Закрытый комплект - Closed set

В геометрии , топологии и смежные отраслях математики , А замкнутое множество является множество которых дополнение является открытым множеством . В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, которое содержит все его предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутое множество - это множество, которое замкнуто при выполнении предельной операции. Его не следует путать с закрытым коллектором .

Эквивалентные определения замкнутого множества

По определению, подмножество из топологического пространства называется замкнутым , если его дополнение является открытым подмножеством ; то есть, если множество A замкнуто в том и только в том случае, если оно равно его закрытию в Equivalently, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество всегда содержится в своем (топологическом) замыкании, в котором обозначается то есть, если то Более того, является замкнутым подмножеством тогда и только тогда, когда${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle X \ setminus A \ in \ tau.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A;}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle A \ substeq \ operatorname {cl} _ {X} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = \ operatorname {cl} _ {X} A.}$

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства замкнуто в том и только в том случае, если каждый предел каждой сети элементов также принадлежит к пространству с первым счетом (например, метрическому пространству), достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание , что эта характеристика зависит также от окружающего пространства , потому что ли или нет последовательность или нетто сходится в зависимости от того, что точки находятся в точки А в Говорят , что близко к подмножеству , если (или что то же самое, если принадлежит к закрытию в топологическим подпространством значение , где наделено топологией подпространства , индуцированной на него ). Поскольку замыкание in - это, таким образом, множество всех точек в , близких к этой терминологии, позволяет простое английское описание замкнутых подмножеств: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {X} A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle А \ чашка \ {х \},}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {A \ cup \ {x \}} A}$${\ Displaystyle А \ чашка \ {х \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A,}$

подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.

С точки зрения чистой конвергенции, точка близка к подгруппе тогда и только тогда , когда существует некоторая сеть (оцененный) в сходящуюся к Если это топологическое подпространство некоторого другого топологического пространства в этом случае называется топологическим супер-пространство в то там может существовать некоторая точка, которая близка к (хотя и не является ее элементом ), поэтому подмножество может быть замкнуто, но не замкнуто в "большом" окружающем суперпространстве. Если и если есть какие-либо топологическое суперпространство then всегда является (потенциально правильным) подмножеством, которое на самом деле означает замыкание in , даже если это замкнутое подмножество (что происходит тогда и только тогда ), тем не менее, все еще возможно быть правильным подмножеством из Тем не менее, является замкнутым подмножеством , если и только если для некоторых (или , что эквивалентно, для каждого) топологического супер-пространства из${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle Y \ setminus X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {Y} A,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Y;}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = \ operatorname {cl} _ {X} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {Y} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = X \ cap \ operatorname {cl} _ {Y} A}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$

Замкнутые множества также могут использоваться для характеристики непрерывных функций : карта является непрерывной тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ; это может быть переформулировано на простом английском языке как: непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображаются точки, близкие к точкам, которые близки к Точно так же, непрерывно в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда он близок к подмножеству, то близко к${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f \ left (\ operatorname {cl} _ {X} A \ right) \ substeq \ operatorname {cl} _ {Y} (f (A))}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A \ substeq X,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ substeq X,}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (A).}$

Подробнее о закрытых наборах

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепция, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, которые несут топологические структуры, такие как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .

Будет ли набор замкнутым, зависит от пространства, в которое он встроен. Однако компактные хаусдорфовы пространства « абсолютно замкнуты » в том смысле, что если вы вложите компактное хаусдорфово пространство в произвольное хаусдорфово пространство, то оно всегда будет замкнутым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна – Чеха , процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описан как примыкающие к пространству пределы некоторых несходящихся сетей. ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$

Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечное подмножество с пустым пересечением. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Топологическое пространство будет отключено , если существует непересекающиеся, непустой, открытые подмножества и из объединения которых Кроме того, будет полностью отключен , если он имеет открытую основу , состоящую из замкнутых множеств. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$

Свойства замкнутых множеств

Замкнутый набор содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и все равно оставаться за пределами набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница является пустым набором, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для набора чисел, квадрат которого меньше, чем${\ displaystyle 2.}$

• Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
• Объединение из конечного множества замкнутых множеств замкнуто.
• Пустое множество замкнуто.
• Весь набор закрыт.

Фактически, если задан набор и набор подмножеств таких, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология на такой, что замкнутые подмножества - это в точности те множества, которые принадлежат к. Свойство пересечения также позволяет определить закрытие набора в пространстве , которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество , что является подмножеством из в частности, замыкание может быть построена как пересечение всех этих замкнутых надмножеств. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle X}$

Множества, которые могут быть построены как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F _σ множествами. Эти наборы не нужно закрывать.

Примеры замкнутых множеств

• Замкнутый интервал из действительных чисел замкнуто. (См. Раздел Интервал (математика) для объяснения обозначений скобок и скобок.)${\ Displaystyle [а, б]}$
• Интервальный паевой замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество из рациональных чисел между и (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не замкнуто в действительных числах.${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle [0,1] \ cap \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle [0,1] \ cap \ mathbb {Q}}$
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например, полуоткрытый интервал в действительных числах.${\ displaystyle [0,1)}$
• Некоторые наборы бывают как открытыми, так и закрытыми и называются закрытыми наборами .
• Луч закрыт.${\ displaystyle [1, + \ infty)}$
• Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле , что она целиком состоит из точек границы и нигде не плотно.
• Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в хаусдорфовых пространствах .
• Множество целых чисел - это бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Если - функция между топологическими пространствами, то является непрерывной тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в замкнуты в${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$

Смотрите также

• Clopen set  - Подмножество одновременно открытых и закрытых
• Закрытая карта
• Открытый набор  - базовое подмножество топологического пространства.
• Соседство  - открытый набор в топологическом пространстве, который содержит заданную точку или подмножество.
• Регион (математика)
• Обычный закрытый набор

Примечания

использованная литература

• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .