Минимальный многочлен (линейная алгебра) - Minimal polynomial (linear algebra)

В линейной алгебры , то минимальный многочлен $μ$ из $п \times п$ матрицы $А$ над полем $F$ является унитарный многочлен $Р$ над $F$ наименьшей степени таким образом, что $Р ( ) = 0$ . Любой другой многочлен $Q$ с $Q (A) = 0$ является (полином) кратно $ц А$ .

Следующие три утверждения эквивалентны:

$λ$ - корень $μ A$ ,
$λ$ является корнем характеристического полинома $х А$ из $А$ ,
$λ$ является собственным значением матрицы $А$ .

Кратность корня $λ$ из $μ A$ - это наибольшая степень $m$ такая, что $ker ((A - λI n) m)$ строго содержит $ker ((A - λI n) m -1)$ . Другими словами, увеличение показателя степени до $m$ даст ядра еще большего размера, но дальнейшее увеличение показателя степени выше $m$ даст просто то же самое ядро.

Если поле $F$ не является алгебраически замкнутым, то минимальные и характеристические многочлены не должны разлагаться на множители только в соответствии с их корнями (в $F$ ), другими словами, они могут иметь неприводимые полиномиальные множители степени больше $1$ . Для неприводимых многочленов $P$ имеются аналогичные эквивалентности:

$P$ делит $μ A$ ,
$P$ делит $й$ ,
ядро $P (A)$ имеет размерность не менее $1$ .
ядро $P (A)$ имеет размерность не менее $deg (P)$ .

Как и характеристический многочлен, минимальный многочлен не зависит от базового поля. Другими словами, рассмотрение матрицы как матрицы с коэффициентами в большем поле не меняет минимальный многочлен. Причина несколько иная, чем для характеристического полинома (где он прямо вытекает из определения определителей), а именно тот факт, что минимальный многочлен определяется соотношением линейной зависимости между степенями $A$ : расширение базового поля не вводит любые новые такие отношения (и, конечно, не удалит существующие).

Минимальный многочлен часто совпадает с характеристическим многочленом, но не всегда. Например, если $A$ является кратным $aI n$ единичной матрицы, то его минимальный многочлен равен $X - a,$ поскольку ядро $aI n - A = 0$ уже является всем пространством; с другой стороны, его характеристический многочлен равен $(X - a) n$ (единственное собственное значение - $это a$ , а степень характеристического многочлена всегда равна размерности пространства). Минимальный многочлен всегда делит характеристический многочлен, что является одним из способов формулировки теоремы Кэли – Гамильтона (для случая матриц над полем).

Формальное определение

Для данного эндоморфизма $T$ на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$ пусть $I T$ - множество, определенное как

{\ Displaystyle {\ mathit {I}} _ {T} = \ {p \ in \ mathbf {F} [t] \ mid p (T) = 0 \}}

где $F [т]$ является пространство всех многочленов над полем $F$ . $I T$ - собственный идеал в $F [t]$ . Так как $Р$ является полем, $Р [т]$ является областью главных идеалов , таким образом , любой идеал порождается одним многочленом, который является единственно с точностью до единиц $F$ . Можно сделать особый выбор среди генераторов, поскольку ровно один из генераторов монический . Минимальный многочлен , таким образом , определяется как унитарный многочлен , который генерирует $I T$ . Это унитарный многочлен наименьшей степени в $I T$ .

Приложения

Эндоморфизмов $φ$ конечного векторного пространства над полем $F$ является диагонализируемы тогда и только тогда , когда ее минимальный многочлен факторов полностью над $F$ в различных линейных множителей. Тот факт, что существует только один множитель $X - λ$ для каждого собственного значения $λ,$ означает, что обобщенное собственное подпространство для $λ$ совпадает с собственным подпространством для $λ$ : каждый жорданов блок имеет размер $1$ . В более общем смысле, если $φ$ удовлетворяет полиномиальному уравнению $P (φ) = 0,$ где $P$ делится на различные линейные множители над $F$ , то он будет диагонализуемым: его минимальный многочлен является делителем $P$ и, следовательно, также делится на различные линейные множители. В частности, есть:

$P = X k - 1$ : эндоморфизмы конечного порядка комплексных векторных пространств диагонализуемы. Для специального случая $к = 2$ из инволюции , это справедливо даже для эндоморфизмов векторных пространств над любым полем характеристики , кроме $2$ , так $как X 2 - 1 = (Х - 1) (Х + 1)$ , представляет собой разложение на отдельные факторы над таким полем. Это часть теории представлений циклических групп.
$P = X 2 - X = X (X - 1)$ : эндоморфизмы, удовлетворяющие $φ 2 = φ$ , называются проекциями и всегда диагонализуемы (более того, их единственные собственные значения - $0$ и $1$ ).
Напротив, если $μ φ = X k$ с $k \geq 2,$ то $φ$ (нильпотентный эндоморфизм) не обязательно диагонализуем, поскольку $X k$ имеет повторяющийся корень $0$ .

