Абстрактный многогранник - Abstract polytope

В математике , абстрактный многогранник является алгебраическим частично упорядоченное множество или ч.у.м. , который захватывает комбинаторные свойства традиционного многогранника без указания чисто геометрических свойств , таких как углы или длин ребер. Многогранник представляет собой обобщение многоугольников и многогранников в любое число измерений.

Обычный геометрический многогранник называется реализацией в некотором реальном N-мерном пространстве , обычно евклидовом , соответствующего абстрактного многогранника. Абстрактное определение допускает некоторые более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения многогранника, что позволяет создавать множество новых объектов, не имеющих аналогов в традиционной теории.

Вводные концепции

Традиционные многогранники против абстрактных

В евклидовой геометрии все шесть четырехугольников различны. Тем не менее, у них есть общая структура в чередующейся цепочке из четырех вершин и четырех сторон, которая дает им свое имя. Они называются изоморфными или «сохраняющими структуру».

Эта общая структура может быть представлена ​​в нижележащем абстрактном многограннике, чисто алгебраическом частично упорядоченном множестве, которое фиксирует паттерн связей или инцидентностей между различными структурными элементами. Измеримые свойства традиционных многогранников, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют значения для абстрактного многогранника.

То, что верно для традиционных многогранников (также называемых классическими или геометрическими многогранниками), может быть не так для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный многогранник является правильным, если все его грани и фигуры вершин правильные, но это не обязательно так для абстрактного многогранника.

Реализации

Традиционный геометрический многогранник называется реализацией связанного абстрактного многогранника. Реализация - это отображение или внедрение абстрактного объекта в реальное пространство, обычно евклидово , для построения традиционного многогранника как реальной геометрической фигуры.

Все показанные шесть четырехугольников представляют собой различные реализации абстрактного четырехугольника, каждый с различными геометрическими свойствами. Некоторые из них не соответствуют традиционным определениям четырехугольника и считаются неверными реализациями. Обычный многогранник - точная реализация.

Лица, звания и порядок

В абстрактном многограннике каждый структурный элемент - вершина, ребро, ячейка и т. Д. Связан с соответствующим членом или элементом множества. Термин грань часто относится к любому такому элементу, например, к вершине (0-грань), ребру (1-грань) или общей k -грани , а не только к многоугольной 2-грани.

Грани ранжируются в соответствии с их реальной размерностью: у вершин ранг = 0, ранг ребер = 1 и так далее.

Падающий лица различного ранга, например , вершина Р ребра G, упорядочены по отношению Р <Г. Р называется подгранью из G, или О имеет подгранью Ф.

F, G называются инцидентными, если либо F = G, либо F <G, либо G <F. Такое использование «инцидентности» также встречается в конечной геометрии , хотя оно отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например, в квадрате abcd ребра ab и bc не инцидентны абстрактно (хотя оба они инцидентны вершине b ).

Затем многогранник определяется как набор граней P с отношением порядка <и удовлетворяющий некоторым дополнительным аксиомам. Формально P (с < ) будет (строго) частично упорядоченным множеством или poset .

Наименьшие и величайшие лица

Подобно тому, как число ноль необходимо в математике, каждый набор имеет пустое множество ∅ в качестве подмножества. В абстрактном многограннике по соглашению определяется как наименьшая или нулевая грань и является подпространством всех остальных. Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, ее ранг равен −1, и ее можно обозначить как F ₋₁ . Таким образом, F ₋₁ ≡ ∅ и абстрактный многогранник также содержит пустое множество как элемент. Обычно это не реализуется.

Существует также одна грань, все остальные которой являются субграни. Это называется величайшим лицом. В n- мерном многограннике наибольшая грань имеет ранг = n и может быть обозначена как F _n . Иногда его воплощают в виде интерьера геометрической фигуры.

Эти наименьшие и величайшие лица иногда называют неправильными лицами, а все остальные - правильными лицами.

