Изометрия - Isometry

В математике , изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтно преобразование ) представляет собой расстояние -preserving преобразование между метрическими пространствами , как правило , предполагается, что биективно .

Композиция из два противоположных изометрии является прямой изометрией. Отражение в линии - это противоположная изометрия, как R ₁ или R ₂ на изображении. Трансляция T - это прямая изометрия: жесткое движение .

Вступление

Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для присвоения расстояний между элементами набора), изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией; изометрии , что связывает их либо жесткое движение (перевод или вращение), или композиция из жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вложено в другое пространство. Например, пополнение метрического пространства М включает изометрию из М в М» , а фактор - множество в пространстве последовательностей Коши на М . Таким образом, исходное пространство M изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение изометрии

Пусть X и Y быть метрическими пространствами с метрикой (например, расстояние) d _X и d _Y . Отображение F  : X → Y называется изометрией или расстояние сохранение , если для любого а , б ∈ X из них имеет

${\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}$

Изометрия автоматически вводится ; в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречило бы аксиоме совпадения метрики d . Это доказательство аналогично доказательству инъективности упорядоченного вложения между частично упорядоченными множествами . Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.

Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности является взаимно однозначной изометрией. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространств X и Y называются изометрическими , если существует взаимно однозначная изометрия из X в Y . Множество биективных изометрии метрического пространства к себе образует группу относительно композиции функций , называется изометрия группы .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дугообразной изометрии :

Путь изометрия или дугообразно изометрия представляет собой карту , которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.

Примеры

• Любое отражение , перенос и вращение - это глобальная изометрия на евклидовых пространствах . См. Также Евклидова группа и Евклидово пространство § Изометрии .
• Карта в это путь изометрия , но не изометрия. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, это не инъективно.${\ Displaystyle х \ mapsto | х |}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}}}$

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : середина двух элементов x и y в векторном пространстве - это вектор 1/2( х + у ) .

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространств и , линейная изометрия является линейное отображение , сохраняющее нормы: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$

${\ Displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}$

для всех . Линейные изометрии сохраняют расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны . ${\ displaystyle v \ in V}$

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

${\ Displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}$

для всех , что равносильно тому, чтобы сказать это . Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, так как ${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}$

${\ displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}$

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется и . ${\ Displaystyle V = W}$${\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}$

По теореме Мазура-Улама , любая изометрия нормированных векторных пространств над R является аффинным .

Примеры

• Изометрические линейные отображения из C ⁿ в себя задаются унитарными матрицами .

Коллекторы

Изометрия многообразия - это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , а многообразие с индефинитной метрикой - псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

Локальная изометрия из одного ( псевдо -) риманово многообразие к другому представляет собой карту , которая отодвигается в метрическом тензоре на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («тождества») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть - диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если ${\ Displaystyle R = (М, г)}$${\ Displaystyle R '= (М', г ')}$${\ displaystyle f: R \ to R '}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle г = е ^ {*} г ', \,}$

где обозначает возврат метрического тензора ранга (0, 2) через . Эквивалентно, с точки зрения продвижения вперед , у нас есть это для любых двух векторных полей на (то есть секций касательного расслоения ), ${\ displaystyle f ^ {*} g '}$${\ displaystyle g '}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} M}$

${\ displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}$

Если является локальным диффеоморфизмом такой, что , то называется локальной изометрией . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g = f ^ {*} g '}$${\ displaystyle f}$

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , инфинитезимальные генераторы группы являются векторными полями Киллинга .

Теорема Майерса – Стинрода утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами .

Обобщения

• Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) - это отображение между метрическими пространствами, такое что ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$
  1. для x , x ′ ∈ X | d _Y (ƒ ( x ), ƒ ( x ′)) - d _X ( x , x ′) | <ε, и
  2. для любой точки у ∈ Y существует точка х ∈ Х с д _У ( у , ƒ ( х )) <е

То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывными .

• Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
• Квазиизометрия - еще одно полезное обобщение.
• Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:

  ${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {A}}}$является изометрией тогда и только тогда, когда .${\ Displaystyle а ^ {*} \ cdot а = 1}$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.

• В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. Также Квадратичные пространства .

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Библиография

• Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание . Вайли . ISBN 9780471504580.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.