Курносый дисфеноид - Snub disphenoid

Курносый дисфеноид
Тип	Джонсон Дж 83 - Дж 84 - Дж 85
Лица	4 + 8 треугольников
Края	18
Вершины	8
Конфигурация вершины	4 (3 4 ) 4 (3 5 )
Группа симметрии	D 2d
Двойной многогранник	Гиробифастигий удлиненный
Характеристики	выпуклый , дельтаэдр
Сеть

В геометрии , в курносым равногранный тетраэдр , сиамского додекаэдре , треугольной додекаэдре , тригональной додекаэдр , или dodecadeltahedron является трехмерным выпуклый многогранник с двенадцатью равносторонних треугольников , как его граней . Это не правильный многогранник, потому что некоторые вершины имеют четыре грани, а другие - пять. Это додекаэдр , один из восьми дельтаэдров (выпуклые многогранники с равносторонними треугольными гранями) и одно из 92 тел Джонсона ( неоднородные выпуклые многогранники с правильными гранями). Его можно представить как квадратную антипризму, в которой оба квадрата заменены двумя равносторонними треугольниками.

Курносый дисфеноид также является фигурой вершины изогональной 13-5 ступенчатой ​​призмы, полихорон, построенный из дуопризмы 13-13, путем выбора вершины на трехугольнике , затем выбора 5-й вершины на следующем трехугольнике, делая это до тех пор, пока не достигнете исходной точки. трехугольник. Однако его нельзя сделать однородным, потому что курносый дисфеноид не имеет ограниченной сферы .

История и нейминг

Эта форма была названа сиамским додекаэдром в статье Ханса Фройденталя и Б.Л. ван дер Вардена (1947), которая впервые описала набор из восьми выпуклых дельтаэдров . Название додекадельтаэдр было дано этой же форме Берналом (1964) , имея в виду тот факт, что это 12-гранный дельтаэдр. Существуют и другие симплициальные додекаэдры , такие как гексагональная бипирамида , но это единственная, которая может быть реализована с равносторонними гранями. Бернала интересовали формы отверстий, оставшихся в нерегулярных плотно упакованных сферах, поэтому он использовал ограничительное определение дельтаэдров, в котором дельтаэдр - это выпуклый многогранник с треугольными гранями, которые могут быть образованы центрами совокупности конгруэнтных сферы, касания которых представляют собой ребра многогранника, и такие, что нет места для упаковки другой сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Это ограничительное определение запрещает треугольную бипирамиду (как образующую два тетраэдрических отверстия, а не одно отверстие), пятиугольную бипирамиду (поскольку сферы для ее вершин взаимопроникают, поэтому она не может встречаться в сферических упаковках) и икосаэдр (поскольку в нем есть внутреннее пространство для другого сфера). Бернал пишет , что курносый равногранный тетраэдр является «очень распространенной координацией для ионов кальция в кристаллографии ». В координационной геометрии он обычно известен как тригональный додекаэдр или просто как додекаэдр.

Курносый равногранный тетраэдр название происходит от Norman Johnson «s 1966 классификации твердых Johnson , выпуклых многогранников , у которого все грани являются регулярными. Он существует сначала в серии многогранников с осевой симметрией, поэтому также может быть назван двуугольным gyrobianticupola .

Характеристики

Курносый дисфеноид 4-связный , то есть требуется удаление четырех вершин, чтобы разъединить оставшиеся вершины. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством - это правильный октаэдр , пятиугольная бипирамида и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями.

Курносый дисфеноид имеет ту же симметрию, что и тетрагональный дисфеноид : он имеет ось вращательной симметрии 180 °, проходящую через середины двух его противоположных краев, две перпендикулярные плоскости симметрии отражения через эту ось и четыре дополнительные операции симметрии, задаваемые перпендикуляром отражения. к оси, после чего следует четверть оборота и, возможно, еще одно отражение, параллельное оси. То есть он имеет антипризматическую симметрию D _{2 d} , группу симметрии 8-го порядка.

Сферы с центром в вершинах курносого дисфеноида образуют кластер, который, согласно численным экспериментам, имеет минимально возможный потенциал Леннарда-Джонса среди всех восьмисферных кластеров.