Простой пример

Грани абстрактного четырехугольника или квадрата показаны в таблице ниже:

Тип лица	Ранг ( k )	Считать	k -лицы
Наименее	−1	1	F −1
Вершина	0	4	а , б , в , г
Край	1	4	W, X, Y, Z
Величайший	2	1	грамм

Отношение <представляет собой набор пар, которые здесь включают

F ₋₁ < a , ..., F ₋₁ <X, ..., F ₋₁ <G, ..., b <Y, ..., c <G, ..., Z <G.

Заказ отношения транзитивным , т.е. F <G и G <H следует , что F <H. Следовательно, чтобы определить иерархию лиц, не надо давать каждый случай F <H, только пары , где один является правопреемником из другой, то есть где F <H и ни одна G не удовлетворяет F <G <H.

Ребра W, X, Y и Z иногда обозначаются как ab , ad , bc и cd соответственно, но такое обозначение не всегда подходит.

Все четыре ребра структурно похожи, то же самое относится и к вершинам. Таким образом, фигура имеет симметрию квадрата и обычно называется квадратом.

Диаграмма Хассе

Меньшие позы и, в частности, многогранники часто лучше всего визуализировать на диаграмме Хассе , как показано. По соглашению лица равного ранга размещаются на одном вертикальном уровне. Каждая «линия» между гранями, скажем, F, G, указывает отношение упорядочения <такое, что F <G, где F находится ниже G на диаграмме.

Диаграмма Хассе определяет уникальный объектный набор и, следовательно, полностью отражает структуру многогранника. Изоморфные многогранники порождают изоморфные диаграммы Хассе и наоборот. То же самое в общем случае неверно для графического представления многогранников.

Классифицировать

Оценка по грани Р определяются как ( т  - 2), где т представляет собой максимальное число граней в любой цепочке (Р», Р», ..., F) , удовлетворяющий Р»<Р» <... < F. F 'всегда наименьшая грань, F ₋₁ .

Оценка абстрактного многогранника P является максимальным рангом п любого лица. Это всегда ранг наибольшей грани F _n .

Ранг грани или многогранника обычно соответствует размерности его аналога в традиционной теории.

Типы лиц некоторых рангов указаны в следующей таблице.

Классифицировать	-1	0	1	2	3	...	п - 2	п - 1	п
Тип лица	Наименее	Вершина	Край	†	Клетка		Подфацет или гребень	Грань	Величайший

† Традиционно «лицо» означало лицо 2-го ранга или 2-гранное лицо. В абстрактной теории термин «лицо» обозначает лицо любого ранга.

Флаги

Флаг является максимальной цепью граней, т.е. (полностью) упорядоченного множество ф граней, каждую подгрань следующего (если таковой имеется), и таким образом, что Ψ не является подмножество любого увеличения цепи. Для любых двух различных граней F, G во флаге либо F <G, либо F> G.

Например, { ø , a , ab , abc } - это флаг в треугольнике abc .

Для данного многогранника все флаги содержат одинаковое количество граней. Другие посеты, как правило, не удовлетворяют этому требованию.

Разделы

Любое подмножество P 'ч.у. P является ч.у. (с тем же отношением <, ограниченным на P').

В абстрактном многограннике для любых двух граней F , H многогранника P с F ≤ H множество { G | F ≤ G ≤ H } называется раздел из Р , и обозначать H / F . (В теории порядка сечение называется отрезком ч.у.набора и обозначается [ F , H ].

Например, в призме abcxyz (см. Диаграмму) сечение xyz / ø (выделено зеленым цветом) представляет собой треугольник

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

К -сече- раздел ранга к .

Таким образом, P является частью самого себя.

Это понятие сечения не имеет того же значения, что и в традиционной геометрии.

Грани

Фасет для данного J -Лицо F является ( J - 1 ) -сечение F / ∅, где F _J является самым большим лицом.

Например, в треугольнике abc фасет в точке ab имеет вид ab / b = { ∅, a, b, ab }, который является отрезком линии.

Различие между F и F / ∅ обычно незначительно, и их часто считают идентичными.

Фигуры вершин

Фигура вершины в данной вершине V является ( п -1) -сечение Р _п / V , где Р _п является самым большим лицом.