Эти случаи также могут быть доказаны напрямую, но минимальный многочлен дает единую перспективу и доказательство.

Вычисление

Для вектора $v$ в $V$ определите:

{\ displaystyle {\ mathit {I}} _ {T, v} = \ {p \ in \ mathbf {F} [t] \; | \; p (T) (v) = 0 \}.}

Это определение удовлетворяет свойствам собственного идеала. Пусть $μ T, v$ - порождающий его унитарный многочлен.

Характеристики

Поскольку $I T, v$ содержит минимальный многочлен $μ T$ , последний делится на $μ T, v$ .
Если $d$ является наименьшее натуральное число такое , что $V, Т (v), ..., Т д (v)$ являются линейно зависимыми , то существуют уникально $0$ $,$ $1$ $, ...,$ $д$ $-1$ в $F$ , не все ноль, так что
${\ displaystyle a_ {0} v + a_ {1} T (v) + \ cdots + a_ {d-1} T ^ {d-1} (v) + T ^ {d} (v) = 0}$

и для этих коэффициентов имеем

${\ displaystyle \ mu _ {T, v} (t) = a_ {0} + a_ {1} t + \ ldots + a_ {d-1} t ^ {d-1} + t ^ {d}.}$
Пусть подпространство W есть образ $μ T, v (T)$ , который является $T$ -устойчивым. Так как $ц T, V (Т)$ аннулирует по меньшей мере , векторы $V, T (v), ..., Т д -1 (v)$ , то Коразмерность из $W$ по крайней мере , $д$ .
Минимальный многочлен $μ Т$ является произведением $ц T, V$ и минимального многочлена $Q$ сужения $T$ на $W$ . В (вероятном) случае, когда $W$ имеет размерность $0$ , $Q = 1$ и, следовательно, $μ T = μ T, v$ ; в противном случае рекурсивное вычисление $Q$ достаточно найти $М Т$ .

Пример

Определим $T$ как эндоморфизм $R 3$ с матрицей на каноническом базисе,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \ end {pmatrix}}.}

Взяв первый канонический базисный вектор $e 1$ и его повторные образы через $T,$ получим

{\ displaystyle e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ quad T \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}. \ Quad T ^ {2} \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} {\ mbox {and}} \ quad T ^ {3} \ cdot e_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 3 \\ - 4 \ end {bmatrix}}}

из которых первые три, как легко видеть, линейно независимы и, следовательно, охватывают все $R 3$ . Последний из них обязательно является линейной комбинацией первых трех, на самом деле

Т 3 \cdot е 1 = -4 Т 2 \cdot е 1 - Т \cdot е 1 + е 1

,

и что:

μ Т, е 1 = X 3 + 4 х 2 + X - я

.

Фактически это также минимальный многочлен $μ T$ и характеристический многочлен $χ T$ : действительно, $μ T, e 1$ делит $μ T,$ который делит $χ T$ , и, поскольку первый и последний имеют степень $3$ и все являются моническими, все они должны быть одинаковый. Другая причина заключается в том, что в общем случае, если любой многочлен от $T$ аннулирует вектор $v$ , то он также аннулирует $T \cdot v$ (просто примените $T$ к уравнению, которое говорит, что он аннулирует $v$ ), и, следовательно, путем итерации он аннулирует все пространство, порожденное вектором $v.$ повторные изображения по $T$ из $v$ ; в данном случае мы видели, что для $v = e 1$ это пространство состоит из $R 3$ , поэтому $μ T, e 1 (T) = 0$ . Действительно, для полной матрицы проверяется, что $T 3 + 4 T 2 + T - I 3$ является нулевой матрицей:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 3 & -13 & 23 \\ - 4 & 19 & -36 \ end {bmatrix}} + 4 {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 4 & -6 \\ 1 & -5 & 10 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

использованная литература

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

Languages

In other projects