С точностью до симметрии и параллельного переноса курносый дисфеноид имеет пять типов простых (несамопересекающихся) замкнутых геодезических . Это пути на поверхности многогранника, которые избегают вершин и локально выглядят как кратчайший путь: они проходят по отрезкам прямых линий через каждую грань многогранника, которую они пересекают, и когда они пересекают ребро многогранника, они образуют дополнительные углы на две стороны обращены к краю. Интуитивно можно было бы натянуть резинку вокруг многогранника вдоль этого пути, и он остался бы на месте: нет возможности локально изменить путь и сделать его короче. Например, геодезическая одного типа пересекает два противоположных края курносого дисфеноида в их средних точках (где ось симметрии выходит из многогранника) под углом π / 3. Второй тип геодезических проходит вблизи пересечения курносого дисфеноида с плоскостью, которая перпендикулярно делит пополам ось симметрии ( экватор многогранника), пересекая ребра восьми треугольников под углами, которые чередуются между π / 2 и π / 6. Сдвиг геодезической на поверхности многогранника на небольшую величину (достаточно малую, чтобы сдвиг не заставлял ее пересекать какие-либо вершины) сохраняет свойство геодезической и сохраняет ее длину, поэтому в обоих этих примерах были сдвинуты версии многогранника. того же типа, которые расположены менее симметрично. Длины пяти простых замкнутых геодезических на курносом дисфеноиде с ребрами единичной длины равны

${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} \ приблизительно 3,464}$(для экваториальных геодезического), , (для геодезического через середины противоположных краев), и .${\ displaystyle {\ sqrt {13}} \ приблизительно 3,606}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {7}} \ приблизительно 5,292}$${\ displaystyle {\ sqrt {19}} \ приблизительно 4,359}$

За исключением тетраэдра, который имеет бесконечно много типов простых замкнутых геодезических, курносый дисфеноид имеет наибольшее количество типов геодезических, чем любой дельтаэдр.

Строительство

Курносый дисфеноид построен, как следует из его названия, как курносый многогранник, образованный из тетрагонального дисфеноида , формы более низкой симметрии правильного тетраэдра .

Дисфеноид	Курносый дисфеноид

Операция snub создает одну циклическую полосу треугольников, разделяющую два противоположных края (красный на рисунке) и их смежные треугольники. В Snub антипризм аналогичны в том , одну циклическую группу треугольников, но и в Snub антипризм эти полосы разделения двух противоположных граней и их смежных треугольника , а не две противоположные кромки.

Курносый дисфеноид также можно построить из квадратной антипризмы , заменив две квадратные грани парами равносторонних треугольников. Однако это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций с платоновыми и архимедовыми телами "вырезать и вставить" .

Физическая модель курносого дисфеноида может быть сформирована путем складывания сети, образованной 12 равносторонними треугольниками ( показанный 12-ромб ). Альтернативная сеть, предложенная Джоном Монтроллом, имеет меньше вогнутых вершин на границе, что делает ее более удобной для построения оригами .

Декартовы координаты

Пусть - положительный вещественный корень кубического многочлена${\ displaystyle q \ приблизительно 0,16902}$

${\ displaystyle 2x ^ {3} + 11x ^ {2} + 4x-1.}$

Кроме того, пусть

${\ displaystyle r = {\ sqrt {q}} \ приблизительно 0,41112,}$

${\ displaystyle s = {\ sqrt {\ frac {1-q} {2q}}} \ приблизительно 1,56786,}$

а также

${\ displaystyle t = 2rs = {\ sqrt {2-2q}} \ приблизительно 1,28917.}$

Тогда восьми вершинам курносого дисфеноида можно задать декартовы координаты.

${\ displaystyle (\ pm t, r, 0), \, (0, -r, \ pm t),}$

${\ displaystyle (\ pm 1, -s, 0), \, (0, s, \ pm 1).}$

Поскольку эта конструкция включает решение кубического уравнения, курносый дисфеноид не может быть построен с помощью циркуля и линейки , в отличие от других семи дельтаэдров.

С этими координатами можно вычислить объем курносого дисфеноида с длиной ребра a как , где , - положительный корень полинома ${\ Displaystyle \ хи а ^ {3}}$${\ displaystyle \ xi \ приблизительно 0,85949}$

${\ displaystyle 5832x ^ {6} -1377x ^ {4} -2160x ^ {2} -4.}$

Связанные многогранники

Другая конструкция курносого дисфеноида - двуугольная gyrobianticupola . Он имеет такую ​​же топологию и симметрию, но без равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины в квадрате на центральной плоскости в виде двух антикупол, прикрепленных с вращательной симметрией. Его двойник имеет прямоугольные пятиугольники и может создавать мозаику в пространстве.

Дигональная антикупола

Дигональные гиробиантикуполы

(Двойной) удлиненный gyrobifastigium

Частичная тесселяция

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. Курносый дисфеноид . MathWorld .