Например, в треугольнике abc фигура вершины в точке b равна abc / b = { b, ab, bc, abc }, что является отрезком линии. Фигуры вершин куба - треугольники.

Связность

Ч.у. P называется связным, если P имеет ранг ≤ 1 или для любых двух собственных граней F и G существует последовательность собственных граней

H ₁ , H ₂ , ..., H _k

такое, что F = H ₁ , G = H _k , и каждое H _i , i <k, инцидентно своему преемнику.

Приведенное выше условие гарантирует , что пара непересекающихся треугольники аЬс и хуг вне не в одном () многограннике.

Ч.у. P является сильно связным, если каждая секция P (включая саму P) связна.

С этим дополнительным требованием также исключаются две пирамиды с общей вершиной. Однако две квадратные пирамиды, например, можно «склеить» своими квадратными гранями, получив октаэдр. «Общая грань» тогда не является гранью октаэдра.

Формальное определение

Абстрактный многогранник является частично упорядоченным множеством , элементы которого мы называем лицо , удовлетворяющими 4 аксиом:

1. У него наименьшее лицо и наибольшее лицо .
2. Все флаги содержат одинаковое количество граней.
3. Это сильно связано .
4. Если ранги двух граней a> b отличаются на 2, то ровно 2 грани лежат строго между a и b .

П -многогранник является многогранник ранга п .

Примечания

В случае нулевого многогранника наименьшая и наибольшая грани являются одним и тем же единственным элементом .

Аксиома 2 эквивалентна утверждению, что ЧУМ является градуированным ЧУМом .

С учетом других аксиом, аксиома 3 эквивалентна сильной флаговой связности , что неформально означает:

Для любого участка многогранника (включая сам многогранник) любой флаг можно заменить на любой, изменяя только одну грань за раз.

Аксиома 4 известна как «свойство алмаза», поскольку диаграмма Хассе a , b и грани между ними имеют ромбовидную форму.

Из аксиом можно показать, что каждое сечение является многогранником и что Rank ( G / F ) = Rank ( G ) - Rank ( F ) - 1.

Абстрактный многогранник, связанный с реальным выпуклым многогранником , также называется решеткой его граней .

Простейшие многогранники

Ранг <1

Для каждого ранга -1 и 0 существует только одно ч.у.м. Это, соответственно, нулевая грань и точка. Они не всегда считаются допустимыми абстрактными многогранниками.

Ранг 1: сегмент линии

Есть только один многогранник ранга 1 - отрезок прямой. У него есть наименьшая грань, всего две нулевые грани и наибольшая грань, например {ø, a, b, ab }. Отсюда следует, что вершины a и b имеют ранг 0, а наибольшая грань ab и, следовательно, чулок имеют ранг 1.

Ранг 2: полигоны

Для каждого p , 3 ≤ p < , мы имеем (абстрактный эквивалент) традиционный многоугольник с p вершинами и p ребрами или p -угольник. Для p = 3, 4, 5, ... у нас есть треугольник, квадрат, пятиугольник, .... ${\ displaystyle \ infty}$

При p = 2 у нас есть двуугольник , а при p = мы получаем апейрогон . ${\ displaystyle \ infty}$

Дигон

Двуугольник представляет собой многоугольник с помощью всего 2 ребер. В отличие от любого другого многоугольника, оба ребра имеют одинаковые две вершины. По этой причине он вырожден в евклидовой плоскости .

Грани иногда описываются с использованием «обозначения вершин» - например, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } для треугольника abc . Этот метод имеет то преимущество, что подразумевает в < отношения.

С двуугольником это обозначение вершины использовать нельзя . Необходимо присвоить граням индивидуальные символы и указать пары субграней F <G.

Таким образом, двуугольник определяется как множество { ø , a , b , E ', E ", G} с отношением <, заданным формулой

{ ø < a , ø < b , a <E ', a <E ", b <E', b <E", E '<G, E "<G}

где E 'и E "- два ребра, а G - наибольшая грань.

Эта необходимость идентифицировать каждый элемент многогранника уникальным символом применяется ко многим другим абстрактным многогранникам и поэтому является обычной практикой.

