, как и вся линия. Кроме того, он имеет такое же количество очков , как квадрат области 1, как куб из объема 1, и даже как неограниченное п - мерное евклидово пространства (см пространственной кривого заполнения ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Количество элементов (действительных чисел или точек) во всех вышеупомянутых наборах неисчислимо , так как оно строго превышает количество натуральных чисел .

Обобщения

Интервал [-1,1] , с длиной два, разграничено положительными и отрицательными единицами, часто происходит, например, в диапазоне от тригонометрических функций синуса и косинуса и гиперболической функции TANH. Этот интервал может быть использован для домена из обратных функций . Например, когда 𝜃 ограничено до [−π / 2, π / 2], тогда находится в этом интервале и арксинус определен там. ${\ Displaystyle \ грех \ тета}$

Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных разделах математики, аналогичную роли, которую [0,1] играет в теории гомотопий. Например, в теории колчанов единичный интервал (аналог) - это граф, множество вершин которого есть и которое содержит единственное ребро e , источник которого равен 0, а цель - 1. Затем можно определить понятие гомотопии между колчаны гомоморфизмы, аналогичные понятию гомотопии между непрерывными отображениями. ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Нечеткая логика

В логике единичный интервал [0,1] можно интерпретировать как обобщение логической области {0,1}, и в этом случае вместо того, чтобы принимать только значения 0 или 1, можно принять любое значение между 0 и 1 включительно. . Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на 1 - x ; соединение (И) заменяется умножением ( xy ); а дизъюнкция (OR) определяется согласно законам Де Моргана как 1 - (1 - x ) (1 - y ) .

Интерпретация этих значений как логических значений истинности дает многозначную логику , которая формирует основу для нечеткой логики и вероятностной логики . В этих интерпретациях значение интерпретируется как «степень» истинности - насколько истинно предложение или вероятность того, что предложение истинно.

Смотрите также

• Обозначение интервалов
• Единичный квадрат , куб , круг , гипербола и сфера
• Единичный импульс
• Единичный вектор

использованная литература

• Роберт Дж. Бартл, 1964, Элементы реального анализа , John Wiley & Sons.