Интерьер (топология) - Interior (topology)

Точка х является внутренней точкой S . Точка у находится на границе S .

В математике , в частности , в топологии , то внутренний из подмножества S из топологического пространства X является объединением всех подмножеств S , которые открыты в X . Точка , которая находится во внутренней части S является внутренней точкой из S .

Интерьер S является дополнением от закрытия дополнения S . В этом смысле интерьер и закрытие - понятия двойственные .

Внешний вид из множества S является дополнением к закрытию S ; он состоит из точек, не входящих ни в множество, ни в его границу . Внутренняя, граница и внешняя часть подмножества вместе разделяют все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты). Внутри и снаружи всегда открыты, а граница всегда закрыта . Наборы с пустой внутренней частью называются граничными наборами .

Определения

Внутренняя точка

Если S является подмножеством евклидова пространства , то х является внутренней точкой S , если существует открытый шар с центром в точке х , которая полностью содержится в S . (Это проиллюстрировано во вводном разделе этой статьи.)

Это определение обобщает любое подмножество S из в метрическом пространстве X с метрикой д : х является внутренней точкой S , если существует г > 0 , такие , что у находится в S всякий раз , когда расстояние d ( х , у ) < г .

Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» на « открытое множество ». Пусть S подмножество топологического пространства X . Тогда х является внутренней точкой S , если х содержится в открытом подмножестве X , которая полностью содержится в S . (Эквивалентно, х является внутренней точкой S , если S является окрестность из х .)

Интерьер набора

Интерьер подмножества S топологического пространства X , обозначается Int S или S ° , может быть определено в любом из следующих эквивалентных способов:

1. Int S - это наибольшее открытое подмножество X, содержащееся (как подмножество) в S
2. Int S - это объединение всех открытых множеств X, содержащихся в S
3. Int S - это множество всех внутренних точек S

Примеры

является внутренней точкой М , потому что есть ε-окрестность , которая является подмножеством М .

• В любом пространстве внутренность пустого множества - это пустое множество.
• В любом пространстве X , если S ⊆ X , то INT S ⊆ S .
• Если X является евклидово пространство из действительных чисел , то Int ([0, 1]) = (0, 1) .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Если X является евклидово пространство , то внутренность множества из рациональных чисел пусто.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Если X - комплексная плоскость , то${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {int} (\ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq 1 \}) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}.}$
• В любом евклидовом пространстве внутренность любого конечного множества - это пустое множество.

На множество действительных чисел можно поставить другую топологию вместо стандартной.

• Если X =${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , где имеет топологию нижнего предела , то int ([0, 1]) = [0, 1).${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Если рассматривать топологию, в которой каждое множество открыто, то int ([0, 1]) = [0, 1] .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Если рассматривать топологию, в которой единственными открытыми множествами являются пустое множество и он сам, тогда int ([0, 1]) будет пустым множеством.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Эти примеры показывают, что внутренняя часть набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

• В любом дискретном пространстве , поскольку каждый набор открыт, каждый набор равен своему внутреннему пространству.
• В любом недискретном пространстве X , поскольку единственные открытые множества - это пустое множество и сам X , мы имеем X = int X и для каждого собственного подмножества S в X , int S - это пустое множество.

Характеристики

Пусть Х топологическое пространство , и пусть S и Т быть подмножеством X .

• Int S является открытым в X .
• Если T открыто в X , то T ⊆ S , если и только если T ⊆ Int S .
• Int S является открытым подмножеством S, если S задана топология подпространства .
• S представляет собой открытое подмножество X тогда и только тогда , когда S = INT S .
• Интенсивное : Int S ⊆ S .
• Идемпотентность : Int (Int S ) = Int S .
• Сохраняет / распределяет по двоичному пересечению : Int ( S ∩ T ) = (Int S ) ∩ (Int T ) .
• Монотонные / убывают относительно ⊆ : Если S ⊆ T , то Int S ⊆ Int T .

Вышеупомянутые утверждения останутся верными, если все экземпляры символов / слов

"внутренний", "внутренний", "открытый", "подмножество" и "наибольший"

соответственно заменяются на

«закрытие», «Cl», «закрытый», «расширенный» и «наименьший»

и меняются местами следующие символы:

1. "⊆" заменено на "⊇"
2. "∪" заменено на "∩"

Подробнее об этом см. В разделе « Внутренний оператор» ниже или в статье « Аксиомы замыкания Куратовского» .

Другие свойства включают:

• Если S замкнуто в X и Int T = ∅ тогда Int ( S ∪ T ) = Int S .

Внутренний оператор

Оператор интерьера двойственен закрывающий оператор, который обозначается или посредством Оверлайн ^- в том смысле , что ${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {int} _ {X} S = X \ setminus {\ overline {(X \ setminus S)}}}$

а также

${\ displaystyle {\ overline {S}} = X \ setminus \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S),}$

где - содержащее топологическое пространство, а обратная косая черта обозначает теоретико-множественную разность . Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского могут быть легко переведены на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S,}$${\ Displaystyle \, \ setminus \,}$${\ displaystyle X.}$

Как правило, внутренний оператор не общается с профсоюзами. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:

Из приведенного выше результата следует, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра .

Внешний вид комплекта

( Топологический ) внешний вид подмножества топологического пространства , обозначенное или просто является дополнением к закрытию : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$${\ displaystyle \ operatorname {ext} S,}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S: = X \ setminus \ operatorname {cl} _ {X} S}$

хотя это может быть эквивалентно определено с точки зрения интерьера:

${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S = \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S)}$

В качестве альтернативы, интерьер может быть определен в терминах экстерьера с помощью установленного равенства ${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S}$

${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = \ operatorname {ext} _ {X} (X \ setminus S).}$

Как следствие этой взаимосвязи между внутренним и внешним, многие свойства внешнего вида могут быть легко выведены непосредственно из свойств внутреннего и элементарного множества идентичностей . К таким свойствам относятся следующие: ${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S}$

• ${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$открытое подмножество , не пересекающееся с${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S.}$
• Если тогда${\ Displaystyle S \ substeq T}$${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} T \ substeq \ operatorname {ext} _ {X} S.}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$равно объединению всех открытых подмножеств , не пересекающихся с${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S.}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X} S}$равно наибольшему открытому подмножеству , не пересекающемуся с${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S.}$

В отличие от внутреннего оператора, он не идемпотентен , хотя имеет свойство${\ displaystyle \ operatorname {ext} _ {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S \ substeq \ operatorname {ext} _ {X} \ left (\ operatorname {ext} _ {X} S \ right).}$

Внутренние непересекающиеся формы

Красные формы не пересекаются внутри с синим Треугольником. Зеленая и желтая формы не пересекаются внутри с синим треугольником, но только желтая форма полностью не пересекается с синим треугольником.

Две фигуры a и b называются внутренне-непересекающимися, если пересечение их внутренностей пусто. Внутренне-непересекающиеся формы могут пересекаться, а могут и не пересекаться по своей границе.

Смотрите также

• Алгебраический интерьер  - Обобщение топологического интерьера
• Граница (топология)
• Замыкание (топология)
• Внешний (топология)  - наибольшее открытое подмножество, находящееся «вне» данного подмножества.
• Внутренняя алгебра
• Теорема Жордановой кривой  - Деление плоскости замкнутой кривой на две области
• Квази-относительная внутренность  - Обобщение алгебраической внутренней
• Относительный интерьер  - Обобщение топологического интерьера.

использованная литература

Библиография

• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047 .
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .

внешние ссылки

• Интерьер в PlanetMath .