Многогранник может быть полностью описан с использованием обозначений вершин только в том случае, если каждая грань инцидентна уникальному набору вершин . Многогранник, обладающий этим свойством, называется атомистическим .

Примеры высшего ранга

Множество j- граней (−1 ≤ j ≤ n ) традиционного n -многогранника образуют абстрактный n -многогранник.

Понятие абстрактного многогранника является более общим и включает в себя:

• Апейотопы или бесконечные многогранники, которые включают мозаики ( мозаики )
• Собственные разложения неограниченных многообразий, таких как тор или вещественная проективная плоскость .
• Многие другие объекты, такие как 11-элементный и 57-элементный , не могут быть точно реализованы в евклидовых пространствах.

Хосоэдры и хосотопы

Дигон обобщен осоэдром и гозотопами более высоких измерений, которые все могут быть реализованы как сферические многогранники - они составляют мозаику сферы.

Проективные многогранники

Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников - это полукуб (показан), полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Это проективные аналоги Платоновых тел , которые могут быть реализованы как (глобально) проективные многогранники - они мозаичны для реальной проективной плоскости .

Гемикуб - еще один пример того, где обозначение вершин не может использоваться для определения многогранника - все 2-грани и 3-грань имеют один и тот же набор вершин.

Двойственность

Каждый геометрический многогранник имеет двойного двойника. Абстрактно дуальный - это тот же многогранник, но с обратным ранжированием: диаграмма Хассе отличается только аннотациями. В n -многограннике каждая из исходных k- граней отображается в ( n  -  k  - 1) -грань в двойственном. Так, например, n- грань отображается в (−1) -грань. Дуальный к двойнику ( изоморфен ) оригиналу.

Многогранник самодвойственный, если он совпадает со своим двойственным, т. Е. Изоморфен ему. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного многогранника должна быть симметричной относительно горизонтальной оси на полпути между верхом и низом. Квадратная пирамида в приведенном выше примере самодуальна.

Фигура вершины в вершине V является двойственной грани, на которую V отображается в двойственном многограннике.

Абстрактные правильные многогранники

Формально абстрактный многогранник определяется как «регулярный», если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве его флагов. В частности, любые два к -граней F , G в качестве п -многогранник являются «то же самое», то есть , что существует автоморфизм , который переводит F в G . Когда абстрактный многогранник регулярен, его группа автоморфизмов изоморфна факторгруппе группы Кокстера .

Все многогранники ранга ≤ 2 регулярны. Самые известные правильные многогранники - это пять Платоновых тел. Полурубка (на рисунке) также правильная.

Неформально для каждого ранга k это означает, что невозможно отличить любую k- грань от любой другой - грани должны быть идентичными и должны иметь одинаковых соседей и т. Д. Например, куб является правильным, потому что все грани являются квадратами, вершины каждого квадрата прикреплены к трем квадратам, и каждый из этих квадратов прикреплен к идентичным расположениям других граней, ребер и вершин и так далее.

Одного этого условия достаточно для того, чтобы любой регулярный абстрактный многогранник имел изоморфные регулярные ( n - 1) -грани и изоморфные правильные фигуры вершин.

Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных многогранников, поскольку оно относится к группе (комбинаторных) автоморфизмов, а не к группе (геометрической) симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является правильным, поскольку для абстрактных многогранников не существует углов, длин ребер, кривизны ребер, перекоса и т. Д.

Есть несколько других более слабых концепций, некоторые из которых еще не полностью стандартизированы, такие как полурегулярные , квазирегулярные , однородные , киральные и архимедовы, которые применяются к многогранникам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.

Необычный пример

Учитывая то количество внимания, которое уделяется правильным многогранникам, можно почти подумать, что все многогранники регулярны. На самом деле правильные многогранники - это просто особые случаи.

Самый простой неправильный многогранник - это квадратная пирамида , хотя она все еще имеет много симметрий.

Показан пример многогранника без нетривиальных симметрий - никакая пара вершин, ребер или 2-граней не являются «одинаковыми», как определено выше. Возможно, это простейший такой многогранник.

Реализация

Множество точек V в евклидовом пространстве, снабженное сюръекцией из множества вершин абстрактного многогранника P, такое, что автоморфизмы P индуцируют изометрические перестановки V , называется реализацией абстрактного многогранника. Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их наборами вершин индуцирована изометрией их объемлющих евклидовых пространств.

Если абстрактный n -многогранник реализуется в n -мерном пространстве, такое, что геометрическое расположение не нарушает никаких правил для традиционных многогранников (таких как изогнутые грани или гребни нулевого размера), то реализация называется точной . В общем, только ограниченный набор абстрактных многогранников ранга n может быть точно реализован в любом данном n- пространстве. Характеристика этого эффекта - нерешенная проблема.

Для регулярного абстрактного многогранника, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного многогранника реализуются геометрическими симметриями, то геометрическая фигура будет правильным многогранником.

Модульное пространство

Группа G симметрий реализации V абстрактного многогранника P порождается двумя отражениями, продукт которого переводит каждую вершину P к следующему. Произведение двух отражений может быть разложено как произведение ненулевого переноса, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения.

В общем случае пространство модулей реализаций абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. Конус реализации абстрактного многогранника имеет несчетно бесконечную алгебраическую размерность и не может быть замкнут в евклидовой топологии .

Проблема объединения и универсальные многогранники

Важным вопросом теории абстрактных многогранников является проблема объединения . Это серия вопросов, таких как

Для данных абстрактных многогранников K и L существуют ли какие-либо многогранники P , фасеты которых равны K, а фигуры вершин - L  ?

Если да, то все ли они конечны?

Какие есть конечные?

Например, если K - квадрат, а L - треугольник, ответы на эти вопросы будут такими:

Да, есть многогранники P с квадратными гранями, соединенные по три на вершину (то есть есть многогранники типа {4,3}).

Да, все они конечны, в частности,

Есть куб с шестью квадратными гранями, двенадцатью ребрами и восемью вершинами и полукуб с тремя гранями, шестью ребрами и четырьмя вершинами.

Известно, что если ответ на первый вопрос - «Да» для некоторых регулярных K и L , то существует единственный многогранник с гранями K и вершинными фигурами L , называемый универсальным многогранником с этими гранями и вершинными фигурами, который охватывает все другие такие многогранники. То есть, предположим , что P является универсальным многогранник с фасетов K и цифры вершин L . Тогда любой другой многогранник Q с этими гранями и фигурами вершин можно записать Q = P / N , где

• N - подгруппа группы автоморфизмов P , и
• P / N есть совокупность орбит элементов Р под действием N , с частичным порядком , индуцированным Р .

Q = P / N называется частное от Р , и мы говорим , P охватывает Q .

Учитывая этот факт, поиск многогранников с определенными гранями и фигурами вершин обычно происходит следующим образом:

1. Попытка найти подходящий универсальный многогранник
2. Попытка классифицировать его частные.

Эти две проблемы в целом очень сложны.

Возвращаясь к приведенному выше примеру, если K - квадрат, а L - треугольник, универсальный многогранник { K , L } - это куб (также обозначаемый как {4,3}). Полукуб - это фактор {4,3} / N , где N - группа симметрий (автоморфизмов) куба всего с двумя элементами - тождеством и симметрией, которая отображает каждый угол (или ребро, или грань) на его противоположность. .

Если L вместо этого также является квадратом, универсальный многогранник { K , L } (то есть {4,4}) представляет собой мозаику евклидовой плоскости квадратами. Эта мозаика имеет бесконечно много частных с квадратными гранями, по четыре на вершину, некоторые из которых правильные, а некоторые нет. За исключением самого универсального многогранника, все они соответствуют различным способам мозаики тора или бесконечно длинного цилиндра с квадратами.

