Пространство Бэра - Baire space

В математике , топологическое пространство называется быть пространством Бэра , если для любой счетной совокупности из замкнутых множеств с пустым интерьером в их объединение также имеет пустой интерьер в . Эквивалентно локально выпуклое пространство, которое не является скудным само по себе, называется пространством Бэра. Согласно теореме Бэра о категории , компактные хаусдорфовы пространства и полные метрические пространства являются примерами пространства Бэра. Бурбаки ввел термин «пространство Бэра». ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {A_ {n} \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ cup A_ {n}}$${\ displaystyle X}$

Мотивация

В произвольном топологическом пространстве, класс замкнутых множеств с пустым интерьером состоит именно из границ в плотных открытых множествах . Эти наборы в определенном смысле «пренебрежимо малы». Некоторые примеры - конечные множества в гладких кривых на плоскости и собственные аффинные подпространства в евклидовом пространстве . Если топологическое пространство является пространством Бэра , то это «большое», что означает , что он не является счетным объединением из ничтожных подмножеств . Например, трехмерное евклидово пространство не является счетным объединением своих аффинных плоскостей. ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Определение

Точное определение пространства Бэра претерпевало небольшие изменения на протяжении всей истории, в основном из-за преобладающих потребностей и точек зрения. Топологическое пространство называется пространством Бэра, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\ displaystyle X}$

1. Каждое непустое открытое подмножество не является скудным подмножеством ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
2. Каждое подходящее подмножество плотно в ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
3. Объединение любой счетной коллекции из замкнутых нигде не плотных подмножеств (т.е. каждого замкнутое подмножества имеет пустой интерьер ) имеет пустую внутренность;
4. Каждое пересечение счетного числа плотных открытых множеств в плотно в ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
5. Если объединение счетного числа замкнутых подмножеств имеет внутреннюю точку, то хотя бы одно из замкнутых подмножеств должно иметь внутреннюю точку;${\ displaystyle X}$
6. Каждая точка в имеет окрестность, которая является пространством Бэра (согласно любому определяющему условию, кроме этого). ${\ displaystyle X}$
   • Таким же образом является пространство Бэра тогда и только тогда, когда оно «локально является пространством Бэра».${\ displaystyle X}$

Достаточные условия

Теорема Бэра о категории

Теорема Бэра о категории дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра. Это важный инструмент в топологии и функциональном анализе .

• ( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. В более общем смысле , каждое топологическое пространство, гомеоморфно к открытому подмножеству полного псевдометрики пространства является пространством Бэра. В частности, всякое вполне метризуемое пространство является пространством Бэра.
• ( BCT2 ) Каждое локально компактное хаусдорфово пространство (или, в более общем смысле, любое локально компактное трезвое пространство ) является пространством Бэра.

BCT1 показывает, что каждое из следующего является пространством Бэра:

• Пространство из действительных чисел${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Пространство иррациональных чисел , которое гомеоморфно к Бэра пространства в теории множеств${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$
• Каждое компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра.
  • В частности, множество Кантора является пространством Бэра.
• Действительно, каждый польский космос .

BCT2 показывает, что любое многообразие является пространством Бэра, даже если оно не паракомпактно и, следовательно, не метризуемо . Например, длинная очередь второй категории.

Другие достаточные условия

• Произведение полных метрических пространств - это пространство Бэра.
• Топологическое векторное пространство является nonmeagre тогда и только тогда , когда это бэровское пространство, которое происходит тогда и только тогда , когда каждое замкнутое сбалансированы поглощая подмножество имеет непустое интерьер.

Примеры

• Пространство из действительных чисел с обычной топологией, является пространством Бэра, и поэтому второй категории в себе. В рациональных числах являются первой категорией и иррациональные числа имеют вторую категорию в .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Другой большой класс пространств Бэра - алгебраические многообразия с топологией Зарисского . Например, пространство комплексных чисел, открытые множества которых являются дополнениями к исчезающим множествам многочленов, является алгебраическим многообразием с топологией Зарисского. Обычно это обозначается . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п}}$
• Множество Кантора является пространством Бэра, и поэтому второй категории самого по себе, но первой категории в интервале с обычной топологией.${\ displaystyle [0,1]}$
• Вот пример набора второй категории с мерой Лебега : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0}$

  ${\ displaystyle \ bigcap _ {m = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (r_ {n} - ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m}, r_ {n} + ({\ tfrac {1} {2}}) ^ {n + m} \ right)}$

  где есть последовательность , которая перечисляет на рациональные числа .${\ Displaystyle \ влево (г_ {п} \ вправо) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$
• Обратите внимание, что пространство рациональных чисел с обычной топологией, унаследованной от действительных чисел , не является пространством Бэра, поскольку оно представляет собой объединение счетного числа замкнутых множеств без внутренних, синглтонов .

Не пример

Один из первых не-примеров исходит из индуцированной топологии рациональных чисел внутри вещественной прямой со стандартной евклидовой топологией . Учитывая индексацию рациональных чисел натуральными числами, так что это биекция, и let where, которое является открытым, плотным подмножеством в Then, поскольку пересечение каждого открытого множества в пусто, пространство не может быть пространством Бэра. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left (A_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle A_ {n}: = \ mathbb {Q} \ setminus \ {f (n) \},}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Характеристики

• Каждое непустое пространство Бэра само по себе имеет вторую категорию, и каждое пересечение счетного числа плотных открытых подмножеств непусто, но обратное ни одно из них не верно, как показывает топологическая непересекающаяся сумма рациональных чисел и единичный интервал${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [0,1].}$
• Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
• Учитывая семейство из непрерывных функций = с пределом точечен Если пространство Бэра , то точками , где не непрерывен является множеством скудного в и множестве точек , где непрерывно плотно в Частном случае этого является принцип равномерной ограниченности .${\ displaystyle f_ {n}: от X \ до Y}$${\ displaystyle f: от X \ до Y.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X.}$
• Замкнутое подмножество пространства Бэра не обязательно является Бэром.
• Произведение двух пространств Бэра не обязательно является Бэром. Однако существуют достаточные условия, которые гарантируют, что произведение произвольного числа пространств Бэра снова будет бэровским.

Смотрите также

• Пространство Бэра (теория множеств)
• Игра Банаха – Мазура
• Бочковое пространство
• Теория описательных множеств
• Скудный набор
• Нигде плотный набор
• Собственность Бэра
• Теорема Блюмберга

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• Энциклопедия математики статья о пространстве Бэра
• Энциклопедия математики статья по теореме Бэра