11-элементный и 57-элементный

11-клетки , обнаружили независимо друг от друга Коксетер и Грюнбаум , является абстрактным 4-многогранник. Его грани - полуикосаэдры. Поскольку его фасеты топологически являются проективными плоскостями, а не сферами, 11-ячейка не является мозаикой какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого 11-ячейка является локально проективным многогранником. 11-ячейка не только красива в математическом смысле, но и исторически важна как один из первых открытых нетрадиционных абстрактных многогранников. Он самодуальный и универсальный: это единственный многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами.

57-клетка также автодуальная с гой-додекаэдрической гранями. Он был обнаружен HSM Coxeter вскоре после открытия 11-элементной клетки. Подобно 11-клеточному, он также универсален, являясь единственным многогранником с полудодекаэдрическими гранями и полуикосаэдрическими вершинными фигурами. С другой стороны, есть много других многогранников с полудодекаэдрическими гранями и типом Шлефли {5,3,5}. Универсальный многогранник с полудодекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не полуикосаэдрическими) фигурами вершин конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим числом вершин.

Локальная топология

Исторически проблема слияния решалась в соответствии с локальной топологией . То есть, вместо того, чтобы ограничивать K и L определенными многогранниками, они могут быть любым многогранником с данной топологией , то есть любым многогранником, образующим мозаику данного многообразия . Если К и L является сферическими (то есть, мозаики топологической сферы ), то Р называется локально сферическим и соответствует самому к тесселяции некоторого многообразия. Например, если K и L оба квадраты (и поэтому топологически такие же, как круги), P будет мозаикой плоскости, тора или бутылки Клейна квадратами. Замощение n- мерного многообразия на самом деле является  многогранником ранга n + 1. Это согласуется с общепринятой интуицией, согласно которой Платоновы тела трехмерны, хотя их можно рассматривать как мозаику двумерной поверхности шара.

В общем, абстрактный многогранник называется локально X, если его грани и вершинные фигуры топологически являются либо сферами, либо X , но не обеими сферами. 11-клетки и 57-клетки представляют собой примеры ранга 4 (то есть, четырехмерный) локально проективные многогранники, так как их грань и цифры вершинных мозаики из реальных проективных плоскостей . Однако в этой терминологии есть слабые места. Он не позволяет легко описать многогранник, фасеты которого являются торами, а фигуры вершин - проективными плоскостями. Еще хуже, если разные фасеты имеют разную топологию или вообще не имеют четко определенной топологии. Однако большой прогресс был достигнут в полной классификации локально тороидальных правильных многогранников.

Обмен картами

Пусть Ψ - флаг абстрактного n -многогранника, и пусть −1 <  i  <  n . Из определения абстрактного многогранника можно доказать, что существует единственный флаг, отличающийся от Ψ элементом ранга i , и то же самое в остальном. Если мы назовем этот флаг Ψ ^{( i )} , то он определяет набор отображений на флагах многогранников, скажем, φ _i . Эти карты называются картами обмена , поскольку они меняют местами пары флагов: ( Ψφ _i ) φ _i  =  Ψ всегда. Некоторые другие свойства обменных карт:

• φ _i ² - тождественное отображение
• Φ _я генерировать группу . (Действие этой группы на флагах многогранника является примером того, что называется флаговым действием группы на многограннике)
• Если | i  -  j | > 1, φ _i φ _j = φ _j φ _i
• Если α - автоморфизм многогранника, то αφ _i = φ _i α
• Если многогранник регулярен, группа, порожденная φ _i , изоморфна группе автоморфизмов, в противном случае она строго больше.

Карты обмена и, в частности, действие флага могут быть использованы для доказательства того, что любой абстрактный многогранник является частным некоторого правильного многогранника.

Матрицы заболеваемости

Многогранник также можно представить в виде таблицы его инцидентностей .

Следующая матрица инцидентности представляет собой матрицу треугольника:

	ø	а	б	c	ab	до н.э	ок	abc
ø	1	1	1	1	1	1	1	1
а	1	1	0	0	1	0	1	1
б	1	0	1	0	1	1	0	1
c	1	0	0	1	0	1	1	1
ab	1	1	1	0	1	0	0	1
до н.э	1	0	1	1	0	1	0	1
ок	1	1	0	1	0	0	1	1
abc	1	1	1	1	1	1	1	1

В таблице отображается 1 везде, где одно лицо является частью другого лица, или наоборот (поэтому таблица симметрична относительно диагонали) - так что на самом деле в таблице есть избыточная информация ; достаточно показать только 1, когда грань строки ≤ грани столбца.

Поскольку и тело, и пустой набор связаны со всеми другими элементами, первая строка и столбец, а также последняя строка и столбец являются тривиальными и могут быть легко опущены.

Квадратная пирамида

Дополнительная информация получается путем подсчета каждого случая. Это numerative использование позволяет симметрии группировки, как и в Хассе Диаграмма на квадратной пирамиды : Если вершины В, С, D, и Е рассматриваются симметрично эквивалентны в абстрактном многогранника, а затем края F, G, Н и J будут сгруппированы вместе, а также кромки K, L, M, и п, и , наконец , также треугольники P , Q , R и S . Таким образом, соответствующая матрица инцидентности этого абстрактного многогранника может быть представлена ​​как:

	А	B, C, D, E	f, g, h, j	к, л, м, п	P , Q , R , S	Т
А	1	*	4	0	4	0
B, C, D, E	*	4	1	2	2	1
f, g, h, j	1	1	4	*	2	0
к, л, м, п	0	2	*	4	1	1
P , Q , R , S	1	2	2	1	4	*
Т	0	4	0	4	*	1

В этом представлении накопленной матрицы инцидентности диагональные элементы представляют собой общее количество элементов любого типа.

Очевидно, что элементы разных типов одного и того же ранга никогда не бывают случайными, поэтому значение всегда будет 0, однако, чтобы помочь различить такие отношения, вместо 0 используется звездочка (*).

Поддиагональные записи каждой строки представляют собой подсчеты инцидентности соответствующих подэлементов, в то время как наддиагональные записи представляют собой соответствующие подсчеты элементов вершинной, реберной или любой другой фигуры.

Уже эта простая квадратная пирамида показывает, что накопленные симметрией матрицы инцидентности больше не симметричны. Но по-прежнему существует простое отношение сущностей (помимо обобщенных формул Эйлера для диагонали, соответственно, субдиагональных элементов каждой строки, соответственно, супердиагональных элементов каждой строки - по крайней мере, когда отсутствуют дыры, звезды и т. Д. рассматривается), как и для любой такой матрицы инцидентности : ${\ displaystyle I = (I_ {ij})}$

${\ displaystyle I_ {ii} \ cdot I_ {ij} = I_ {ji} \ cdot I_ {jj} \ \ (i <j).}$

История

В 1960-х Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть обобщения концепции правильных многогранников, которые он назвал полистроматами . Он разработал теорию полистромат, показав примеры новых объектов, включая 11-элементную .

11-клетка представляет собой автодуальный 4-многогранник которого фасеты не икосаэдры , но « гее-икосаэдры » - то есть, они являются форма один получает , если рассматривать противоположные грани икосаэдров , чтобы быть на самом деле же лицо ( Грюнбаум, 1977). Спустя несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-ячеек , HSM Coxeter открыл похожий многогранник, 57-ячеечный (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо повторно открыл 11-элементный.

Поскольку более ранние работы Бранко Грюнбаума , HSM Кокстера и Жака Титса заложили основу, основная теория комбинаторных структур, теперь известных как абстрактные многогранники, была впервые описана Эгоном Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В нем он определил «регулярные комплексы инцидентности» и «правильные многогранники инцидентности». Впоследствии он и Питер Макмаллен разработали основы теории в серии исследовательских статей, которые позже были собраны в книгу. С тех пор многие другие исследователи внесли свой вклад, и первые пионеры (включая Грюнбаума) также приняли определение Шульте как «правильное».

С тех пор исследования в теории абстрактных многогранников были сосредоточены в основном на регулярных многогранниках, то есть на тех, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно на множестве флагов многогранника.

Смотрите также

• Эйлеров позет
• Градуированный посет
• Правильный многогранник

Примечания

использованная литература